黃 康，劉偉煒，王衛(wèi)榮，朱凌坤，葛新方

(合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，合肥 230009)

近年來，隨著微制造技術(shù)和精密測(cè)量技術(shù)的飛速發(fā)展，精密隔振系統(tǒng)已成為一個(gè)十分重要的研究課題。國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者已經(jīng)對(duì)微制造隔振平臺(tái)展開研究[1]。對(duì)于微制造隔振平臺(tái)，在其生產(chǎn)制造過程中，實(shí)驗(yàn)室或工廠內(nèi)的人員走動(dòng)不可避免會(huì)產(chǎn)生微小振動(dòng)，這個(gè)微小振動(dòng)傳遞到微振動(dòng)平臺(tái)會(huì)對(duì)微制造的加工精度有一定影響，因此人行激勵(lì)對(duì)微制造平臺(tái)的影響不能忽視[2]。在此基礎(chǔ)上運(yùn)用Udwadia-Kalaba方法[3-4]進(jìn)行微制造隔振平臺(tái)離散化動(dòng)力學(xué)建模，將微制造隔振平臺(tái)模型簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)模型，并且不需要考慮整個(gè)系統(tǒng)自由度之間的耦合，過程簡(jiǎn)單，不易出錯(cuò)；另一方面，在將系統(tǒng)約束轉(zhuǎn)化為約束力的過程中不必考慮拉格朗日乘子，容易確定約束力。該方法在約束系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模上可廣泛應(yīng)用。最終求解得到固連結(jié)構(gòu)各質(zhì)點(diǎn)的位移響應(yīng)曲線，與分散結(jié)構(gòu)的各質(zhì)點(diǎn)位移響應(yīng)曲線對(duì)比，可以得到良好的減振效果。

1 微制造隔振平臺(tái)結(jié)構(gòu)

以長(zhǎng)春光機(jī)所的光柵刻劃?rùn)C(jī)為例介紹微制造隔振平臺(tái)的結(jié)構(gòu)，光柵刻劃?rùn)C(jī)位于隔振平臺(tái)上，其整體裝置放置在一個(gè)較為密閉的實(shí)驗(yàn)室內(nèi)的一個(gè)深坑中，為了保證光柵刻劃?rùn)C(jī)的加工精度，在深坑的四周布置鏤空的地板，用于隔絕實(shí)驗(yàn)室內(nèi)的氣流，隔振平臺(tái)下面墊有砂石等一些減振材料，具體結(jié)構(gòu)見圖1。

圖1 光柵刻劃?rùn)C(jī)結(jié)構(gòu)裝置簡(jiǎn)圖

在微振動(dòng)隔振平臺(tái)離散化的模型中，對(duì)于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)所建立的雙層隔振系統(tǒng)的第2層質(zhì)量塊之間是相互獨(dú)立的，這種結(jié)構(gòu)稱為分散結(jié)構(gòu)，如圖2所示。

圖2 微制造隔振平臺(tái)分散結(jié)構(gòu)模型圖

而另一種為固連結(jié)構(gòu)，雙層隔振機(jī)構(gòu)中4個(gè)質(zhì)點(diǎn)的第2層簡(jiǎn)化的質(zhì)量塊不是相互獨(dú)立的，為了進(jìn)一步減小振動(dòng)的影響，使其相互固連在一起，即第2層的4質(zhì)點(diǎn)位于一個(gè)平面上，如圖3所示。

圖3 微制造隔振平臺(tái)固連結(jié)構(gòu)模型圖

這樣在設(shè)計(jì)之初就可認(rèn)定固連結(jié)構(gòu)對(duì)環(huán)境振動(dòng)的減振效果更加明顯，而對(duì)于分散式結(jié)構(gòu)，第2層等效質(zhì)量塊各自獨(dú)立，對(duì)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)會(huì)造成一定的副作用，導(dǎo)致在環(huán)境振動(dòng)控制方面相互影響，造成振動(dòng)加劇，進(jìn)而對(duì)微制造設(shè)備的精度起破壞性的作用。

本文中平臺(tái)的質(zhì)量為m，各邊的邊長(zhǎng)為2l。每個(gè)空氣彈簧各個(gè)方向所具有的剛度和阻尼是相同的，分別為kx、ky、kz和cx、cy、cz。

2 U-K動(dòng)力學(xué)方程

無外力約束系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為

有外力約束系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為

式中：q為n維向量，表示系統(tǒng)的自由度；t為時(shí)間變量；M(q,t) 為n×n維正定矩陣；為廣義主動(dòng)力矩陣；為m×n維矩陣，m為約束力的個(gè)數(shù)；為m維矩陣

由式（1）、式（2）、式（3）式可得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為

3 隔振平臺(tái)結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化

對(duì)于人員的走動(dòng)問題主要考慮的是豎向荷載，豎向人行荷載是由單個(gè)人體重加上一個(gè)波動(dòng)周期分量，而整個(gè)人群荷載是由單個(gè)人行荷載乘以一個(gè)放大系數(shù)，綜上群荷載總的有效豎向力計(jì)算公式如下

上式中：N為任意時(shí)刻實(shí)驗(yàn)室或工廠內(nèi)的人員數(shù)，fv為地板所具有的豎向固有頻率。

結(jié)合圖2所示，微制造隔振平臺(tái)整體結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化成在行人激勵(lì)下的單質(zhì)點(diǎn)的等效模型，將雙層隔振模型與底座看作一個(gè)整體，簡(jiǎn)化的單自由度模型見圖4。

圖4 單質(zhì)點(diǎn)的等效模型

其中固連結(jié)構(gòu)中m2連接在一起；分散結(jié)構(gòu)m2分散布置。

M的位移響應(yīng)曲線很容易得到；具體等效參數(shù)為N為4；M為1 000 kg；K為200N/mm；C為100N·s/mm ；fv選為2.0 Hz；然后計(jì)算所得

針對(duì)Z方向的振動(dòng)，4個(gè)質(zhì)點(diǎn)共有8個(gè)自由度，由4個(gè)質(zhì)點(diǎn)的U-K動(dòng)力學(xué)方程可得

4 仿真

設(shè)置具體的仿真參數(shù)，并將參數(shù)代入到MATLAB軟件中進(jìn)行仿真。

表1 仿真數(shù)據(jù)

具體的約束為：z1、z2、z3、z44個(gè)自由度位于一個(gè)平面上，而且其z10、z20、z30、z404個(gè)自由度也同樣位于一個(gè)平面上，最終確定其離散化模型的z方向8個(gè)自由度的具體的約束形式是

上式對(duì)時(shí)間求2階導(dǎo)數(shù)，可以得到2階約束形式為

將以上兩式代入有外力約束系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程式（3）中

其中微振動(dòng)隔振平臺(tái)各自由度的初始條件具體如下

根據(jù)U-K動(dòng)力學(xué)方程，可得到8個(gè)自由度的位移響應(yīng)曲線，其分別是z1、z2、z3、z4、z10、z20、z30、z40。下圖為固連結(jié)構(gòu)和分散結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)曲線的對(duì)比圖，從對(duì)比圖上可以看出固連結(jié)構(gòu)能起到良好的減振作用。

圖5 z1的位移響應(yīng)曲線

圖6 z10的位移響應(yīng)曲線

5 結(jié)語

（1）從圖5、圖7、圖9、圖11對(duì)比中可以看出固連結(jié)構(gòu)與分散結(jié)構(gòu)相比，固連結(jié)構(gòu)能達(dá)到良好的減振效果；但是從圖6、圖8、圖10中可以看出，其位移響應(yīng)曲線相比原來的自由振動(dòng)響應(yīng)曲線有所下降；而圖12由于約束變化較大，所以其振動(dòng)響應(yīng)曲線變化比較大；

圖7 z2的位移響應(yīng)曲線

圖8 z20的位移響應(yīng)曲線

圖9 z3的位移響應(yīng)曲線

圖10 z30的位移響應(yīng)曲線

圖11 z4的位移響應(yīng)曲線

圖12 z40的位移響應(yīng)曲線

（2）由于微制造隔振平臺(tái)最終的振動(dòng)響應(yīng)反映在z1、z2、z3、z44個(gè)自由度上面，從這4個(gè)自由度的對(duì)比圖上，可以清楚地看出，人群激勵(lì)所帶來的振動(dòng)被固連結(jié)構(gòu)的第2層結(jié)構(gòu)所吸收，從而起到了減振作用；而分散結(jié)構(gòu)中的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)由于其第2層分散結(jié)構(gòu)相互之間無約束，故起不到吸振作用；所以固連結(jié)構(gòu)相比分散結(jié)構(gòu)可以達(dá)到更好的減振效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]涂奉臣，陳照波，李華，等.新型整星隔振平臺(tái)的被動(dòng)隔振性能及星箭耦合特性分析[J].航空學(xué)報(bào)，2010，31(3)：538-545.

[2]孫利民，閆興非.人行橋人行激勵(lì)振動(dòng)及設(shè)計(jì)方法[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2004，32(8)：996-999.

[3]黃康，孫順強(qiáng)，葛新方，等.采用Udwadia-Kalaba理論的微振動(dòng)隔振平臺(tái)研究[J].西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2017，51(1)：1-58.

[4]UDWADIA F.On constrained motion[J].Applied Mathematics&Computation,2005,51(2):313-320.