姜圣濤，穆學(xué)文

JIANG Shengtao,MU Xuewen

西安電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，西安 710126

School of Mathematics and Statistics,Xidian University,Xi’an 710126,China

1 引言

圖像分割在圖像分析和圖像識(shí)別中具有很大作用，其研究一直受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注，尤其閾值分割方法在實(shí)際問題中應(yīng)用十分廣泛。

基于模糊熵的圖像閾值分割[1]是一種常用的方法，模糊熵描述了一個(gè)模糊集的模糊性程度。傳統(tǒng)的模糊熵使用了Zadeh[2]給出的模糊集上的標(biāo)準(zhǔn)正交、并和補(bǔ)運(yùn)算，其中補(bǔ)運(yùn)算為c()x=1-x，由于其不動(dòng)點(diǎn)位于0.5處，再加上傳統(tǒng)補(bǔ)運(yùn)算不能與傳統(tǒng)的模糊熵表達(dá)式建立起自然的聯(lián)系，這就限制了它在很多實(shí)際工程中的應(yīng)用。鑒于此西安郵電大學(xué)的范九倫教授給出了廣義模糊熵方法[3]，廣義模糊熵是模糊熵在廣義模糊補(bǔ)[4]意義下的推廣，用隸屬度恒取m(0＜m＜1)時(shí)模糊集上的模糊熵最大取代模糊熵中隸屬度恒取定值0.5，然后依據(jù)圖像質(zhì)量評價(jià)準(zhǔn)則[5]，最終確定出最好的m，這樣有一定的效果，但不能實(shí)現(xiàn)參數(shù)m的自動(dòng)選取。目前研究者給出了部分優(yōu)化算法應(yīng)用于廣義模糊熵圖像分割，例如文獻(xiàn)[6]給出的粒子群算法（Particle Swrarm Optimization，PSO），此方法對光照不均勻圖像具有不錯(cuò)的分割效果，但對其他圖像仍有局限性。

本文提出通過優(yōu)化算法在(0,1)區(qū)間對m進(jìn)行全局尋優(yōu)，在圖像分割時(shí)選用的隸屬度函數(shù)是經(jīng)典的S型函數(shù)[7]，它涉及到3個(gè)參數(shù)(a,b,d)的確定，采用自適應(yīng)差分進(jìn)化算法來求解，自適應(yīng)地選取最優(yōu)參數(shù)，以此來獲得最優(yōu)分割結(jié)果。本文將ADE算法應(yīng)用于廣義模糊熵圖像閾值分割上，實(shí)驗(yàn)表明：多數(shù)情況下，針對不同的圖像此方法能獲得比文獻(xiàn)[6]方法更好的分割效果，分割結(jié)果背景信息更少，目標(biāo)信息更清晰，此方法不僅相對更具通用性，而且通過全局尋優(yōu)來確定參數(shù)，克服了窮舉搜索費(fèi)時(shí)的缺點(diǎn)。

2 廣義模糊熵閾值分割法

2.1 廣義模糊熵定義

（3）若A*是A的分明修改，則，其中A*滿足

c表示廣義補(bǔ)函數(shù)，使用最廣泛的補(bǔ)函數(shù)是Zadeh[2]提出的基本補(bǔ)運(yùn)算c()x=1-x，其特點(diǎn)是0.5是唯一不動(dòng)點(diǎn)。廣義補(bǔ)運(yùn)算[4]中c具有唯一的不動(dòng)點(diǎn)m，即。對于m∈(0,1)且以m為唯一不動(dòng)點(diǎn)的補(bǔ)函數(shù)記作cm。當(dāng)m=0.5,c0.5(x)=1-x時(shí)，上述定義即為傳統(tǒng)模糊熵的表述。因此上述廣義模糊熵定義是傳統(tǒng)模糊熵的自然而合理的推廣。

日本學(xué)者Sugeno曾給出了一個(gè)補(bǔ)函數(shù)[8]：

將式（2）帶入式（1）得到Sugeno補(bǔ)[8]的等價(jià)變形為：

將式（3）代入如下廣義模糊熵表達(dá)式即可得到含有參量m的廣義模糊熵公式[9-10]，如式（4）所示：

設(shè)Q={q(x,y),μQ(q(x,y)),x=1,2,…,M;y=1,2,…,N}表示大小為M×N的圖像，G={0,1,…,L-1}表示圖像所有灰度的集合是坐標(biāo)處的像素灰度值表示(x,y)處像素在圖像Q中具有某種特性的隸屬函數(shù)。目前，在廣義模糊熵方法中，通常采用如式（5）的S型函數(shù)[7]作為隸屬度函數(shù)：

式中q表示圖像Q的灰度值，a、b、d是S型隸屬函數(shù)的3個(gè)參量，變化范圍為：0≤a＜b＜d≤L-1，對每一組參量(a,b,d)可以求得對應(yīng)的圖像的廣義模糊熵。然后根據(jù)最大廣義模糊熵原則[3]對圖像進(jìn)行分割。該原則的內(nèi)容是：在空間Ln（L為隸屬度函數(shù)中參數(shù)的取值范圍，n為隸屬度函數(shù)中的參數(shù)個(gè)數(shù)，本文L的取值范圍是[0，255]中任意整數(shù)值，n取值為3，搜索一組含n個(gè)參數(shù)的組合參數(shù)，使得圖像在此參數(shù)確定的模糊劃分下保留原圖像的信息量最大。此時(shí)圖像分割問題就是尋找使得廣義熵取最大值的參數(shù)a、b、d的問題[3]，即：

將式（6）所求的組合參數(shù)帶入式（5）即可求得最佳閾值，即最優(yōu)閾值選取在，獲得圖像分割閾值后，就可以對像素重新歸類，得到分割后圖像f(x,y)。

2.2 廣義模糊熵參數(shù)確定

由上面的分析可知，廣義模糊熵閾值分割法的分割閾值與一組參量相對應(yīng)，如何尋找一組合適的參量使得廣義模糊熵最大是確定閾值的關(guān)鍵。對于灰度圖像，參量a、b、d的變化范圍為0≤a＜b＜d≤L-1，且 a、b、d 僅取整數(shù)。這樣尋找合適a、b、d的最簡單方法就是窮舉法，但這種方法運(yùn)算量太大，時(shí)間復(fù)雜度過高(O(L4))。對于參量m，其取值為(0,1)區(qū)間上的任意實(shí)數(shù)，如何合理選取參量m，是使用廣義模糊熵閾值化法最為關(guān)鍵的一步。

本文對參量的選取采用以下思路 ：利用優(yōu)化搜索算法在參量空間搜索。搜索過程為嵌套的過程以廣義模糊熵最大為準(zhǔn)則在空間Ln尋找合適的參量a、b、d，同時(shí)以自適應(yīng)差分進(jìn)化（DE）為優(yōu)化算法在（0，1）區(qū)間尋找最佳的參量m。

3 自適應(yīng)差分進(jìn)化算法

在利用廣義模糊熵法進(jìn)行圖像閾值分割時(shí)，選取優(yōu)化參數(shù)時(shí)的優(yōu)化算法采用自適應(yīng)差分進(jìn)化算法，該算法基本原理步驟同差分進(jìn)化算法（DE）[11-15]一致，不同點(diǎn)在于本文引入了自適應(yīng)變異算子來代替基本差分進(jìn)化算法中的變異算子F，還提出了交叉概率自適應(yīng)函數(shù)，通過進(jìn)化迭代步數(shù)動(dòng)態(tài)改變交叉概率CR的值。通過以上操作，本文所提的自適應(yīng)差分進(jìn)化算法即是在差分進(jìn)化算法基礎(chǔ)上再添加自適應(yīng)過程所得，因此必須先詳細(xì)介紹差分進(jìn)化算法。

3.1 差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化算法[11-15]是一種基于進(jìn)化思想的最優(yōu)化算法，具有記憶個(gè)體最優(yōu)解和種群類信息分享的特點(diǎn)。它通過種群內(nèi)個(gè)體之間互相合作和競爭來完成優(yōu)化問題的求解，采用實(shí)數(shù)編碼方式在整個(gè)解空間并行地搜索問題的解決方案，其基本執(zhí)行過程同遺傳算法一樣，包括變異、交叉、選擇等主要步驟。

設(shè)當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)為t，群體規(guī)模為NP，個(gè)體長度為D，當(dāng)前種群為為種群中的第i個(gè)個(gè)體。在進(jìn)化過程中，對每個(gè)個(gè)體依次進(jìn)行下面3種操作[16]。

（1）變異操作

（2）交叉操作

其中，rand[0,1]是[0,1]間的隨機(jī)數(shù)；CR是交叉因子，取值區(qū)間為[0,1]，CR值越大，發(fā)生交叉的可能性就越大；j_rand是在[1,D]隨機(jī)選擇的一個(gè)整數(shù)，它保證了對于試驗(yàn)個(gè)體至少要從變異個(gè)體中獲得一個(gè)元素。以上的變異操作和交叉操作統(tǒng)稱為繁殖操作[17]。

（3）選擇操作

其中，fitness()為適應(yīng)度函數(shù)，一般以所要優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為適應(yīng)度函數(shù)。本文的適應(yīng)度函數(shù)如無特殊說明均為目標(biāo)函數(shù)且為求函數(shù)極小值。

3.2 自適應(yīng)過程

DE算法在搜索過程中變異算子為實(shí)常數(shù)，若變異率過小，則種群多樣性降低，易造成局部收斂，若變異率過大，則搜索效率低，所求的最優(yōu)解精度就低，在實(shí)施中變異算子較難確定。選擇適當(dāng)?shù)慕徊娓怕室灿葹橹匾?，若交叉概率越高，群體中個(gè)體的更新就越快。但若是過高，算法就變成隨機(jī)搜索失去優(yōu)越性。反之交叉率過低，群體的進(jìn)化得不到保證，很難收斂到最優(yōu)解。為了采用自適應(yīng)方法更新算法參數(shù)值來確定最優(yōu)閾值，本文引入了一個(gè)自適應(yīng)變異算子F'以及提出了交叉概率自適應(yīng)函數(shù)CR，具體如下：

（1）引入自適應(yīng)變異算子F'來替代基本差分進(jìn)化算法中的變異算子F。

（2）提出CR自適應(yīng)函數(shù)式（12）根據(jù)進(jìn)化迭代步數(shù)動(dòng)態(tài)改變CR的值。

其中，CR0為開始時(shí)交叉概率；CR1為交叉概率的穩(wěn)定值；G為當(dāng)前迭代步數(shù)；Gmax為最大迭代步數(shù)開始時(shí)交叉概率CR0比較小，隨著進(jìn)化的進(jìn)行，個(gè)體開始逐步收斂，CR的值不斷增大，變異個(gè)體基因選入新個(gè)體的概率也增大，則收斂速度不斷提高，但很可能形成局部收斂。為防止局部收斂產(chǎn)生，當(dāng)CR=CR1時(shí)，CR值不再增加保持穩(wěn)定。

雙自適應(yīng)的目的是為了讓算法的全局開發(fā)能力更強(qiáng)，自適應(yīng)地控制F和CR的值在[ ]0,1內(nèi)處于最佳，使進(jìn)化參數(shù)在進(jìn)化的不同階段能夠相互補(bǔ)充。因?yàn)樵谶M(jìn)化過程中每一個(gè)新個(gè)體如果F值沒取最佳，值若偏大，盡管種群多樣性提高但擾動(dòng)量大，搜索步長在一個(gè)很大的范圍內(nèi)波動(dòng)，從而降低局部搜索性能；值若偏小擾動(dòng)量也小，使得新個(gè)體與基準(zhǔn)個(gè)體變化不大，不利種群進(jìn)化。如果交叉概率CR值不是最佳，值若較小，可能只有少數(shù)幾維來自變異向量，不利于全局尋優(yōu)；若值較大使得新個(gè)體與原個(gè)體相差太大，無法保證種群進(jìn)化的有效性。因此將F和CR值控制在最佳狀態(tài)這樣才可以保障種群更加有效、迅速地向最優(yōu)值進(jìn)化，從而得到圖像最優(yōu)分割結(jié)果。

3.3 算法性能測試

不同縮放因子和交叉概率展示了相互不同的特性，本文期望參數(shù)在進(jìn)化的不同階段能夠相互補(bǔ)充而不相互矛盾，則必須采用測試函數(shù)進(jìn)行測試。鑒于大部分圖像灰度直方圖為多峰圖，本文實(shí)驗(yàn)所選取的圖像也皆為多峰圖[18]，其直方曲線圖見圖1，所以可用經(jīng)典適應(yīng)度評價(jià)函數(shù)Griewank多峰函數(shù)[19]來測試算法性能。

圖1 實(shí)驗(yàn)原圖直方曲線圖

由于雙自適應(yīng)性存在，為平衡全局搜索能力和局部搜索能力以及避免參數(shù)出現(xiàn)矛盾的情況要對算法反復(fù)試驗(yàn)，代入多組數(shù)據(jù)，在迭代步數(shù)不是特別高的情況下，范圍為，只要使交叉概率初始值CR0以及交叉概率的穩(wěn)定值CR1選定合適值即可，反復(fù)試驗(yàn)可取CR0=0.3,CR1=0.9，具體測試過程參照文獻(xiàn)[15]。

本文主要將文獻(xiàn)[3]中傳統(tǒng)圖像質(zhì)量評價(jià)準(zhǔn)則模糊熵圖像閾值分割算法以及文獻(xiàn)[9]中PSO廣義模糊熵圖像閾值分割算法同本文所提出的ADE廣義模糊熵圖像閾值分割法來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)比較。文獻(xiàn)[3]根據(jù)評價(jià)函數(shù)確定圖像閾值不涉及進(jìn)化迭代，因此為驗(yàn)證算法的收斂性只對比PSO法和ADE法迭代步數(shù)和適應(yīng)度之間關(guān)系即可。

測試實(shí)驗(yàn)時(shí)對兩種算法設(shè)置相同的操作參數(shù)，測試參數(shù)為：NP=100，CR0=0.3,CR1=0.9變異算子F和交叉算子CR的值依次按照自適應(yīng)公式（11）式和（12）式來選取。避免參數(shù)相互矛盾進(jìn)化代數(shù)不宜過大([1,1 000])，又測試樣本不大，故可設(shè)定最大進(jìn)化代數(shù)為Gmax=100，粒子位置限制在[0，255]之間，算法終止條件為，其中為全局最優(yōu)個(gè)體xbest的適應(yīng)值，f(Vi)為迭代終止前當(dāng)代個(gè)體Vi的適應(yīng)值，兩種算法的進(jìn)化曲線見圖2。圖像分割仿真實(shí)驗(yàn)時(shí)，根據(jù)所選圖像樣本大小，在范圍內(nèi)再重新設(shè)定最大迭代步數(shù)。

由圖2可知，20代之前PSO法效果要略好于ADE法，尤其是10代之前收斂速度要略快于ADE法，但10代以后容易形成局部收斂，不利種群進(jìn)化發(fā)展。20代后ADE法明顯更好，并且隨著進(jìn)化代數(shù)的增大最終進(jìn)化曲線達(dá)到收斂?？偟膩碚fPSO法盡管在10代以前收斂速度更快，但存在局部收斂并且在有限的迭代次數(shù)內(nèi)無法達(dá)到收斂效果，ADE法在100代之內(nèi)就可收斂，收斂效果良好，所以本文利用雙自適應(yīng)得到的算法整體上降低了局部收斂的幾率，并且算法穩(wěn)定性相對較好，收斂速度也相對較快。

圖2 PSO和ADE算法進(jìn)化曲線

4 ADE求廣義模糊熵最優(yōu)組合參數(shù)步驟

本文實(shí)驗(yàn)所選取的圖像為灰度范圍是0～255的二維灰度圖像，為達(dá)到圖像自動(dòng)選取閾值的目的，首先對初始種群個(gè)體數(shù)NP進(jìn)行編碼，設(shè)個(gè)體長度為D，每個(gè)個(gè)體對應(yīng)一條染色體，其向量為對應(yīng)灰度計(jì)算值如式（13）：

ADE求廣義模糊熵最優(yōu)組合參數(shù)步驟為：

步驟1輸入圖片獲取種群數(shù)NP，給出交叉概率初始值和穩(wěn)定值CR0=0.3,CR1=0.9，以及個(gè)體長度D，變異算子F初值和交叉算子CR初值。指定變量搜索范圍指定最大迭代次數(shù)Gmax，令迭代計(jì)數(shù)器G=1，進(jìn)化代數(shù)t=0。

步驟3 WhileG≤Gmax//或其他指定終止條件。

步驟4 Fori從1到NP

步驟5 用式（11）生成F'取代F，令F=F'。

步驟6 IfCR＜CR1Then

根據(jù)式（12）得到新CR。

Else根據(jù)式（12）得到新CR。

End If

步驟10 End For

Else

迭代計(jì)數(shù)器G=G+1。

Return步驟3

步驟12 End While

步驟14將最優(yōu)的參量組合代入式（6）得到最佳的圖像分割閾值。

End

利用廣義模糊熵對圖像閾值分割最大的難點(diǎn)就在于如何求補(bǔ)函數(shù)的參數(shù)，本文采用自適應(yīng)差分進(jìn)化的算法來進(jìn)行優(yōu)化求解。對于256色灰度圖像，一般的優(yōu)化算法需要搜索256×256個(gè)候選閾值向量，算法運(yùn)行效率非常低，自適應(yīng)差分進(jìn)化算法具有較好的尋優(yōu)性能和效率，利用上述求解步驟得到最優(yōu)解進(jìn)而代入式（6）就可得到最佳的圖像分割閾值。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了檢測算法的性能，在Matlab R2016a環(huán)境下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，處理器為Intel Core 2.30 GHz，運(yùn)行內(nèi)存為4 GB，選用cameraman.jpg、lenna.jpg、fingerprint.jpg和barbara.jpg這四種不同細(xì)節(jié)的圖片進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，圖片的尺寸均為252×252。分別采用傳統(tǒng)圖像質(zhì)量評價(jià)準(zhǔn)則模糊熵圖像閾值分割算法[3]、PSO廣義模糊熵圖像閾值分割算法[9]以及本文所提出的ADE廣義模糊熵圖像閾值分割法來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)比較。

圖3為實(shí)驗(yàn)所選取的四幅原圖像，經(jīng)過多次試驗(yàn)，由三種方法得到的四幅不同細(xì)節(jié)圖像的最優(yōu)參數(shù)組合以及最佳閾值見表1，三種算法的實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果見圖4～圖7，圖表中所提到的算法1、算法2和本文算法依次為傳統(tǒng)圖像質(zhì)量評價(jià)準(zhǔn)則模糊熵圖像閾值分割算法、PSO廣義模糊熵圖像閾值分割算法和本文的ADE廣義模糊熵圖像閾值分割法。

圖3 原圖像

由表1可看出：對于同一幅圖像，本文算法所得的最優(yōu)閾值同算法2所得到的最優(yōu)閾值相近，這也從側(cè)面驗(yàn)證了本文算法具有可行性。

由圖4～圖7可以看出：針對不同圖像，對比各種算法分割效果，整體直觀上算法2同本文算法所得結(jié)果背景信息更少，分割結(jié)果更加接近，這也同表1得到的最優(yōu)閾值數(shù)值相近保持一致。算法1分割結(jié)果存在一定的背景信息且目標(biāo)信息不是特別理想，算法2進(jìn)行了很大的改良，而本文算法其分割所得目標(biāo)中明顯含背景信息更少且目標(biāo)信息更清晰，大多數(shù)情況下效果更好。

表1 三種算法得到的最優(yōu)參數(shù)組合及閾值

進(jìn)一步比對三種算法分割結(jié)果，由圖4和圖6可明顯看出本文算法分割結(jié)果更好，這兩類圖像采用本文算法得到的結(jié)果背景信息較少且目標(biāo)信息更清晰完善，其中圖6中本文所得結(jié)果指紋紋理更清楚更平滑更接近目標(biāo)信息；由圖5和圖7可看出 算法2和本文算法分割結(jié)果差異不是特別明顯，通過對比還是本文算法分割所得背景信息更少，分割情況略好于算法2結(jié)果。同時(shí)發(fā)現(xiàn)，圖7（b）和圖7（c）中所得結(jié)果目標(biāo)信息都有所丟失，比如lenna的嘴唇信息部分缺失，而圖7（a）嘴唇信息卻完整地保留下來了，但背景信息過多，整體上遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有算法2和本文算法分割效果理想。對比發(fā)現(xiàn)：總體上利用本文算法大部分圖像的分割結(jié)果還是比較理想的。這也說明了本文算法不能適用于所有類型的圖像分割也存在一定的不足，但可以適用于多數(shù)圖像。

圖4 cameraman三種算法分割結(jié)果

圖5 barbara三種算法分割結(jié)果

圖6 fingerprint三種算法分割結(jié)果

圖7 lenna三種算法分割結(jié)果

為了更定量比較幾種算法分割效果的優(yōu)劣，實(shí)驗(yàn)中除了比較算法運(yùn)行時(shí)間外，再采用分類錯(cuò)誤（Misclassification Error，ME）[20]來評價(jià)算法的優(yōu)劣。分類錯(cuò)誤ME的取值范圍為[0，1]。ME取值越小，則分割錯(cuò)誤越小，表明分割后圖像的效果越接近理想分割。分類錯(cuò)誤的計(jì)算公式[20]如下：

式中，G0和F0分別表示原圖像中理想分割時(shí)的目標(biāo)和背景區(qū)域，G*和F*分別表示分割后圖像中的目標(biāo)和背景區(qū)域。

表2給出了文中三種算法對實(shí)驗(yàn)中四幅圖像分割后的分類錯(cuò)誤以及算法運(yùn)行時(shí)間。由表2可知，針對不同細(xì)節(jié)的圖片本文算法整體運(yùn)行時(shí)間較短，ME值除了lenna圖像中算法2的為0.112略小于本文的0.129，其余均為本文算法ME值最小，這也定量地說明了整體上本文算法針對四種不同細(xì)節(jié)圖片都有較好的結(jié)果，即本文算法適用性更廣，并且能有效、穩(wěn)定地找到一幅圖像的最佳熵閾值進(jìn)而進(jìn)行分割。

表2 三種算法ME值和運(yùn)行時(shí)間

6 總結(jié)

由于圖像來源千差萬別，導(dǎo)致圖像的細(xì)節(jié)具有多樣性。迄今，盡管給出了一些研究成果，但目前尚無通用的分割理論提出，現(xiàn)已提出的算法大都是針對具體問題。本文在仿真實(shí)驗(yàn)時(shí)，也依然存在lenna圖像目標(biāo)信息有所丟失的狀況，這也說明了本文算法同樣不能適用于所有類型的圖像分割。不過總體來說本文通過四種不同細(xì)節(jié)的圖片進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果也驗(yàn)證了本文所提出的算法具有良好的效果，間接說明了本文所給的算法相對實(shí)用性更廣，實(shí)驗(yàn)證明此算法是一種較實(shí)用的閾值分割算法。

參考文獻(xiàn)：

[1]符翔，張劍，王維.一種新的局部閾值分割算法[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件，2015，32（4）：195-198.

[2]Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information and Control，1965，8（3）：338-353.

[3]范九倫，趙鳳.基于Sugeno補(bǔ)的廣義模糊熵閾值分割方法[J].電子與信息學(xué)報(bào)，2008，30（8）：1865-1868.

[4]張旭慧，辛小龍.廣義模糊熵與包含度的相互誘導(dǎo)關(guān)系[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2011，25（6）：16-22.

[5]雷博，范九倫.二維廣義模糊熵圖像閾值分割法[J].光子學(xué)報(bào)，2010，39（10）：1907-1914.

[6]張新娟，雷秀娟.改進(jìn)PSO算法在二維最佳閾值圖像分割中的應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2011，47（26）：207-209.

[7]Li H，Yang H S.Fast and reliable image enhancement using fuzzy relaxation technique[J].IEEE Transactions on Systems，Man and Cybernetics，1989，19（5）：1276-1281.

[8]Sugeno M.Fuzzy measures and fuzzy integrals：A survey[C]//Fuzzy Automata and Decision Processes，1977：89-102.

[9]雷博，范九倫.廣義模糊熵閾值法中基于粒子群優(yōu)化的參數(shù)選取[J].控制與決策，2009，24（3）：446-450.

[10]曾小浩，喬明明.基于組合優(yōu)化算法的圖像閾值分割[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件，2014，31（2）：207-210.

[11]劉波，王凌，金以慧.差分進(jìn)化算法研究進(jìn)展[J].控制與決策，2007，22（7）：721-729.

[12]汪慎文，張文生，丁立新.差分進(jìn)化算法中參數(shù)自適應(yīng)選擇策略研究[J].計(jì)算機(jī)科學(xué)，2015，42（11）：256-259.

[13]高岳林，劉軍民.差分進(jìn)化算法的參數(shù)研究[J].黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2009，26（1）：81-85.

[14]張莉，葉志偉，王明威.基于差分進(jìn)化的二維熵圖像分割[J].應(yīng)用科學(xué)學(xué)報(bào)，2016，34（1）：58-66.

[15]劉華，張營，張英杰.基于自適應(yīng)差分進(jìn)化算法的礬花圖像分割[J].控制工程，2016，23（8）：1203-1207.

[16]林志毅，李元香.一種求解函數(shù)優(yōu)化的混合差分演化算法[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2009，21（13）：3885-3893.

[17]鄧澤喜，劉曉冀.差分進(jìn)化算法的交叉概率因子遞增策略研究[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2008，44（27）：33-36.

[18]Griewank A O.Generalized descent for global optimization[J].Journal of Optimization Theory and Applications，1981，34：11-39.

[19]Tsai D M.A fast thresholding selection procedure for multimodal and unimodal histograms[J].Pattern Recognition Letters，1995，16（6）：653-666.

[20]Sezgin M，Sankur B.Survey over image thresholding techniques and quantitative performance evaluation[J].Journal of Electronic Imaging ，2004，13（1）：146-165.