食堂擁擠問題的方案及模型

張萌果

（河南師范大學(xué) 河南 新鄉(xiāng) 453000）

摘 要：本文針對我校每到中午放學(xué)時，食堂進門特別擁擠的問題，首先進行了實地考察，調(diào)查了我校食堂門口中午來往人流數(shù)隨時間的變化，以及食堂打飯的窗口數(shù)和打飯效率，然后對造成門口擁擠的因素以及各個因素之間的關(guān)系進行了分析，最后針對了各個問題進行了建模型求解。

針對問題

我們實地調(diào)查了中午學(xué)校餐廳門口的擁擠情況，建立了中午放學(xué)期間餐廳門口處每分鐘來往人數(shù)隨時間變化的序列模型，并對發(fā)生擁擠時每分鐘的來流人數(shù)進行了分析。

我們假設(shè)門口的寬度正好可以容下n個人并排行走，當同一時間門口來往人數(shù)大于等于這個限定的時候，門口就會發(fā)生擁擠。當打飯窗口都全部一刻不停地工作期間，單位時間內(nèi)能讓多少人打完飯是固定值，打完飯的人又有一定比例的人選擇從對著教學(xué)區(qū)的門離開，這部分人與進門的人的總數(shù)與n進行對比，就可得出增加門的寬度對進門擁擠是否有改善的相關(guān)信息。

安置隔離欄后，人被隔成了單一人流，人流基本符合泊松分布，根據(jù)數(shù)據(jù)分析，對其建立了M＼M＼1模型，概括了學(xué)生排隊的人數(shù)，并且經(jīng)由模型推算了發(fā)生擁擠的時候的條件，即每人進入餐廳的時間大于所需等待的時間，對學(xué)生進入餐廳的時間和等待所需的時間進行了數(shù)據(jù)概括，以及對比，把實際的問題公式化，從而最終得出擁擠的時候滿足的條件，進而清楚這個措施的有效程度。

關(guān)鍵詞：食堂門口；擁擠；排隊論

一、問題的重述

為了節(jié)約同學(xué)們的時間，避免同學(xué)們因擁擠而造成的心情煩躁，學(xué)校食堂必須進行改善。一種合理、簡化的策略就是：在不耽誤同學(xué)們正常飲食的前提下，盡量改善食堂的擁擠程度。

在理想情況下運用理想模型計算食堂門口可容納的人流量，而實際情況中常常在沒達到這個人流量食堂門口就開始擁擠。運用理想模型計算出將門口擴建一半后食堂門口可容納的人流量，再結(jié)合實際情況進行理性分析。第二個方案需結(jié)合食堂內(nèi)部情況，考慮學(xué)生進出門問題結(jié)合各方面數(shù)據(jù)通過建立數(shù)學(xué)模型最后得出改善后可容納的人流量。注意結(jié)合實際情況。

二、模型的分析與建立

（一）問題分析及模型選取

根據(jù)實地調(diào)查中午學(xué)校餐廳門口擁擠情況，原本通暢的餐廳隨著午飯高峰期而變得擁擠。對于該橫斷面，通行能力受到嚴重限制。分析造成擁擠的原因：學(xué)校課表安排不合理，下課時段過于集中，導(dǎo)致就餐過于集中，造成餐廳擁擠，排長隊。由于進入餐廳與離開餐廳的人走的是同一個門，此時的理論通行能力下降，實際的通行能力也因此下降，出入困難，易于導(dǎo)致餐廳的擁擠。

為了正確估算中午放學(xué)期間，食堂門口發(fā)生擁擠時每分鐘的來流人數(shù)，為餐廳正確疏導(dǎo)人流提供理論依據(jù)，需要建立中午放學(xué)期間餐廳門口所處橫斷面每分鐘來往人數(shù)隨時間變化的序列模型，并分析發(fā)生擁擠時每分鐘的來流人數(shù)。

以下是收集的數(shù)據(jù)及簡單處理

（二）模型建立及求解

設(shè)y為每分鐘進入人數(shù)，x為每分鐘出門人數(shù)，假設(shè)理想條件下每分鐘有a次進出，餐廳門最多可以n個人同時進出。當發(fā)生擁擠時：

經(jīng)實地考察，學(xué)校餐廳門口每分鐘達 80 人，會發(fā)生擁擠。

（三）問題分析及模型選取

當門口擴大50%之后，對食堂門口擁擠的情況是否有所改善。

門口的寬度限定了能同時進出的人的數(shù)量，經(jīng)調(diào)查，一個人平均通過門口區(qū)域所花時間大概為10s，每分鐘可以認為有6次共同進出，設(shè)門口能同時容下n個人同時通過。

所有打飯窗口同時工作的時候工作的時候，每分鐘能讓m個人打完飯，其中m/a的人會選擇從對著教學(xué)區(qū)的門離開，記y=m/a。

（四）模型建立及求解

記每分鐘有x個人從門口進入，則當6n≤x+y時，即6n+y≤x時，會發(fā)生擁擠。

當門口擴寬50%后，n變?yōu)?.5n，條件變?yōu)?n+y≤x時，會發(fā)生擁擠。

對比可知，發(fā)生擁擠所需要的每分鐘通過人數(shù)增加了3n，故可得知，這一措施對緩解食堂門口擁擠有一定作用。

（五）問題分析及模型選取

把食堂對著教學(xué)區(qū)的門口裝置上隔離欄，由于對著教學(xué)區(qū)的餐廳門口距離教學(xué)區(qū)最近，大多數(shù)同學(xué)選擇正對教學(xué)區(qū)的門進入餐廳，人流量較大，易發(fā)生擁擠。安裝隔離欄，把進入餐廳的學(xué)生與離開餐廳的學(xué)生隔離開，把人隔成單一人流，起到強制排隊的作用，能有效的降低擁擠。人流基本符合泊松分布，根據(jù)數(shù)據(jù)分析，對其建立M＼M＼1模型，分析安裝隔離欄后，食堂門口發(fā)生擁擠時每分鐘的來流人數(shù)。

準確的分析和評價餐廳門口發(fā)生擁擠的情況，為餐廳的改進提出合理建立。用建立模型的方法，為餐廳的管理者提供有力決策。

我們假設(shè)下課期間學(xué)生到食堂就餐的時刻是隨機的，且從正對教學(xué)區(qū)的餐廳門進入餐廳的學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比率是一定的，用N（t）表示[0，t）時間內(nèi)到達該排隊系統(tǒng)的人數(shù)，用V（n）表示第n位學(xué)生真正進入餐廳所需要的時間，則有隨機變量{V（n），N=1，2，3，...}

根據(jù)排隊論相關(guān)知識，t時刻到達對著教學(xué)區(qū)門口排隊系統(tǒng)的人數(shù)為k的概率為：

P（N（t）=k）= ，k=1，2.....其中λ>0

第n位學(xué)生所需的等待進入餐廳時間不超過t的概率服從負指數(shù)分布：

其中>0.

第n位學(xué)生所需的等待進入餐廳時間不超過t的概率服從負指數(shù)分布：

其中μ>0