付 裕

（陜西國(guó)防工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，西安 710300）

許多實(shí)際問(wèn)題都可以用一函數(shù)f（x）來(lái)表示其內(nèi)在規(guī)律的數(shù)量關(guān)系。這種函數(shù)中相當(dāng)?shù)囊徊糠质峭ㄟ^(guò)試驗(yàn)或觀測(cè)得到的。插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法，它來(lái)自生產(chǎn)實(shí)踐。其核心思想就是根據(jù)給定的數(shù)據(jù)做一個(gè)即能反映函數(shù)f（x）的變化特性，又便于計(jì)算的簡(jiǎn)單函數(shù)P（X），用P（X）近似f（x）。常用的插值方法有拉格朗日插值法、牛頓插值法、埃爾米特插值法、分段線性插值法、三次樣條插值法。文中用一未知函數(shù)f（x）來(lái)反映某學(xué)校畢業(yè)生人數(shù)的變換規(guī)律，并根據(jù)2006年到2012年畢業(yè)生人數(shù)的原始數(shù)據(jù)建立多項(xiàng)式插值函數(shù)，借助MATLAB軟件計(jì)算出2013、2014年的畢業(yè)生人數(shù)。并對(duì)這兩種插值法進(jìn)行了對(duì)比分析。得到拉格朗日插值法在這一問(wèn)題較之三次樣條插值法具有更高的精度。

1 插值法的定義

設(shè)f（x）是定義在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，x0，x1，…，xn是[a，b]上n+1個(gè)互不相同的點(diǎn)，φ是給定的某一函數(shù)類(lèi)。若 φ 上有函數(shù) φ（x），滿足 φ（xi）=f（xi），i=0，1，…，n則稱φ（x）為f（x）關(guān)于點(diǎn)x0，x1，…，xn在φ上的插值函數(shù)；x0，x1，…，xn為插值節(jié)點(diǎn)；稱f（x）為被插值函數(shù)。

2 拉格朗日插值多項(xiàng)式

給定（xi，f（xi））（i=0，1，…，n）其中 xi互不相同，構(gòu)造次數(shù)至多為n的插值多項(xiàng)式Ln（x）：

關(guān)于x0，x1，…，xn的n次拉格朗日插值多項(xiàng)式，它滿足Ln（xi）=f（xi），i=0，1，…，n。

3 三次樣條函數(shù)

給定區(qū)間[a，b]上n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)a=x0

4 示例

將拉個(gè)朗日插值與三次樣條插值應(yīng)用于實(shí)例分析。表1為某學(xué)校2006年到2014年畢業(yè)生的總?cè)藬?shù)。從表1中可以觀察到畢業(yè)生人數(shù)與年份存在某種非線性關(guān)系。本文用一未知函數(shù)f（x）來(lái)表示這種非線性關(guān)系，以自變量x表示年份，函數(shù)值表示畢業(yè)生的總?cè)藬?shù)。將2006年到2013年這8組數(shù)據(jù)作為插值節(jié)點(diǎn)，分別運(yùn)用拉格朗日插值法與三次樣條插值法進(jìn)行擬合，得到畢業(yè)生人數(shù)隨年份的變化曲線。并將預(yù)測(cè)值與真實(shí)值進(jìn)行比較。

表1 某學(xué)校年畢業(yè)總?cè)藬?shù)

以2006年到2012年的畢業(yè)生人數(shù)為7組數(shù)據(jù)對(duì)使用拉格朗日插值法進(jìn)行插值，得到一個(gè)六次多項(xiàng)式函數(shù)Ln（x），以該函數(shù)表示畢業(yè)生人數(shù)與年份的非線性關(guān)系，具體函數(shù)曲線如圖1所示。運(yùn)用該函數(shù)對(duì)2013年的畢業(yè)生人數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到2013年的畢業(yè)生人數(shù)為3875人，2014年的人數(shù)為4122人同樣以2006年到2012年的畢業(yè)生人數(shù)為7組數(shù)據(jù)對(duì)使用三次樣條插值法進(jìn)行擬合，得到一個(gè)三次多項(xiàng)式函數(shù)Sn（x），具體函數(shù)曲線如圖1所示，對(duì)2013年的畢業(yè)生人數(shù)預(yù)測(cè)得到7951人，2014年人數(shù)為14762人。2013、2014年畢業(yè)生真實(shí)數(shù)據(jù)與插值數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

圖1 畢業(yè)生人數(shù)與年份關(guān)系曲線

5 結(jié)束語(yǔ)

由圖1可以觀察出拉格朗日插值數(shù)據(jù)比三次樣條插值更接近真實(shí)值，三次樣條插值表現(xiàn)出了龍格現(xiàn)象，用插值法對(duì)畢業(yè)生人數(shù)與年份的數(shù)據(jù)對(duì)進(jìn)行插值時(shí)，拉格朗日插值法比三次樣條插值法有更高的可靠性與準(zhǔn)確性。

[1] 李慶揚(yáng)，王能超等.數(shù)值分析[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008.12.