非線性非最小相位船舶舵減搖系統(tǒng)的滑?？刂?/h1>
2018-05-08 07:52:09王世凱金鴻章
計算機工程與應用 2018年9期
王世凱，金鴻章
WANG Shikai1，2,JIN Hongzhang1
1.哈爾濱工程大學 自動化學院,哈爾濱 150001
2.哈爾濱師范大學 數(shù)學科學學院,哈爾濱 150025
1.College ofAutomation,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China
2.School of Mathematical,Harbin Normal University,Harbin 150025,China
1 引言
船舶在海上航行時易受到風、浪等環(huán)境干擾的影響，致使產(chǎn)生航向偏移和運動位置的搖擺，大大影響船舶的工作效率和運行的平穩(wěn)性。方向舵不僅能夠提供艏搖力矩，而且能夠產(chǎn)生橫搖力矩[1]。如果能夠合理地利用舵產(chǎn)生的橫搖力矩，則在控制船舶航向的同時，同時獲得減搖的效果[2-4]。且與傳統(tǒng)的減搖設備相比，舵減搖具有投資小，占用空間少，減搖效果好，生成的水下噪聲小等諸多特點。
我國在舵減搖控制方面的研究始于20世紀80年代。費乃振等使用遙控自航船模在純橫浪條件下進行舵減搖研究，設計出抗擾性能較好的魯棒控制器[5]。哈爾濱工程大學的劉勝等將考慮舵機對舵角和舵速的限制作用，設計了基于正實思想的舵減搖魯棒控制系統(tǒng)，解決了模型對象攝動時的減搖效果[6-8]。彭秀艷等基于并行分布補償原理和T-S模糊模型逼近方法設計了舵減搖的狀態(tài)反饋控制器，并將該控制器應用于某型實船試驗中，獲得較好的控制效果[9]。宋立忠等依據(jù)船舶狀態(tài)空間模型，基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡設計分離型的舵鰭聯(lián)合減搖綜合控制器，提高了減搖系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)定性[10]。
通過上述文獻的綜合分析可以看出，目前大部分控制系統(tǒng)對外部干擾抑制不夠強，且未考慮減搖裝置自身的非線性特性，致使減搖率不夠高。本文從模型角度出發(fā)利用非線性控制理論分析船舶舵減搖系統(tǒng)的非最小相位特性，然后結合反饋線性化和非線性滑?？刂品椒ńo出同步進行減搖和航向控制的控制器設計策略，較好地抑制了海浪干擾對船舶控制系統(tǒng)的影響，大大提高了舵減搖系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)定性。
2 船舶動力特征分析與模模建立
船舶的動力特性是狀態(tài)和輸入的非線性微分方程。通常設計的舵減搖控制系統(tǒng)是將狀態(tài)和輸入線性化[11]。本文研究狀態(tài)為非線性的船舶動力學方程，具體建立過程如下。
2.1 船舶模型
非線性的單輸入單輸出船舶模型如下：
其中x′∈IR5是狀態(tài)，b∈IR是舵角，y∈IR是艏搖角量度，wH∈IR 用來描述一階波的擾動，b?和 f′?(x′)用來描述船舶動力學。在式（1）中的狀態(tài)變量可以做如下定義：
其中φ是橫搖角，p是橫搖的角速度，v是橫蕩速度，r是艏搖角速度，ψ是艏搖角。為了獲得期望的平衡點xd=0的船舶模型，狀態(tài)變量需要做如下修正且要滿足：
其中rd是期望的艏搖角速度，ψd是期望的艏搖角。因此控制算法應該滿足。事實上式（1）中的非線性部分可以分成一個線性部分和一個非線性部分，通過調(diào)整式（3）中的狀態(tài)參數(shù)可以獲得如下的船舶動力學方程：
2.2 改進的船舶模型
式（4）描述的船舶動力學方程通常是未知的非線性函數(shù)，為了方便控制器的設計對動力學方程做如下近似：
通過對式（4）的變形可以獲得如下的船舶動力學方程：
對建模誤差Δx(x)和Δu做如下定義：
建模誤差取決于估計的準確性，線性估計A和b通常近似于真實值。
2.3 數(shù)學基礎知識
為了分析船舶模型中的非線性運動方程，引入Z=Φ(x)這一變換。為了尋找合適的變換作如下的數(shù)學定義。
定義1關于函數(shù)h(x)的梯度向量d：
定義2沿著向量區(qū)域的λ(x)函數(shù)的導數(shù)為 f(x)：
其中Lfλ(x)稱為李導數(shù)。具有如下的遞歸性：
在定義2的基礎上，定義了非線性系統(tǒng)的相對階。
定義3一類非線性系統(tǒng)可以看成如下形式[12-13]：
其中的相對階r滿足：
引理1通常選擇φr+1(x),…,φn(x)，此時梯度向量要逐一線性化且需滿足
2.4 標準型
通過如下變換，船舶模型方程式（4）可以化成更為簡單的形式：
根據(jù)引理1，這種變換形式為：
且變換后動力學方程變?yōu)椋?/p>
進一步為：
引入逆變換x=φ-1(z)且將其應用于滿足標準形式的方程式（12）中去：
為了簡化數(shù)量級，分別用二個和三個狀態(tài)變量將系統(tǒng)式（13）改寫成兩個子系統(tǒng)。定義ξ=[z1,z2]T和η=[z3,z4,z5]T，因此有：
且式（13）可以表示為：
2.5 零動態(tài)
由標準型。選擇u=-a(0,η)/b(0,η)后得到關于ξ=0的系統(tǒng)式（15）的零輸出y=0，因此η動力學方程為：
這就是簡化后的系統(tǒng)零輸入模型。如果零動力學不穩(wěn)定，系統(tǒng)式（5）就叫做非線性非最小相位系統(tǒng)[14-15]。從式（15）或式（17）可以驗證零動力學是單獨的輸入，且不會因為反饋而改變。因此如果零動力學不穩(wěn)定，就達不到完全跟蹤而變?yōu)闈u進跟蹤[16]。所有船舶的橫搖都顯示了一種非最小相位的特性，而艏搖是最小相位。這就表示通過輸入u和輸出y=cT(x)所給出的零動力學模型是不穩(wěn)定的。因此在橫搖中就不可以使用反饋線性化的方法，而系統(tǒng)的逆動力學方程也將變得不穩(wěn)定。
基于上述分析本文提出一種可以應用于非最小相位系統(tǒng)的非線性舵減搖控制律。該控制器建立在定理1和假設1的基礎之上。
定理1令η=0為非線性系統(tǒng)的一個平衡點
其中η:D→IRn是連續(xù)可微的，D是原點的鄰域，令
則：（1）對于 Q?的所有特征值來說，如果 Re(λi)＜0 則系統(tǒng)漸進穩(wěn)定；（2）如果Q*的一個或者多個特征值滿足Re(λi)＞0 則系統(tǒng)不穩(wěn)定。
現(xiàn)在假設q?(0,η)是船舶動力學的零動態(tài)，且q(0,η)是零動態(tài)估計，則有假設1：
3 一類非最小相位舵減搖和航向保持的控制器設計
船舶是輸入為舵角，輸出為橫搖角的非最小相位系統(tǒng)。這可以從船舶動力學標準型看出，因此考慮如下的船舶動力學方程：
通過變換：
得到標準型：
則有：
能夠證明其零動態(tài)方程
是不穩(wěn)定的。為了克服上述問題，應用滑?？刂圃O計如下。
3.1 橫搖滑模面
定義一個滑模面：
其中α＞0，將滑模面作為輸出，船舶模型可以改寫為：
控制目標是調(diào)整σ到0且φ=p=0。容易驗證式（25）的相對階為1。 定義一個新的向量：
則滿足：
則式（15）可以變?yōu)椋?/p>
其中：
然而這一問題可以通過調(diào)整滑模面得到解決。如圖1所示給出了非線性滑?？刂频暮较虮３制飨到y(tǒng)框圖。
圖1 非最小相位橫搖穩(wěn)定與航向保持系統(tǒng)控制器
3.2 橫搖和艏搖的復合滑模面
改進后的滑模面為：
其中k=[k1,k2,k3,k4]T，因此改進后的σ和η的系統(tǒng)如下：
在假設1的條件下式（37）中的零動態(tài)是穩(wěn)定的，σ正則性保證了并且方程（34）表明，因此：
這樣討論上述內(nèi)動態(tài)系統(tǒng)的有界性，使得問題變得簡單。
3.3 非線性控制器設計
為了得到期望的σ動力學（當t→0時σ→0），設計如下控制器：
其中 kσ是反饋增益，kη是前饋增益向量，k(σ,η)(σ,η)是反饋線性化項，μ＞0是切換增益，φ＞0是邊界層參數(shù)。這三種增益在2.4節(jié)的穩(wěn)定性證明中都已經(jīng)給出，此時邊界層參數(shù)是為了減少期望的舵時間導數(shù)的最大值的一組設計參數(shù)。
3.4 穩(wěn)定性證明
假設輸入增益向量b很小時的建模誤差為：
零動態(tài)式（37）是穩(wěn)定的且與δ無關，則如果在有限的時間里 η→0能夠獲得 σ=0，因此在控制器式（40）下，式（35）和（36）和船舶模型式（5）的穩(wěn)定性可以用下面的李亞普諾夫函數(shù)來證明：
將控制器代入，有：
其中γ≥0，這種控制器參數(shù)的選擇表明：
最后選擇相應的切換增益μ且滿足：
一個關于時間的負半定導數(shù)的李亞普諾夫函數(shù)V(σ)就被確定如下：
則方程式（39）
4 仿真實驗
選擇某多功能海軍運輸船為研究的仿真對象。本文仿真3級海情下的海浪干擾，有義波高4 m，遭遇角45°，舵角變化率限制在 20（°/s），舵角限幅為±30°。在考慮節(jié)約舵機能量的作用下，設計滑模控制器參數(shù)如下所示：
圖2～圖5的橫軸均表示仿真時間，單位為s。
圖2 滑模控制器不工作時的橫搖角
圖3 滑模控制器工作時的橫搖角
圖4 PID控制器工作時的橫搖角
圖5 滑?？刂破鞴ぷ鲿r輸出的舵角變化曲線
海浪對船舶干擾力和力矩的仿真計算采用切片理論。通常用減搖率來表示阻搖控制效果，本文所設計的控制系統(tǒng)在前文所述海情中的減搖率為42%，在同等條件下，為驗證本文控制方法的優(yōu)越性，選擇用試湊法設計的PID控制器進行對比，得出的減搖率為34%。可見，采用非線性滑模模型所設計的舵減搖控制器能夠有效地減小橫搖，同時航向角在+20°之間變化，可以獲得更為穩(wěn)定的航行效果，符合實際工程設計的需求。
5 結束語
本文所設計的舵減搖系統(tǒng)的非線性滑?？刂破髂軌蛴行У匾种坪＠说母蓴_，優(yōu)于常規(guī)的PID控制方法，具有良好的魯棒性。由于舵減搖和鰭減搖各有所長，它們的減搖機理也很近似，將本文的研究方法應用于減搖鰭或者舵鰭聯(lián)合減搖，值得在今后的工作中繼續(xù)深入研究。
參考文獻：
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2.哈爾濱師范大學 數(shù)學科學學院,哈爾濱 150025
1.College ofAutomation,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China
2.School of Mathematical,Harbin Normal University,Harbin 150025,China
1 引言
船舶在海上航行時易受到風、浪等環(huán)境干擾的影響，致使產(chǎn)生航向偏移和運動位置的搖擺，大大影響船舶的工作效率和運行的平穩(wěn)性。方向舵不僅能夠提供艏搖力矩，而且能夠產(chǎn)生橫搖力矩[1]。如果能夠合理地利用舵產(chǎn)生的橫搖力矩，則在控制船舶航向的同時，同時獲得減搖的效果[2-4]。且與傳統(tǒng)的減搖設備相比，舵減搖具有投資小，占用空間少，減搖效果好，生成的水下噪聲小等諸多特點。
我國在舵減搖控制方面的研究始于20世紀80年代。費乃振等使用遙控自航船模在純橫浪條件下進行舵減搖研究，設計出抗擾性能較好的魯棒控制器[5]。哈爾濱工程大學的劉勝等將考慮舵機對舵角和舵速的限制作用，設計了基于正實思想的舵減搖魯棒控制系統(tǒng)，解決了模型對象攝動時的減搖效果[6-8]。彭秀艷等基于并行分布補償原理和T-S模糊模型逼近方法設計了舵減搖的狀態(tài)反饋控制器，并將該控制器應用于某型實船試驗中，獲得較好的控制效果[9]。宋立忠等依據(jù)船舶狀態(tài)空間模型，基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡設計分離型的舵鰭聯(lián)合減搖綜合控制器，提高了減搖系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)定性[10]。
通過上述文獻的綜合分析可以看出，目前大部分控制系統(tǒng)對外部干擾抑制不夠強，且未考慮減搖裝置自身的非線性特性，致使減搖率不夠高。本文從模型角度出發(fā)利用非線性控制理論分析船舶舵減搖系統(tǒng)的非最小相位特性，然后結合反饋線性化和非線性滑?？刂品椒ńo出同步進行減搖和航向控制的控制器設計策略，較好地抑制了海浪干擾對船舶控制系統(tǒng)的影響，大大提高了舵減搖系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)定性。
2 船舶動力特征分析與模模建立
船舶的動力特性是狀態(tài)和輸入的非線性微分方程。通常設計的舵減搖控制系統(tǒng)是將狀態(tài)和輸入線性化[11]。本文研究狀態(tài)為非線性的船舶動力學方程，具體建立過程如下。
2.1 船舶模型
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其中x′∈IR5是狀態(tài)，b∈IR是舵角，y∈IR是艏搖角量度，wH∈IR 用來描述一階波的擾動，b?和 f′?(x′)用來描述船舶動力學。在式（1）中的狀態(tài)變量可以做如下定義：
其中φ是橫搖角，p是橫搖的角速度，v是橫蕩速度，r是艏搖角速度，ψ是艏搖角。為了獲得期望的平衡點xd=0的船舶模型，狀態(tài)變量需要做如下修正且要滿足：
其中rd是期望的艏搖角速度，ψd是期望的艏搖角。因此控制算法應該滿足。事實上式（1）中的非線性部分可以分成一個線性部分和一個非線性部分，通過調(diào)整式（3）中的狀態(tài)參數(shù)可以獲得如下的船舶動力學方程：
2.2 改進的船舶模型
式（4）描述的船舶動力學方程通常是未知的非線性函數(shù)，為了方便控制器的設計對動力學方程做如下近似：
通過對式（4）的變形可以獲得如下的船舶動力學方程：
對建模誤差Δx(x)和Δu做如下定義：
建模誤差取決于估計的準確性，線性估計A和b通常近似于真實值。
2.3 數(shù)學基礎知識
為了分析船舶模型中的非線性運動方程，引入Z=Φ(x)這一變換。為了尋找合適的變換作如下的數(shù)學定義。
定義1關于函數(shù)h(x)的梯度向量d：
定義2沿著向量區(qū)域的λ(x)函數(shù)的導數(shù)為 f(x)：
其中Lfλ(x)稱為李導數(shù)。具有如下的遞歸性：
在定義2的基礎上，定義了非線性系統(tǒng)的相對階。
定義3一類非線性系統(tǒng)可以看成如下形式[12-13]：
其中的相對階r滿足：
引理1通常選擇φr+1(x),…,φn(x)，此時梯度向量要逐一線性化且需滿足
2.4 標準型
通過如下變換，船舶模型方程式（4）可以化成更為簡單的形式：
根據(jù)引理1，這種變換形式為：
且變換后動力學方程變?yōu)椋?/p>
進一步為：
引入逆變換x=φ-1(z)且將其應用于滿足標準形式的方程式（12）中去：
為了簡化數(shù)量級，分別用二個和三個狀態(tài)變量將系統(tǒng)式（13）改寫成兩個子系統(tǒng)。定義ξ=[z1,z2]T和η=[z3,z4,z5]T，因此有：
且式（13）可以表示為：
2.5 零動態(tài)
由標準型。選擇u=-a(0,η)/b(0,η)后得到關于ξ=0的系統(tǒng)式（15）的零輸出y=0，因此η動力學方程為：
這就是簡化后的系統(tǒng)零輸入模型。如果零動力學不穩(wěn)定，系統(tǒng)式（5）就叫做非線性非最小相位系統(tǒng)[14-15]。從式（15）或式（17）可以驗證零動力學是單獨的輸入，且不會因為反饋而改變。因此如果零動力學不穩(wěn)定，就達不到完全跟蹤而變?yōu)闈u進跟蹤[16]。所有船舶的橫搖都顯示了一種非最小相位的特性，而艏搖是最小相位。這就表示通過輸入u和輸出y=cT(x)所給出的零動力學模型是不穩(wěn)定的。因此在橫搖中就不可以使用反饋線性化的方法，而系統(tǒng)的逆動力學方程也將變得不穩(wěn)定。
基于上述分析本文提出一種可以應用于非最小相位系統(tǒng)的非線性舵減搖控制律。該控制器建立在定理1和假設1的基礎之上。
定理1令η=0為非線性系統(tǒng)的一個平衡點
其中η:D→IRn是連續(xù)可微的，D是原點的鄰域，令
則：（1）對于 Q?的所有特征值來說，如果 Re(λi)＜0 則系統(tǒng)漸進穩(wěn)定；（2）如果Q*的一個或者多個特征值滿足Re(λi)＞0 則系統(tǒng)不穩(wěn)定。
現(xiàn)在假設q?(0,η)是船舶動力學的零動態(tài)，且q(0,η)是零動態(tài)估計，則有假設1：
3 一類非最小相位舵減搖和航向保持的控制器設計
船舶是輸入為舵角，輸出為橫搖角的非最小相位系統(tǒng)。這可以從船舶動力學標準型看出，因此考慮如下的船舶動力學方程：
通過變換：
得到標準型：
則有：
能夠證明其零動態(tài)方程
是不穩(wěn)定的。為了克服上述問題，應用滑?？刂圃O計如下。
3.1 橫搖滑模面
定義一個滑模面：
其中α＞0，將滑模面作為輸出，船舶模型可以改寫為：
控制目標是調(diào)整σ到0且φ=p=0。容易驗證式（25）的相對階為1。 定義一個新的向量：
則滿足：
則式（15）可以變?yōu)椋?/p>
其中：
然而這一問題可以通過調(diào)整滑模面得到解決。如圖1所示給出了非線性滑?？刂频暮较虮３制飨到y(tǒng)框圖。
圖1 非最小相位橫搖穩(wěn)定與航向保持系統(tǒng)控制器
3.2 橫搖和艏搖的復合滑模面
改進后的滑模面為：
其中k=[k1,k2,k3,k4]T，因此改進后的σ和η的系統(tǒng)如下：
在假設1的條件下式（37）中的零動態(tài)是穩(wěn)定的，σ正則性保證了并且方程（34）表明，因此：
這樣討論上述內(nèi)動態(tài)系統(tǒng)的有界性，使得問題變得簡單。
3.3 非線性控制器設計
為了得到期望的σ動力學（當t→0時σ→0），設計如下控制器：
其中 kσ是反饋增益，kη是前饋增益向量，k(σ,η)(σ,η)是反饋線性化項，μ＞0是切換增益，φ＞0是邊界層參數(shù)。這三種增益在2.4節(jié)的穩(wěn)定性證明中都已經(jīng)給出，此時邊界層參數(shù)是為了減少期望的舵時間導數(shù)的最大值的一組設計參數(shù)。
3.4 穩(wěn)定性證明
假設輸入增益向量b很小時的建模誤差為：
零動態(tài)式（37）是穩(wěn)定的且與δ無關，則如果在有限的時間里 η→0能夠獲得 σ=0，因此在控制器式（40）下，式（35）和（36）和船舶模型式（5）的穩(wěn)定性可以用下面的李亞普諾夫函數(shù)來證明：
將控制器代入，有：
其中γ≥0，這種控制器參數(shù)的選擇表明：
最后選擇相應的切換增益μ且滿足：
一個關于時間的負半定導數(shù)的李亞普諾夫函數(shù)V(σ)就被確定如下：
則方程式（39）
4 仿真實驗
選擇某多功能海軍運輸船為研究的仿真對象。本文仿真3級海情下的海浪干擾，有義波高4 m，遭遇角45°，舵角變化率限制在 20（°/s），舵角限幅為±30°。在考慮節(jié)約舵機能量的作用下，設計滑模控制器參數(shù)如下所示：
圖2～圖5的橫軸均表示仿真時間，單位為s。
圖2 滑模控制器不工作時的橫搖角
圖3 滑模控制器工作時的橫搖角
圖4 PID控制器工作時的橫搖角
圖5 滑?？刂破鞴ぷ鲿r輸出的舵角變化曲線
海浪對船舶干擾力和力矩的仿真計算采用切片理論。通常用減搖率來表示阻搖控制效果，本文所設計的控制系統(tǒng)在前文所述海情中的減搖率為42%，在同等條件下，為驗證本文控制方法的優(yōu)越性，選擇用試湊法設計的PID控制器進行對比，得出的減搖率為34%。可見，采用非線性滑模模型所設計的舵減搖控制器能夠有效地減小橫搖，同時航向角在+20°之間變化，可以獲得更為穩(wěn)定的航行效果，符合實際工程設計的需求。
5 結束語
本文所設計的舵減搖系統(tǒng)的非線性滑?？刂破髂軌蛴行У匾种坪＠说母蓴_，優(yōu)于常規(guī)的PID控制方法，具有良好的魯棒性。由于舵減搖和鰭減搖各有所長，它們的減搖機理也很近似，將本文的研究方法應用于減搖鰭或者舵鰭聯(lián)合減搖，值得在今后的工作中繼續(xù)深入研究。
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