林俊 沈璐

概念形成和概念同化是數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的兩種方式。由于小學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)較少、思維能力薄弱，概念形成自然成為他們學(xué)習(xí)概念的主要途徑。掌握數(shù)學(xué)概念的完整歷程，意味著概念形成后，須經(jīng)概念內(nèi)化，直至概念建構(gòu)。在教學(xué)數(shù)學(xué)概念的過(guò)程中，如何選擇學(xué)習(xí)素材，選擇哪些學(xué)習(xí)素材至關(guān)重要。而學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念，并不是一蹴而就的，它是一個(gè)不斷深化，甚至是曲折反復(fù)的過(guò)程。下面以蘇教版《角的初步認(rèn)識(shí)》為例，結(jié)合楊婧、胡彩云兩位青年教師的不同教學(xué)設(shè)計(jì)，談?wù)勅绾芜x擇學(xué)習(xí)素材，促進(jìn)學(xué)生圖形概念的建構(gòu)。

一、同構(gòu)的素材，著力圖形概念的形成

“感知材料——觀察比較——?dú)w納提煉——抽象命名”是概念形成的一般教學(xué)流程。楊老師的設(shè)計(jì)就是按照這樣的邏輯展開的，符合處于具體運(yùn)算階段初期的低年級(jí)學(xué)生以具體、形象為主要思維特征的認(rèn)知規(guī)律。而胡老師的設(shè)計(jì)卻跳出了這種思路，她別出心裁地從折直角模型切入教學(xué)。

從概念形成的一般流程可以看出，感知材料是概念學(xué)習(xí)的首要環(huán)節(jié)。那么提供的學(xué)習(xí)素材的數(shù)量、種類、性質(zhì)等，就直接影響學(xué)生數(shù)學(xué)概念形成的品質(zhì)。縱觀以往設(shè)計(jì)的多種角的引入環(huán)節(jié)（有讓學(xué)生從主題圖中找角的，有讓學(xué)生舉例說(shuō)生活中角的），看似注重了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，實(shí)質(zhì)是對(duì)學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)了解不夠。

我們?cè)?jīng)對(duì)全班學(xué)生進(jìn)行前測(cè)，調(diào)查表明：他們看到“角”字，絕大多數(shù)聯(lián)想到的詞語(yǔ)是幾角錢、牛角、羊角、角色、三角形、角落、墻角等，只有四人知道直角，不足全班人數(shù)的10%。說(shuō)明學(xué)生頭腦中與角有關(guān)的生活概念遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于角的科學(xué)概念，并且他們對(duì)角的科學(xué)概念的認(rèn)識(shí)并不是全面的、完整的，而是局部的、片面的。這時(shí)讓學(xué)生進(jìn)行指角活動(dòng)，不僅指不準(zhǔn)，也沒有判斷的依據(jù)，只是徒勞。在讓他們“畫出心中角的樣子”時(shí)，接近一半的學(xué)生畫的是三角形、四邊形。說(shuō)明學(xué)生不能區(qū)分角與三角形、四邊形，只是對(duì)角有模糊的認(rèn)識(shí)，還沒有形成角的獨(dú)立于多邊形的正確表象。有近四分之一的學(xué)生能夠畫出角的圖形，并且多數(shù)畫的是銳角，對(duì)直角、鈍角了解不多。在與部分學(xué)生交流時(shí)，發(fā)現(xiàn)他們往往把角的頂點(diǎn)看作角。

楊老師對(duì)學(xué)情了如指掌，選擇從學(xué)生佩戴的紅領(lǐng)巾入手，非常契合學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)。從前測(cè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以看出，無(wú)論“想到的詞語(yǔ)”還是“畫出的圖形”，學(xué)生對(duì)平面圖形都情有獨(dú)鐘。“為什么叫三角形？”激活了學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，將陌生的知識(shí)學(xué)習(xí)建立在學(xué)生熟悉的生活經(jīng)驗(yàn)之上，角的概念引入顯得十分自然、快捷?！敖鞘且粋€(gè)什么樣的圖形？”則將學(xué)生引入新知的學(xué)習(xí)領(lǐng)域。

學(xué)生對(duì)三角形印象深刻的原因，無(wú)外乎兩點(diǎn)：一是在一年級(jí)剛剛初步認(rèn)識(shí)三角形等平面圖形，有經(jīng)驗(yàn)；二是生活中三角形的物體特別多，如學(xué)具三角尺、紅領(lǐng)巾等，有表象。所以，角的認(rèn)識(shí)從學(xué)生熟識(shí)的、常用的紅領(lǐng)巾開始，是十分明智的。

為了便于學(xué)生建立角的完整表象和抽象角的特征，楊老師設(shè)置了連續(xù)而遞進(jìn)的指角、找角、析角等活動(dòng)環(huán)節(jié)。學(xué)生指角，往往只是指角的頂點(diǎn)。教師深諳此情，故意放大錯(cuò)誤，當(dāng)呈現(xiàn)放大的一點(diǎn)時(shí)，學(xué)生忽然發(fā)現(xiàn)錯(cuò)了，再指出角的兩條邊。這樣，角的圖形正確表象的形成，不是源于教師的傳達(dá)，而是來(lái)自學(xué)生主動(dòng)的自我反思與自覺調(diào)整。找角，一方面是促進(jìn)學(xué)生將習(xí)得的找角經(jīng)驗(yàn)遷移到新的情境，另一方面是豐富角的樣式，擴(kuò)大角的外延，為后續(xù)概括角的特征提供全面的、多樣的素材。析角是從物體中一一剝離、隱去無(wú)關(guān)的信息，從中透析、抽離出角的要素，使學(xué)生初步直觀地認(rèn)識(shí)角的標(biāo)準(zhǔn)圖形，完整地感知角的不同形態(tài)。

課中生成的角雖然數(shù)量不多，但是很有代表性、同構(gòu)性。有銳角、直角、鈍角，有標(biāo)準(zhǔn)圖形，還有變式圖形，這些角盡管大小不同、位置不同、形狀各異，但是都具備角的共同特征。由于有了之前的找角、指角、描角等細(xì)膩的感知過(guò)程與豐富的經(jīng)驗(yàn)累積，面對(duì)問(wèn)題“這些角的形狀有什么相同的地方？”學(xué)生的回答“都有一個(gè)尖尖的地方”“還有直直的線”雖顯幼稚，但也直逼角的圖形之外在表征。教師因勢(shì)利導(dǎo)、順勢(shì)而為，及時(shí)指出“尖尖的地方是角的‘頂點(diǎn)’，直直的線是角的‘邊’”，將學(xué)生不規(guī)范的日常語(yǔ)言上升到約定的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。而學(xué)生對(duì)角的特征的迅速把握源于對(duì)不同大小、不同形狀角的共同要素的洞察。至此，角的特征的提煉可謂水到渠成、瓜熟蒂落。

胡老師并沒有為學(xué)生直接提供觀察的素材，而是從折直角模型切入，讓學(xué)生經(jīng)歷直角的形成過(guò)程，在此過(guò)程中，自然地認(rèn)識(shí)直角的名稱和直角的特征（有一個(gè)頂點(diǎn)和兩條邊）。接著以此為實(shí)物模型，作為比較標(biāo)準(zhǔn)，讓學(xué)生回到現(xiàn)實(shí)生活中，尋找生活中的哪些角和直角一樣大，哪些比直角大，哪些比直角小。這樣的設(shè)計(jì)將角的大小教學(xué)融入其中，一方面滲透了直角與銳角、鈍角的關(guān)系及判斷標(biāo)準(zhǔn)，另一方面自然過(guò)渡到“角的大小與什么有關(guān)、與什么無(wú)關(guān)”的學(xué)習(xí)。此后，才進(jìn)入角的特征的學(xué)習(xí)。

可見，學(xué)習(xí)素材的選擇，受制于學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，也會(huì)影響教學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)順序。

二、變式的素材，助力圖形概念的內(nèi)化

掌握概念，實(shí)質(zhì)上就是掌握同類事物的共同的關(guān)鍵特征（概念的內(nèi)涵），也意味著能區(qū)分概念的肯定例證與否定例證。如果說(shuō)概念的肯定例證傳遞了最有利于概括的關(guān)鍵信息，那么否定例證則傳遞了最有利于辨別的信息。一切包含有概念的共同關(guān)鍵特征的事物，叫概念的肯定例證。一切不包含這種共同關(guān)鍵特征的事物，叫概念的否定例證。我們不僅要運(yùn)用肯定例證的變式，也要運(yùn)用否定例證以促進(jìn)概念的學(xué)習(xí)。

概念的形成是教學(xué)的重點(diǎn)環(huán)節(jié)，要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所提供的感性材料進(jìn)行觀察、比較、分析、抽象、概括，揭示概念的內(nèi)涵和外延，進(jìn)而形成概念。在這一過(guò)程中，我們要特別注意變式的運(yùn)用，它可以使學(xué)生更好地區(qū)分事物的各種因素，并確定哪些是主要的、本質(zhì)的，哪些是次要的、非本質(zhì)的，對(duì)學(xué)生領(lǐng)會(huì)概念具有事半功倍的效果。兩位教師都從實(shí)物圖中抽象出三個(gè)變式的角的圖形，這三個(gè)角的大小、位置、邊長(zhǎng)都不一樣，變換材料的呈現(xiàn)樣式，提出核心問(wèn)題：這三個(gè)角的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)是什么？引導(dǎo)學(xué)生排除非本質(zhì)屬性的干擾，緊緊圍繞概念的本質(zhì)屬性進(jìn)行觀察，抽象出正確的概念。

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握，不僅要經(jīng)過(guò)概念形成的過(guò)程，而且還要經(jīng)過(guò)概念運(yùn)用的過(guò)程。在運(yùn)用中檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果，深化理解水平。兩位教師在教學(xué)中，不約而同地從兩個(gè)不同的層面幫助學(xué)生把握角的本質(zhì)屬性，理解角的內(nèi)涵和外延。

首先，直接運(yùn)用角的特征去判斷一個(gè)圖形是否是角。兩位教師在圖形呈現(xiàn)的數(shù)量上還是有區(qū)別的。楊老師提供的圖形比胡老師多，并且比教材增添了一個(gè)圖形，一增一減，對(duì)角的概念內(nèi)涵和外延的識(shí)別力度上還是有差別的。“增”豐富了否定例證的類型，使學(xué)生感悟到“不是”角的原因可能是不同的：沒有頂點(diǎn)、一條邊是彎的、兩條邊都是彎的，只要其中一點(diǎn)不符合，這個(gè)圖形就不是角；通過(guò)對(duì)多個(gè)角的肯定例證的判斷，使學(xué)生感悟到“是”角的理由一定是相同的，即“角有一個(gè)頂點(diǎn)和兩條邊”，而與角的形狀、大小、位置無(wú)關(guān)。這是對(duì)角的內(nèi)涵初級(jí)水平的辨別。

其次，在復(fù)雜的情境即變化的圖形中識(shí)別角。由于邊、角不同的組合方式形成的變化結(jié)構(gòu)和復(fù)雜圖形，加大了學(xué)生對(duì)角的識(shí)別與辨析的難度，這是對(duì)角的內(nèi)涵較高水平的辨別。無(wú)論哪種水平的運(yùn)用，概念的肯定例證是從正面強(qiáng)化了角的內(nèi)涵，否定例證則從反面突出了角的本質(zhì)。學(xué)生對(duì)角的內(nèi)涵的理解既是在否定例證的襯托中不斷清晰與穩(wěn)定的，也是在復(fù)雜情境的識(shí)別中不斷豐富與加深的。

掌握概念，不僅要能區(qū)分概念的肯定例證與否定例證，而且要能區(qū)分概念的有關(guān)特征與無(wú)關(guān)特征。一類事物既有有關(guān)特征（本質(zhì)屬性），它決定著事物的分類；也有無(wú)關(guān)特征（非本質(zhì)屬性），它雖然不決定事物是否屬于某一類，但處理不好，會(huì)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)形成干擾。利用好，可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)概念的精確分化。

操作活動(dòng)這種顯性、外化的方式，能夠反映學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念隱性、內(nèi)化的程度。對(duì)角的內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)，除了不斷突出其有關(guān)特征（本質(zhì)屬性）“有一個(gè)頂點(diǎn)和兩條邊”外，楊老師提供了多種多樣、難度不同的制作材料，讓學(xué)生根據(jù)自己的能力選擇，照顧了學(xué)生的差異，使角的表征方式更豐富。簡(jiǎn)明具體的活動(dòng)建議，既有分工要求，又有做法提示，還有合作提醒，真是貼心又溫馨。學(xué)生從大量的刺激模式中（角的大小、方向、材料、顏色等維度的相關(guān)素材），辨別角的這些非本質(zhì)屬性，發(fā)現(xiàn)體現(xiàn)概念特征的刺激模式。可以說(shuō)這些概念的非本質(zhì)屬性是概念的肯定例證在無(wú)關(guān)特征方面的變化。通過(guò)變式，獲得的概念更精確、穩(wěn)定和便于遷移。

相對(duì)而言，胡老師變式素材的運(yùn)用主要體現(xiàn)在角的概念形成階段，在圖形概念理解、內(nèi)化上使用不多。

三、豐富的素材，促進(jìn)圖形概念的建構(gòu)

奧蘇伯爾認(rèn)為，教材最佳的序列，要反應(yīng)知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)不斷分化和綜合貫通的原則。學(xué)生角的概念的學(xué)習(xí)過(guò)程，不能止于能夠理解本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性，識(shí)別標(biāo)準(zhǔn)圖形與變式圖形，還要能與鄰近的其他數(shù)學(xué)概念區(qū)分，與相近的日常生活概念辨析，同樣應(yīng)該體現(xiàn)不斷分化和綜合貫通的原則。不斷分化使學(xué)生對(duì)角的認(rèn)識(shí)更精確，綜合貫通使學(xué)生對(duì)角的認(rèn)識(shí)更開闊。

如果兩位教師在課的最后，再安排角與其他平面圖形、相近的日常生活概念辨析，則會(huì)錦上添花。具體設(shè)計(jì)如下：

片斷1：

（出示三角形、長(zhǎng)方形、正方形、圓和角的圖形）

師：角和這些圖形一樣，都是平面圖形。你們能看出角與這些平面圖形有什么不同嗎？

生：前面幾個(gè)圖形是密封的。

生：角有一處缺口。

師：也就是說(shuō)角是不封閉圖形。那么，這些圖形就是——

生：封閉圖形。

課件出示：

片斷2：

師：我們課前調(diào)查，看到“角”字，大家主要想到這些詞——（呈現(xiàn)：幾角錢、牛角、羊角、角色、三角形、墻角等）今天學(xué)習(xí)的角與它們相同嗎？

生：幾角錢是關(guān)于人民幣的，與今天學(xué)習(xí)的角不同。

生：牛角、羊角的邊是彎的，與數(shù)學(xué)上的角不同。

師：角色是電影或戲劇中扮演的人物，與數(shù)學(xué)上的角不同。

生：三角形雖然不是角，但其中有三個(gè)角。

師：原來(lái)數(shù)學(xué)圖形中藏著角，三角形就是根據(jù)它其中角的個(gè)數(shù)命名的。所以，三角形與數(shù)學(xué)上的角是有關(guān)系的。

生：五角星也是。

師：說(shuō)得好！那么，墻角中有角嗎？（出示圖形）有幾個(gè)？

（學(xué)生意見不一）

師：到底是幾個(gè)呢？我們來(lái)看一看。（課件演示）

上述片斷1將本課學(xué)習(xí)的角的概念與之前學(xué)習(xí)的三角形、長(zhǎng)方形、正方形、圓一起納入到上位概念平面圖形之中，形成認(rèn)知組塊，便于記憶和提取。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生觀察，區(qū)分兩者的不同，又將角的概念與平面圖形中的其他封閉圖形分化開來(lái)，從而形成穩(wěn)定的、清晰的和可辨別的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

片斷2目的在于區(qū)分角的日常概念與角的數(shù)學(xué)概念。如前所述，學(xué)生經(jīng)驗(yàn)中存在很多與角有關(guān)的概念，它們對(duì)角的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)有的起阻礙作用，有的起促進(jìn)作用。學(xué)習(xí)角的數(shù)學(xué)概念后，很有必要進(jìn)行辨別與溝通。