蘆碧波，王樂(lè)蓉，鄭艷梅，王永茂，李曉瑩，秦鈺翔

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基于各向異性全變分的迭代濾波算法

蘆碧波1,2，王樂(lè)蓉1，鄭艷梅1，王永茂1，李曉瑩1，秦鈺翔1

(1. 河南理工大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河南 焦作 454000；2. 廣東省數(shù)據(jù)科學(xué)工程技術(shù)研究中心，廣東 廣州 510631)

空間鄰近度和像素值相似度的雙邊濾波(BF)器在濾波時(shí)，由于其值域?yàn)V波核系數(shù)的計(jì)算易受到噪聲的干擾，在噪聲水平較大時(shí)，直接使用噪聲圖像來(lái)指導(dǎo)核函數(shù)權(quán)值計(jì)算的方案不可行。為此，提出一種結(jié)合各向異性全變分和BF的圖像去噪算法，將各向異性全變分算法與BF算法相結(jié)合，首先利用各向異性全變分算法對(duì)噪聲圖像進(jìn)行處理，得到一幅邊緣結(jié)構(gòu)信息較為豐富的結(jié)果圖像，接著將該結(jié)果圖像作為BF算法的引導(dǎo)圖像來(lái)指導(dǎo)值域?yàn)V波核系數(shù)的計(jì)算，為保證算法的穩(wěn)定性，對(duì)上述過(guò)程進(jìn)行迭代處理。此外，為提高各向異性全變分算法的計(jì)算效率，引入了Split Bregman迭代算法進(jìn)行加速處理。實(shí)驗(yàn)表明，該算法能在較好去噪的同時(shí)，保留較多的邊緣結(jié)構(gòu)信息。

圖像去噪；雙邊濾波；各向異性全變分算法；Split Bregman迭代方法；結(jié)構(gòu)保持能力

圖像中噪聲的存在導(dǎo)致了圖像質(zhì)量的下降，圖像降質(zhì)不僅給用戶帶來(lái)了不便，也阻礙了圖像后續(xù)處理任務(wù)的進(jìn)行，因此，圖像去噪往往是圖像處理任務(wù)中的第一步。濾波是圖像去噪的重要手段之一，根據(jù)降噪處理空間的不同，濾波主要可以分為頻率域?yàn)V波和空間域?yàn)V波兩大類。常見(jiàn)的頻率域?yàn)V波方法有小波變換、傅里葉變換等，其基本原理是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域中進(jìn)行處理，之后再通過(guò)反變換到空間域；常見(jiàn)的空間域?yàn)V波方法有均值濾波、中值濾波和高斯濾波等，其基本原理是借助模板對(duì)圖像中的每個(gè)點(diǎn)與其相鄰的像素點(diǎn)作鄰域運(yùn)算。對(duì)于實(shí)際生活中常見(jiàn)的加性高斯噪聲，高斯濾波有著較好的處理效果。但由于該方法只考慮了空間上的鄰近關(guān)系，導(dǎo)致其在平滑圖像的同時(shí)也退化了邊緣[1]。為了克服這一缺點(diǎn)，1998年TOMASI和MANDUCHI[2]提出了雙邊濾波(bilateral filtering，BF)方法。

BF算法是基于高斯濾波的一種改進(jìn)算法，其不僅考慮了像素空間上的鄰近關(guān)系，也考慮了像素值間的相似性。通過(guò)對(duì)兩者的非線性組合，能夠在濾除噪聲的同時(shí)保留更多的邊緣信息。因?yàn)锽F算法簡(jiǎn)單且較容易實(shí)現(xiàn)，被廣泛應(yīng)用于圖像去霧[3]、圖像增強(qiáng)[4]等領(lǐng)域中。然而，由于BF算法是使用噪聲圖像來(lái)指導(dǎo)加權(quán)系數(shù)的計(jì)算，在噪聲水平較小的情況下，該方案可行，但當(dāng)噪聲水平較高時(shí)，噪聲圖像的結(jié)構(gòu)信息被噪聲破壞，嚴(yán)重影響了值域核加權(quán)系數(shù)的準(zhǔn)確計(jì)算，導(dǎo)致其去噪效果變差。

文獻(xiàn)[5]指出，若直接使用清晰圖像來(lái)引導(dǎo)值域核加權(quán)系數(shù)的計(jì)算會(huì)極大改善去噪效果。雖然在去噪問(wèn)題中使用清晰圖像引導(dǎo)BF進(jìn)行去噪是一種無(wú)法實(shí)現(xiàn)的悖論，但尋找一幅優(yōu)于噪聲圖像的引導(dǎo)圖像是可行的?；诖耍霈F(xiàn)了很多BF的改進(jìn)算法，例如2005年XU和PATTANAIK[5]提出了用高斯濾波計(jì)算后的結(jié)果圖像來(lái)引導(dǎo)BF去噪的模型；2009年ZHOU等[6]提出了二次迭代雙邊濾波(doubly bilateral filtering，DBF)，即用第一次雙邊濾波的結(jié)果來(lái)指導(dǎo)第二次雙邊濾波；2015年CHAUDHURY和RITHWIK[7]提出了加權(quán)雙邊濾波(weigthted bilateral filtering，WBF)，該方法是使用BF和魯棒的BF進(jìn)行加權(quán)，其中魯棒的BF是先使用均值濾波對(duì)噪聲圖像進(jìn)行預(yù)處理，而后用預(yù)處理后的結(jié)果圖像來(lái)引導(dǎo)BF去噪。但由于以上方法均存在濾波結(jié)果圖像結(jié)構(gòu)丟失的情況，其效果仍不能令人滿意。

考慮到各向異性全變分算法[8-9]能夠較好的保持圖像邊緣結(jié)構(gòu)信息，基于此，本文充分結(jié)合各向異性全變分算法和BF算法的優(yōu)勢(shì)，提出了各向異性全變分引導(dǎo)BF去噪的方法，并利用了Split Bregman迭代算法[10-11]對(duì)該模型進(jìn)行快速求解。實(shí)驗(yàn)表明，本文算法在較好去噪的同時(shí)保留了更多的紋理結(jié)構(gòu)信息，明顯改善了圖像質(zhì)量。

1 基于各向異性全變分的雙邊濾波算法

1.1 雙邊濾波

圖像去噪的目標(biāo)是從噪聲圖像中獲得最近于原始圖像的估計(jì)值，本文使用零均值加性高斯噪聲作為噪聲模型，即

其中，為無(wú)噪聲圖像；是均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為的高斯白噪聲；為噪聲圖像；Ω為圖像的定義域，像素點(diǎn)(,)?Ω。

為了盡可能地濾除噪聲圖像中的噪聲，還原無(wú)噪聲圖像，BF利用局部加權(quán)平均的思想來(lái)計(jì)算復(fù)原圖像的像素值，其模型公式為

其中，S,y表示中心點(diǎn)為(,)的(21)(2+1)大小的鄰域，對(duì)該鄰域內(nèi)的每一像素點(diǎn)(,)，其加權(quán)系數(shù)(,)均由兩部分因子的乘積組成，即

其中空域核函數(shù)和值域核函數(shù)的計(jì)算公式分別為

從式(3)可看出，BF器的加權(quán)系數(shù)由兩個(gè)高斯核函數(shù)組成，一個(gè)是空域核函數(shù)，由圖像的幾何空間距離決定，距離越小，權(quán)值越大；另一個(gè)是值域核函數(shù)，由圖像的像素差值決定，像素值越接近，權(quán)值越大；通過(guò)將這兩個(gè)核函數(shù)進(jìn)行乘積，可以實(shí)現(xiàn)圖像的自適應(yīng)濾波。在圖像變化平緩的區(qū)域，值域?yàn)V波核函數(shù)接近1，此時(shí)空域?yàn)V波起主要作用，BF器退化為傳統(tǒng)的高斯濾波器，對(duì)圖像進(jìn)行平滑操作。而在圖像邊緣部分，由于像素間的差異較大，此時(shí)值域?yàn)V波起到了保護(hù)邊緣信息不被模糊的作用。

1.2 引導(dǎo)圖像的分析與選擇

從式(5)可看出，BF器使用的是噪聲圖像來(lái)引導(dǎo)值域核函數(shù)的計(jì)算，的結(jié)構(gòu)信息與吻合程度越高，值域核函數(shù)的計(jì)算就越準(zhǔn)確。但是，當(dāng)噪聲較多時(shí)，引導(dǎo)圖像的結(jié)構(gòu)信息被湮沒(méi)，無(wú)法為值域核函數(shù)的計(jì)算提供有效的引導(dǎo)信息，影響加權(quán)系數(shù)的準(zhǔn)確性從而進(jìn)一步影響了BF的去噪效果。為此，需要尋找更為合理的引導(dǎo)圖像構(gòu)造加權(quán)函數(shù)。在文獻(xiàn)[7]中，研究人員使用均值函數(shù)處理噪聲圖像，并將其結(jié)果用來(lái)構(gòu)造加權(quán)函數(shù)，取得了一定的效果。均值函數(shù)雖然可以減少噪聲的影響，但也不可避免模糊邊界等重要特征。

為了利用噪聲圖像構(gòu)造清晰的引導(dǎo)圖像、改善去噪效果，本文選用了基于L1范數(shù)的各向異性全變分算法(anisotropic TV，ATV)來(lái)構(gòu)造引導(dǎo)圖像，即

其中，第一項(xiàng)是正則項(xiàng)，要求輸出的結(jié)果圖像具有良好的結(jié)構(gòu)信息且光滑；第二項(xiàng)是擬合項(xiàng)，要求輸入和輸出圖像間具有一定的相似性，能夠保留原圖像的特征；參數(shù)為規(guī)整參數(shù)，其依賴于噪聲水平。

由模型定義可知，該模型利用圖像內(nèi)在的正則性進(jìn)行去噪，易于從噪聲圖像中得到包含清晰圖像結(jié)構(gòu)的解，輸出一個(gè)包含較為豐富的邊緣等重要結(jié)構(gòu)信息結(jié)果圖像。

1.3 各向異性全變分引導(dǎo)雙邊濾波去噪模型

基于各向異性全變分算法可以較好保持圖像結(jié)構(gòu)信息的優(yōu)勢(shì)，本文考慮將各向異性全變分算法與BF相結(jié)合，利用各向異性全變分算法得到的結(jié)果圖像作為BF的引導(dǎo)圖像。同時(shí)，為了避免各向異性全變分算法在光滑過(guò)渡區(qū)域恢復(fù)過(guò)程中產(chǎn)生的塊狀效果即階梯效應(yīng)，設(shè)計(jì)了一種相互迭代的策略，使用BF的加權(quán)平均機(jī)制對(duì)階梯效應(yīng)進(jìn)行抑制，以改善最終的濾波效果。具體迭代式為

初始條件u0=v0=f，其具體算法流程為：首先輸入噪聲圖像u0=v0=f，接著利用各向異性模型對(duì)噪聲圖像進(jìn)行計(jì)算得到結(jié)果圖像ui+1；然后將ui+1作為BF的引導(dǎo)圖像輸入進(jìn)行BF得到結(jié)果圖像vi+1，如此循環(huán)迭代，直到圖像達(dá)到良好地去噪效果為止(圖1)。

2 各向異性全變分引導(dǎo)雙邊濾波去噪的快速算法

2.1 各向異性全變分算法的Split Bregman算法

通過(guò)Split Bregman算法可以得到迭代式為

注意到該能量函數(shù)的第一項(xiàng)是保證光滑，為了得到，令式(10)關(guān)于的導(dǎo)數(shù)等于零可得到

最后利用收縮式(10)計(jì)算d和d的迭代式

2.2 各向異性全變分引導(dǎo)雙邊濾波去噪的Split Bregman算法

綜上所述，本文算法的計(jì)算步驟如下：

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為驗(yàn)證本文算法的有效性，利用Matlab R2015b分別對(duì)Cameraman、Lena、Lake和Pepper圖像進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，并與BF算法、DBF算法和WBF算法進(jìn)行了對(duì)比。

圖2給出了Cameraman圖像(256′256)在噪聲水平=10的去噪結(jié)果，圖3給出了Lake圖像(512′512)在噪聲水平=20的去噪結(jié)果。為進(jìn)一步從主觀上體現(xiàn)各個(gè)算法的去噪效果，給出了對(duì)比算法的局部放大圖：其中(a)為原始圖像，(b)為添加噪聲后的圖像，為添加高斯白噪聲的方差；(c)為BF結(jié)果；(d)為DBF結(jié)果；(e)為WBF結(jié)果；(f)為本文算法結(jié)果；圖(g)~(k)分別為圖(b)~(f)的局部放大圖。

圖2 Cameraman圖像去噪結(jié)果對(duì)比

圖3 Lake圖像去噪結(jié)果對(duì)比

從圖2對(duì)Cameraman圖像的測(cè)試表明，在噪聲較小的情況下，各個(gè)算法的去噪效果區(qū)別不明顯，因?yàn)樯倭康脑肼暃](méi)有對(duì)圖像的結(jié)構(gòu)造成較大的影響，仍保留了原圖像較多的結(jié)構(gòu)信息，此時(shí)用噪聲圖像來(lái)引導(dǎo)BF算法，可以得到較好的結(jié)果。但從局部放大圖中看出，本文算法比其他3種算法有著較強(qiáng)的邊緣結(jié)構(gòu)保持能力，且較完整地保留了原圖像中建筑物的結(jié)構(gòu)信息。

從圖3對(duì)Lake圖像的測(cè)試表明，當(dāng)噪聲增大時(shí)，BF算法的抑噪能力變差，殘留了較多噪聲；DBF和WBF算法則出現(xiàn)了不同程度的模糊現(xiàn)象，丟失了部分圖像細(xì)節(jié)信息；而本文算法的優(yōu)勢(shì)得以體現(xiàn)，從對(duì)白云的放大圖來(lái)看，由本文算法計(jì)算得到的結(jié)果圖像在視覺(jué)上表現(xiàn)的更加自然。

為進(jìn)一步驗(yàn)證各個(gè)算法的紋理保護(hù)能力，圖4和5分別給出了Lena和Pepper圖像在不同噪聲水平情況下各算法的對(duì)比。從差值圖像中可以看出各算法的結(jié)構(gòu)保持能力，若差值圖像中出現(xiàn)有用的結(jié)構(gòu)信息越少，證明該算法的紋理保護(hù)能力越強(qiáng)。

從圖4和5的去噪結(jié)果對(duì)比得到，在噪聲較多情況下，使用BF算法進(jìn)行去噪的效果較差，因?yàn)榇罅康脑肼曚螞](méi)了原圖像中的有用信息，此時(shí)的噪聲圖像不能夠?yàn)锽F算法提供有效的引導(dǎo)信息，丟失了較多的圖像細(xì)節(jié)信息；DBF算法是將BF算法迭代了兩次，導(dǎo)致結(jié)果圖像的部分區(qū)域出現(xiàn)了過(guò)平滑現(xiàn)象；WBF算法雖較前兩者有效地提高了去噪效果，但由于該算法使用了均值濾波進(jìn)行預(yù)處理，其結(jié)果圖像不可避免地出現(xiàn)了模糊現(xiàn)象；相比之下，本文算法的去噪效果較為明顯，能夠在噪聲較多的情況下保持其良好的去噪性能。此外，從殘差圖像中看出，BF、DBF和WBF算法的殘差圖中殘留了較多的邊緣結(jié)構(gòu)信息，而本文算法的殘差圖出現(xiàn)的有用的結(jié)構(gòu)信息較少，得益于使用了各向異性全變分算法來(lái)進(jìn)行建模的結(jié)果。

為客觀評(píng)價(jià)各個(gè)算法的去噪性能，本文選取了峰值信噪比(peak signal to noise ratio，PSNR)來(lái)進(jìn)行圖像質(zhì)量的評(píng)價(jià)。

圖4 Lena圖像去噪結(jié)果對(duì)比

圖5 Pepper圖像去噪結(jié)果對(duì)比

通常，PSNR越高，圖像的去噪效果越好。其計(jì)算式為

其中，、分別為圖像的行列數(shù)。

表1給出了4種模型的PSNR值。由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示，本文算法的PSNR值較BF算法、DBF和WBF有了明顯的提高，驗(yàn)證了本文算法其較好的去噪性能。

表1 峰值信噪比對(duì)比(dB)

4 結(jié) 論

本文結(jié)合各向異性全變分算法與BF算法，提出了各向異性全變分引導(dǎo)BF去噪的迭代方法，并引入Split Bregman迭代算法對(duì)該模型進(jìn)行加速求解。通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明，本文算法可以在較好去除噪聲的同時(shí)較好的保持邊緣結(jié)構(gòu)信息，有效地解決了BF算法在噪聲水平變大時(shí)，其去噪性能變差這一缺點(diǎn)。

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An Iterative Image Filter Based on Anisotropic Total Variation

LU Bibo1,2, WANG Lerong1, ZHENG Yanmei1, WANG Yongmao1, LI Xiaoying1, QIN Yuxiang1

(1. College of Computer Science and Technology, Henan Polytechnic University, Jiaozuo Henan 454000, China; 2. Guangdong Engineering Research Center for Data Science, Guangzhou Guangdong 510631, China)

Spatial proximity and similarity of the pixel values of bilateral filter in the filter based on the calculation of the range of filter kernel coefficient is susceptible to noise interference. When the noise level is high, the direct use of noise image to guide the kernel weight computation program is not feasible. Therefore, in this paper, the anisotropic total variation and bilateral filtering are combined. Firstly, the image is processed by the anisotropic total variation model, and the result image with rich edge structure information is obtained. Then the calculation results of image as a guide bilateral filtering image to guide the range of filter kernel coefficient. In order to ensure the stability of the algorithm, the above process is iterated. In addition, in order to improve the computational efficiency of the anisotropic total variation model, the Split Bregman iterative algorithm is introduced to accelerate the computation. The experimental results show that the proposed algorithm can preserve more edge information while denoising.

image denoising; bilateral filter; anisotropic total variation; Split Bregman iterative method; structure preserve capability

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2018020186

A

2095-302X(2018)02-0186-07

2017-06-19；

2017-08-13

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(U1404103)；河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(14A520029，16A520053)；河南理工大學(xué)創(chuàng)新型科研團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目(T2014-3)；河南理工大學(xué)博士基金項(xiàng)目(B2016-40)

蘆碧波(1978–)，男，河南焦作人，副教授，博士。主要研究方向?yàn)閿?shù)字圖像處理。E-mail：lubibojz@gmail.com