張 淼

(浙江省余姚市實驗學校 315400)

幾何中動點到定點距離的最值問題，歸根結蒂都是轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短，或直線外一點到直線上各點之間垂線段最短.但如何轉(zhuǎn)化都大有文章，特別當動點所在圖形未明示時，思維難度驟增，覺得毫無頭緒，無從下手.為使距離最值問題的求解有圖可索，有序可循，把它分門別類，加以探析.

一、動點在已知定直線上

動點在已知定直線上時，根據(jù)定點個數(shù)又分兩類.

1.與兩個定點有關

(1)當兩個定點在定直線兩旁時，直接運用兩點之間線段最短，連結兩定點的線段與定直線的交點即為所求.(當定直線改為定圓也同樣)

(2)當兩個定點在定直線同旁時，通過軸對稱變換，作其中一個定點關于定直線的對稱點，轉(zhuǎn)化為(1)的情況.(此時定直線不能改為定圓)

例1 如圖1，已知正方形ABCD，AB=a，E是AD上一定點，在AB上作出一點F，使以EF為一邊的正方形ABCD的內(nèi)接平行四邊形EFGH周長最小，并求出最小周長.

分析由正方形的對稱性，既然EFGH是它的內(nèi)接平行四邊形，則頂點G必與頂點E關于正方形ABCD的對稱中心對稱，故點G可確定.

2.與一個定點有關

動點在定直線上與定直線外一個定點的最短距離，歸結為直線外一點與直線上各點之間垂線段最短.具體求解時，往往要利用題中涉及的幾何圖形性質(zhì)，以促使問題的轉(zhuǎn)化.

例4 如圖7，在直角梯形ABCD中，AD=1，AB=2，BC=3，∠A=∠B=90°，E為AB上的動點，連結ED并延長至H，使DH=ED，以EH、EC為鄰邊作ECFH，求對角線EF的最小值.

二、動點在定圓上

當動點在定圓上時，應通過旋轉(zhuǎn)變換或相似變換把問題歸結為已知圓外一點到圓上動點距離的最值問題.

三、題設條件未明示動點所在圖形

這類問題的求解，必須首先確定動點運動的軌跡是直線還是圓(弧)，然后再歸結為上述兩類求解.

例8 如圖15，點A(0，6)，AB=BO，∠ABO=120°，點C在x軸上運動，在坐標平面內(nèi)作點D，使△ACD∽△AOB，連結OD，求OD的最小值.

參考文獻：

[1]潘小梅.初中數(shù)學典型問題100例[M].杭州：浙江教育出版社，2016(10).

[2]應立君，余雪贊.圖形變換中蘊含的數(shù)學之美[J].實驗苑,2016(5).