丁 春，姚 遠，王 奇

(中國船舶重工集團公司第七二四研究所，南京 211153)

0 引 言

在雷達研制過程中，為了提高目標(biāo)跟蹤的可靠性，驗證自動起始和目標(biāo)跟蹤算法是不可或缺的環(huán)節(jié)。一般是通過仿真模擬目標(biāo)的點跡，作為自動起始和目標(biāo)跟蹤算法的輸入。傳統(tǒng)的機械掃描雷達對于非徑向運動的目標(biāo)波束掃過目標(biāo)的時刻不是一個常數(shù)。特別是在多雷達目標(biāo)跟蹤[1-3]中，同一目標(biāo)被不同雷達觀測到的時機幾乎是隨機的，對多雷達目標(biāo)跟蹤帶來了新的挑戰(zhàn)。本文通過建立數(shù)學(xué)模型模擬雷達對目標(biāo)觀測的物理過程[4]，利用計算機仿真技術(shù)，建立了一種快速目標(biāo)點跡模擬方法。

1 模 型

設(shè)一機械掃描兩坐標(biāo)雷達在環(huán)掃工作方式下以180°/s的轉(zhuǎn)速進行掃描。天線方位與時間t的關(guān)系為

A(t)=(A(0)+180t)%360

(1)

其中A(t)表示t時刻時的天線方位。

在t時刻，目標(biāo)在水平面中的位置是(x(t),y(t))，目標(biāo)方位B(t)與時間t的關(guān)系為

B(t)=natan2(x(t),y(t))

(2)

其中

2 算 法

令式(1)等于式(2)：

(A(0)+180t)%360=natan2(x(t),y(t))

(4)

求解此方程即可得出天線掃過目標(biāo)的時刻。因為式(4)中包含三角函數(shù)，沒有一般意義上的解析解，但是可以通過數(shù)值計算的方法獲得數(shù)值解。

2.1 天線旋轉(zhuǎn)模擬

將時間離散化為tk，k=1,2,…，Δtk=t1-t0表示離散時間間隔，將式(1)離散化，可得

A(k+1)=(A(k)+180Δtk)%360

(5)

其中，k和k+1分別表示第k個和第k+1個離散時刻。

設(shè)定A(0)后，即可依次計算出各離散時刻天線的方位。

2.2 目標(biāo)運動模擬

將式(2)離散化，可得

{B(tk)}，k=1,2,…

(6)

2.3 方程(4)求解

令

f(t)=A(t)-B(t)

(7)

將求解方程(4)的問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)f(t)零點的問題。

對于在10 km外運動速度且小于1 000 m/s的目標(biāo)，設(shè)Δtk均為50 ms，將式(7)離散化，每50 ms進行一次天線是否掃過目標(biāo)的判斷。當(dāng)雷達的3 dB波束寬度與50 ms內(nèi)目標(biāo)方位的變化相當(dāng)或更大時，可以將目標(biāo)方位B(t)在50 ms內(nèi)近似為線性的，則式(7)在50 ms內(nèi)也是單調(diào)的，從而可以應(yīng)用二分法[5]計算式(7)零點的數(shù)值解。

記無窮小ε=10-2，當(dāng)前50 ms時間區(qū)間的起點和終點分別為tp和tq。用二分法執(zhí)行以下步驟:

(1) 若|f(tp) |<ε，則在時刻tp天線掃過目標(biāo)，A(tp)是對應(yīng)的方位；若|f(tq)|<ε，則在時刻tq天線掃過目標(biāo)，A(tq)是對應(yīng)的方位。

(2) 否則：

(a) 若f(tp)和f(tq)的符號相同，則此50 ms內(nèi)天線不能掃過目標(biāo)，終止此次判斷。

(b) 若f(tp)和f(tq)的符號不同：

(ⅱ) 如果|f(tv) |<ε，則在時刻tv天線掃過目標(biāo)，A(tv)是對應(yīng)的方位，退出。

(ⅲ) 否則，若f(tv)與f(tp)的符號相同，則令tp=tv；若f(tv)與f(tq)的符號相同，則令tq=tv。

(ⅳ) 依次執(zhí)行步驟(ⅰ)～(ⅲ)，直至滿足步驟(ⅲ)的條件為止。

在步驟(ⅰ)～(ⅲ)中，每執(zhí)行一次迭代就在步驟(ⅲ)中將搜索的時間區(qū)間長度減小一半?？梢宰C明，在方程(4)有解時，按照以上步驟，一定可以經(jīng)過有限次的迭代滿足步驟(ⅱ)的條件，找到方程(4)的數(shù)值解。

實際使用時還可以使用以下兩個原則進一步減少計算量：①1個天線周期內(nèi)天線最多掃過目標(biāo)1次，②只在上1個天線周期內(nèi)天線掃過目標(biāo)的方位附近執(zhí)行以上步驟。

2.4 點跡信息生成

在方程(4)有解時，在步驟(ⅱ)中獲得的數(shù)值解tv就是天線掃過目標(biāo)的時刻。此時目標(biāo)的距離為

(8)

方位為

natan2(x(t),y(t))

(9)

另外，還需要根據(jù)雷達在距離和方位上的觀測誤差分別在式(8)和式(9)的基礎(chǔ)上分別迭加服從正態(tài)分布的隨機數(shù)，才可以獲得目標(biāo)點跡的距離和方位。

目標(biāo)點跡的距離為

(10)

其中rd是一0均值、標(biāo)準(zhǔn)差為雷達的距離觀測誤差的隨機數(shù)。

目標(biāo)點跡的方位為

natan2(x(t),y(t))+ra

(11)

其中ra是一0均值、標(biāo)準(zhǔn)差為雷達的方位觀測誤差的隨機數(shù)。

3 實驗及分析

設(shè)式(1)中A(0)=0，即天線從正北開始旋轉(zhuǎn)。式(2)中x(0)=80 km，y(0)=60 km，X軸方向的速度vx=-300 m/s，Y軸方向的速度vy=400 m/s。從0時刻起的8 s內(nèi)的天線和目標(biāo)的方位如圖1所示，其中圓圈表示的就是天線掃過目標(biāo)的時刻以及對應(yīng)的方位。

從0時刻起，按Δtk為50 ms將式(7)離散化，并按照以上方法求解。圖 1中所示的天線4次掃過目標(biāo)時刻的主要數(shù)據(jù)如表1～4所示。

表1 求解天線第1次掃過目標(biāo)的過程

表2 求解天線第2次掃過目標(biāo)的過程

表3 求解天線第3次掃過目標(biāo)的過程

表4 求解天線第4次掃過目標(biāo)的過程

從表1～4中可以看出，①每一次迭代，搜索區(qū)間的長度就縮小一半；②區(qū)間中點tv的值f(tv)的符號在無規(guī)律地正負(fù)交替，以及|f(tv)|不是嚴(yán)格單調(diào)下降的，是由步驟(ⅲ)中搜索區(qū)間縮短的機制決定的；③只需6～9次迭代|f(tv)|就可以小于10-2，達到步驟(ⅱ)的要求，獲得方程(4)的數(shù)值解；④隨著搜索區(qū)間長度的縮小，區(qū)間中點tv對應(yīng)的天線方位和目標(biāo)方位總體上也越來越接近，并且在搜索終止時兩者也趨于一致。

4 結(jié)束語

本文將沒有解析解的方程求解的問題轉(zhuǎn)化為求解方程零點的數(shù)值解的問題，避免了依次模擬天線旋轉(zhuǎn)，可快速定位到天線掃過目標(biāo)的時刻。再根據(jù)目標(biāo)運動模型，直接生成目標(biāo)點跡。對于扇掃或者相控陣體制的雷達，根據(jù)掃描方式可以建立類似的模型，同樣可以快速模擬點跡。

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