錢毅加，唐 爍，王旭輝

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廣義重心坐標的遞推關系

錢毅加，唐 爍，王旭輝

(合肥工業(yè)大學數(shù)學學院，安徽 合肥 230009)

重心坐標；遞推式；多邊形

經(jīng)典的重心坐標是一種定義在平面多邊形上的坐標，而不局限于具體的坐標系。多邊形內(nèi)的點由多邊形各頂點線性表出，組合系數(shù)便是重心坐標。為將GBCs的構造方法一般化，本文從遞推關系去探討構造GBCs的本質(zhì)。文獻[1]用質(zhì)心定義了一種自由坐標的幾何結構，對于單形中一點，賦予單形各頂點一定質(zhì)量使得此點成為單形的重心，各頂點上的質(zhì)量排列成向量即此點的重心坐標。相關學者在此基礎上做了許多工作，將重心坐標廣泛應用于圖像處理和有限元分析[1-4]，并構造出眾多適用范圍不一的重心坐標。WACHSPRESS[5]給出了凸多邊形上的一類有理重心坐標(圖1)。FLOATER[6]給出了均值坐標(mean value coordinates)，是一類可定義在非凸多邊形上的重心坐標。馮結青和趙豫紅[7]在此基礎上提出了一種魯棒的均值重心坐標計算方法，避免了均值坐標在多邊形邊界和頂點上的不穩(wěn)定性。WARREN等[1]將重心坐標推廣到任意凸集上，給出了連續(xù)邊界區(qū)域上重心坐標的顯式表達式。ZHANG等[8]給出了局部重心坐標(local value coordinates)，局部改變不產(chǎn)生全局影響。ANISIMOV等[9]結合細分的方法給出了細分重心坐標。

圖1 3種不同GBCs在四邊形上的顏色插值

1 多邊形上的重心坐標

組合系數(shù)唯一，但不一定全正(如為凸多邊形時，4一定在Δ123的外部)。ξ(4)為零意味著退化為三角形，故在此不考慮這種情況。

將式(4)代入式(1)得

圖2 的3種情況(將和分別記作和，紅色頂點表示v4關于此點的重心坐標為正)

綜上

證明2. 一般情況。

對于平面邊形上重心坐標的構造，采取遞推的方式。將式(1)寫為

不等式(3)將四邊形分割成了四塊區(qū)域(圖4(b))。

2 實 例

不等式在平面上將P1分割成了4個區(qū)域D01、D03、D21和D23(圖4(b))，當，屬于區(qū)間，其中。圖3在三維中畫出了σ4的取值范圍。

圖4 構造五邊形上的重心坐標

WACHSPRESS[5]提出了凸多邊形上的一種重心坐標

其中，關于5的坐標5是自由變量，取值范圍為

下面在1上再構造一組新的重心坐標。從圖4(b)不難看出，存在定義于1上的分段多項式函數(shù)為

3 結束語

[1] WARREN J, SCHAEFER S, HIRANI A N, et al. Barycentric coordinates for convex sets [J]. Advances in Computational Mathematics, 2007, 27(3): 319-338.

[2] LI X Y, JU T, HU S M. Cubic mean value coordinates [J]. ACM Transactions on Graphics, 2013, 32(4): 126.

[3] RAND A, GILLETTE A, BAJAJ C. Quadratic serendipity finite elements on polygons using generalized barycentric coordinates [J]. Mathematics of Computation, 2014, 83(290): 2691-2716.

[4] 肖艷陽, 涂錦燦, 陳中貴. 結合廣義重心坐標與Voronoi剖分的函數(shù)分片逼近[J]. 圖學學報, 2015, 36(3): 367-375.

[5] WACHSPRESS E L. A rational finite element basis[M]. New York: Academic Press, 1975: 49-51 .

[6] FLOATER M S. Mean value coordinates [J]. Computer Aided Geometric Design, 2003, 20(1): 19-27.

[7] 馮結青, 趙豫紅. 均值重心坐標的魯棒算法及其幾何性質(zhì)[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2004, 16(6): 772-776.

[8] ZHANG J Y, DENG B L, LIU Z S, et al. Local barycentric coordinates [J]. ACM Transactions on Graphics, 2014, 33(6): 188.

[9] ANISIMOV D, DENG C Y, HORMANN K. Subdividing barycentric coordinates [J]. Computer Aided Geometric Design, 2016, 43: 172-185.

[10] FLOATER M S. On the monotonicity of generalized barycentric coordinates on convex polygons [J]. Computer Aided Geometric Design, 2016, 42: 34-39.

Recursion on Generalized Barycentric Coordinates

QIAN Yijia, TANG Shuo, WANG Xuhui

(School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei Anhui 230009, China)

barycentric coordinates; recursion; polygon

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2018020251

A

2095-302X(2018)02-0251-05

2017-07-09；

2017-08-28

錢毅加(1992–)，女，安徽合肥人，碩士研究生。主要研究方向為計算機輔助幾何設計。E-mail：qianyj@mail.hfut.edu.cn

王旭輝(1980–)，男，安徽廬江人，副教授，博士。主要研究方向為計算機輔助幾何設計。E-mail：xhw@hfut.edu.cn