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        食堂擁擠問題的方案及模型

        2018-05-10 09:34:02張萌果
        新一代 2018年3期

        食堂擁擠問題的方案及模型

        張萌果

        (河南師范大學(xué) 河南 新鄉(xiāng) 453000)

        摘 要:本文針對我校每到中午放學(xué)時,食堂進門特別擁擠的問題,首先進行了實地考察,調(diào)查了我校食堂門口中午來往人流數(shù)隨時間的變化,以及食堂打飯的窗口數(shù)和打飯效率,然后對造成門口擁擠的因素以及各個因素之間的關(guān)系進行了分析,最后針對了各個問題進行了建模型求解。

        針對問題

        我們實地調(diào)查了中午學(xué)校餐廳門口的擁擠情況,建立了中午放學(xué)期間餐廳門口處每分鐘來往人數(shù)隨時間變化的序列模型,并對發(fā)生擁擠時每分鐘的來流人數(shù)進行了分析。

        我們假設(shè)門口的寬度正好可以容下n個人并排行走,當同一時間門口來往人數(shù)大于等于這個限定的時候,門口就會發(fā)生擁擠。當打飯窗口都全部一刻不停地工作期間,單位時間內(nèi)能讓多少人打完飯是固定值,打完飯的人又有一定比例的人選擇從對著教學(xué)區(qū)的門離開,這部分人與進門的人的總數(shù)與n進行對比,就可得出增加門的寬度對進門擁擠是否有改善的相關(guān)信息。

        安置隔離欄后,人被隔成了單一人流,人流基本符合泊松分布,根據(jù)數(shù)據(jù)分析,對其建立了M\M\1模型,概括了學(xué)生排隊的人數(shù),并且經(jīng)由模型推算了發(fā)生擁擠的時候的條件,即每人進入餐廳的時間大于所需等待的時間,對學(xué)生進入餐廳的時間和等待所需的時間進行了數(shù)據(jù)概括,以及對比,把實際的問題公式化,從而最終得出擁擠的時候滿足的條件,進而清楚這個措施的有效程度。

        關(guān)鍵詞:食堂門口;擁擠;排隊論

        一、問題的重述

        為了節(jié)約同學(xué)們的時間,避免同學(xué)們因擁擠而造成的心情煩躁,學(xué)校食堂必須進行改善。一種合理、簡化的策略就是:在不耽誤同學(xué)們正常飲食的前提下,盡量改善食堂的擁擠程度。

        在理想情況下運用理想模型計算食堂門口可容納的人流量,而實際情況中常常在沒達到這個人流量食堂門口就開始擁擠。運用理想模型計算出將門口擴建一半后食堂門口可容納的人流量,再結(jié)合實際情況進行理性分析。第二個方案需結(jié)合食堂內(nèi)部情況,考慮學(xué)生進出門問題結(jié)合各方面數(shù)據(jù)通過建立數(shù)學(xué)模型最后得出改善后可容納的人流量。注意結(jié)合實際情況。

        二、模型的分析與建立

        (一)問題分析及模型選取

        根據(jù)實地調(diào)查中午學(xué)校餐廳門口擁擠情況,原本通暢的餐廳隨著午飯高峰期而變得擁擠。對于該橫斷面,通行能力受到嚴重限制。分析造成擁擠的原因:學(xué)校課表安排不合理,下課時段過于集中,導(dǎo)致就餐過于集中,造成餐廳擁擠,排長隊。由于進入餐廳與離開餐廳的人走的是同一個門,此時的理論通行能力下降,實際的通行能力也因此下降,出入困難,易于導(dǎo)致餐廳的擁擠。

        為了正確估算中午放學(xué)期間,食堂門口發(fā)生擁擠時每分鐘的來流人數(shù),為餐廳正確疏導(dǎo)人流提供理論依據(jù),需要建立中午放學(xué)期間餐廳門口所處橫斷面每分鐘來往人數(shù)隨時間變化的序列模型,并分析發(fā)生擁擠時每分鐘的來流人數(shù)。

        以下是收集的數(shù)據(jù)及簡單處理

        (二)模型建立及求解

        設(shè)y為每分鐘進入人數(shù),x為每分鐘出門人數(shù),假設(shè)理想條件下每分鐘有a次進出,餐廳門最多可以n個人同時進出。當發(fā)生擁擠時:

        經(jīng)實地考察,學(xué)校餐廳門口每分鐘達 80 人,會發(fā)生擁擠。

        (三)問題分析及模型選取

        當門口擴大50%之后,對食堂門口擁擠的情況是否有所改善。

        門口的寬度限定了能同時進出的人的數(shù)量,經(jīng)調(diào)查,一個人平均通過門口區(qū)域所花時間大概為10s,每分鐘可以認為有6次共同進出,設(shè)門口能同時容下n個人同時通過。

        所有打飯窗口同時工作的時候工作的時候,每分鐘能讓m個人打完飯,其中m/a的人會選擇從對著教學(xué)區(qū)的門離開,記y=m/a。

        (四)模型建立及求解

        記每分鐘有x個人從門口進入,則當6n≤x+y時,即6n+y≤x時,會發(fā)生擁擠。

        當門口擴寬50%后,n變?yōu)?.5n,條件變?yōu)?n+y≤x時,會發(fā)生擁擠。

        對比可知,發(fā)生擁擠所需要的每分鐘通過人數(shù)增加了3n,故可得知,這一措施對緩解食堂門口擁擠有一定作用。

        (五)問題分析及模型選取

        把食堂對著教學(xué)區(qū)的門口裝置上隔離欄,由于對著教學(xué)區(qū)的餐廳門口距離教學(xué)區(qū)最近,大多數(shù)同學(xué)選擇正對教學(xué)區(qū)的門進入餐廳,人流量較大,易發(fā)生擁擠。安裝隔離欄,把進入餐廳的學(xué)生與離開餐廳的學(xué)生隔離開,把人隔成單一人流,起到強制排隊的作用,能有效的降低擁擠。人流基本符合泊松分布,根據(jù)數(shù)據(jù)分析,對其建立M\M\1模型,分析安裝隔離欄后,食堂門口發(fā)生擁擠時每分鐘的來流人數(shù)。

        準確的分析和評價餐廳門口發(fā)生擁擠的情況,為餐廳的改進提出合理建立。用建立模型的方法,為餐廳的管理者提供有力決策。

        我們假設(shè)下課期間學(xué)生到食堂就餐的時刻是隨機的,且從正對教學(xué)區(qū)的餐廳門進入餐廳的學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比率是一定的,用N(t)表示[0,t)時間內(nèi)到達該排隊系統(tǒng)的人數(shù),用V(n)表示第n位學(xué)生真正進入餐廳所需要的時間,則有隨機變量{V(n),N=1,2,3,...}

        根據(jù)排隊論相關(guān)知識,t時刻到達對著教學(xué)區(qū)門口排隊系統(tǒng)的人數(shù)為k的概率為:

        P(N(t)=k)= ,k=1,2.....其中λ>0

        第n位學(xué)生所需的等待進入餐廳時間不超過t的概率服從負指數(shù)分布:

        其中>0.

        第n位學(xué)生所需的等待進入餐廳時間不超過t的概率服從負指數(shù)分布:

        其中μ>0

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