熊瑩盈

（云南省昆明市第十中學(xué)）

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

內(nèi)容：本節(jié)課主要探究“邊邊角”在哪些條件下能夠證明兩個三角形全等.

內(nèi)容解析：本節(jié)課是對人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第十二章第二節(jié)“三角形全等的判定”中“邊邊角”能否判定兩個三角形全等所做的一個補充探究.希望通過教師適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，讓學(xué)生通過動手畫圖、推理論證的過程，學(xué)會用已有的關(guān)于三角形全等的知識，探究出在哪些特定條件下“邊邊角”能夠證明兩個三角形全等.本節(jié)課作為對課堂內(nèi)容的一個補充探究，主要是為了拓寬學(xué)生思考問題的思路，讓學(xué)生學(xué)以致用，能夠用已有的知識、技能、方法去解決新的問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

學(xué)情分析：由于本節(jié)課并不是教材上的規(guī)定內(nèi)容，所以是在八年級的選修課上進(jìn)行探究，面對的是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力相對較好，并且對數(shù)學(xué)學(xué)科有較強興趣的八年級學(xué)生.因為他們已經(jīng)學(xué)過了“全等三角形”這一節(jié)，所以為本節(jié)探究課提供了知識、態(tài)度和能力上的準(zhǔn)備.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

教學(xué)目標(biāo)：（1）本節(jié)課以“HL”作為引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生從多個角度進(jìn)行探究，應(yīng)用所學(xué)的全等三角形的相關(guān)知識，得到在哪些條件下“邊邊角”能夠證明兩個三角形全等.

（2）學(xué)生通過小組合作探究，經(jīng)歷思考、討論、動手操作、推理論證等過程，學(xué)會探究學(xué)習(xí)的方法，會用已有的數(shù)學(xué)知識、技能和方法去探究新的問題.

（3）學(xué)生通過本節(jié)課課題的選取來培養(yǎng)質(zhì)疑意識；通過本節(jié)課的探究過程來提高探究精神；通過小組合作的學(xué)習(xí)模式來加強協(xié)作精神.

目標(biāo)解析：本節(jié)課是一節(jié)探究課，首先就需要學(xué)生有質(zhì)疑的意識，“邊邊角”不一定能夠證明兩個三角形全等，那么在什么條件下它能夠證明兩個三角形全等呢？帶著這樣的疑問，引導(dǎo)學(xué)生通過分類討論思想，對每一種他們能想到的情況進(jìn)行探究.而探究的方法則可以類比教材上已經(jīng)學(xué)過的探究兩個三角形全等的判定定理的過程，通過猜想、作圖、推理論證等步驟來進(jìn)行，從而使學(xué)生學(xué)到探究問題的基本思路和方法，為他們今后進(jìn)行自主探究學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，提高學(xué)生的探究能力.采用小組合作的學(xué)習(xí)模式，主要有兩個原因：（1）學(xué)生自己完成本節(jié)課的探究任務(wù)有一定的難度，會使學(xué)習(xí)積極性受到影響；（2）在合作的過程中，不僅能培養(yǎng)學(xué)生的團隊意識和合作精神，也能使學(xué)生學(xué)習(xí)他人的長處，接受他人不同的觀點，從而開闊自己的視野.

三、教學(xué)問題診斷分析

由于探究課是學(xué)生不熟悉的課型，所以學(xué)生看到課題時可能會感到無從下手，那么本節(jié)課的第一個難點就是啟發(fā)學(xué)生從哪些方向去進(jìn)行分類探究.借助幾何畫板軟件的展示，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以從相等的角是什么類型的角入手進(jìn)行分類，從而突破難點.在后面的探究過程中，學(xué)生還會出現(xiàn)對分類討論考慮不全的問題.因為當(dāng)相等的角為銳角時，這個三角形可以是直角三角形、銳角三角形或者鈍角三角形，此時教師要進(jìn)一步進(jìn)行引導(dǎo)，幫助學(xué)生將問題考慮周全.

有了探究的方向，學(xué)生可能還是不知道該怎么辦，這也就是本節(jié)課的第二個難點，即啟發(fā)學(xué)生找到探究的方法和步驟.如何找到探究的方法和步驟呢？其實我們已經(jīng)學(xué)過三角形全等的五個判定定理，它們都是按照作圖、猜想、論證來進(jìn)行探究的，所以我們不妨類比來做.

由此得到本節(jié)課的重點和難點如下.

教學(xué)重點：通過分類討論思想，探究出“邊邊角”在哪些特定條件下能夠證明兩個三角形全等.

教學(xué)難點：（1）啟發(fā)學(xué)生如何進(jìn)行分類探究；

（2）引導(dǎo)學(xué)生按照作圖、猜想、論證的步驟進(jìn)行探究.

四、教學(xué)支持條件分析

本節(jié)課主要運用幾何畫板軟件、多媒體輔助，以及分組合作的學(xué)習(xí)模式.

五、教學(xué)過程設(shè)計

1.課題引入，激發(fā)興趣

師：兩個三角形全等的定義是什么？

生：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.

師：通過前面的學(xué)習(xí)，要證明兩個三角形全等，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些判定定理呢？

生：SSS，SAS，ASA，AAS，HL（直角三角形中）.

師：一個三角形有六個元素，三條邊和三個角.我們至少要知道三組元素對應(yīng)相等才能證明兩個三角形全等.對于兩邊一角的情況，我們往往要強調(diào)這個角是兩邊的夾角，此時滿足SAS，這兩個三角形一定全等.那么如果這個角不是兩邊的夾角，而是某條邊的對角時，我們就得到了“邊邊角”的情況，此時兩個三角形不一定全等.在哪些條件下，“邊邊角”能夠證明兩個三角形全等呢？這就是本節(jié)課我們要探究的問題.

【設(shè)計意圖】在這個環(huán)節(jié)里首先設(shè)置兩個問題.第一個問題，是讓學(xué)生感受全等的三角形是能夠完全重合的，為后面作圖、剪圖之后判斷做出的三角形是否和原圖形全等做個鋪墊.第二個問題則為后面的論證過程做鋪墊.后面這一段引導(dǎo)是為了讓學(xué)生進(jìn)一步明確三角形的“邊、角”元素所起的作用，從而為后面的探究過程中的畫圖部分打下基礎(chǔ)，即要做兩組邊、一組角相等的三角形，我們可以先確定一組邊和一組角，通過觀察第二組邊來得到結(jié)論.

師：我們學(xué)過的判定定理里面有沒有滿足“邊邊角”的兩個三角形全等的特例呢？

生：有，HL的情況（如圖1）.

圖1

結(jié)論：HL就是當(dāng)相等的角為直角時SSA成立的特例.

【設(shè)計意圖】這個問題既能激發(fā)學(xué)生的興趣，為學(xué)生樹立探究的信心，又能引出本節(jié)課的一個基本模型.

接著，教師用幾何畫板軟件展示兩個直角三角形滿足HL（即斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等）的情況（如圖1），然后拖動點C，讓學(xué)生觀察圖形發(fā)生的變化（如圖2和圖3）.

圖2

圖3

師：為什么會出現(xiàn)兩個三角形？

生：因為當(dāng)以點A為圓心，AC長為半徑畫弧時，會與BC邊所在的直線有兩個交點.

師：試觀察出現(xiàn)的這兩個三角形，它們有什么特點呢？

生：這兩個三角形滿足“邊邊角”，但它們并不全等.

師：這兩個三角形為什么不全等？

生：形狀不一樣，一個是鈍角三角形，一個是銳角三角形.

師：這兩個三角形中相等的角是什么角？而剛才HL全等的情況中相等的角又是什么角呢？

生：這兩個三角形相等的角是銳角，而HL全等的情況中相等的角為直角.

師：這有沒有給我們一點探究的思路和方向呢？也就是說，接下來我們可以從哪些方向去探究，“邊邊角”在什么條件下能夠證明兩個三角形全等呢？

生：可以按相等的角是直角、鈍角、銳角來分類討論.

【設(shè)計意圖】運用幾何畫板軟件可以很直觀地讓學(xué)生觀察出當(dāng)拖動點C時，會出現(xiàn)兩種情況，也就是“邊邊角”不能證明兩個三角形全等的反例.同時讓學(xué)生去感受，相等的角所在的三角形的形狀不唯一，就是導(dǎo)致“邊邊角”不能證明兩個三角形全等的原因.從而得到本節(jié)課探究的方向，應(yīng)該按相等的角為直角、鈍角、銳角去分類討論.

2.合作探究，發(fā)現(xiàn)新知

師：現(xiàn)在我們已經(jīng)有了探究的方向，那么我們應(yīng)該利用什么樣的方法或者步驟進(jìn)行探究呢？我們在教材上已經(jīng)學(xué)習(xí)了五個判定定理，都是按照什么樣的方法和步驟進(jìn)行探究的呢？首先要做什么？

生：作圖.

【設(shè)計意圖】這兩個問題的設(shè)計是幫助學(xué)生找到探究的方法和步驟.其實已經(jīng)學(xué)習(xí)過的內(nèi)容都可以作為我們研究新內(nèi)容的工具，要讓學(xué)生學(xué)以致用，融會貫通.

于是提出探究任務(wù)：已知△ABC，試作出△A′B′C′，使得A′B′=AB，A′C′=AC，∠C′=∠C.

學(xué)生通過小組合作探究，將所作的圖形在卡紙上剪下來，之后每組派一名代表進(jìn)行展示，在黑板上將本組所剪的三角形展示出來.

第一次探究：由于相等的角可以是鈍角或者銳角，所以學(xué)生很容易作出以下幾種情況的圖.

（1）相等的角為鈍角的情況.

如圖4，已知鈍角△ABC，先作∠C′=∠C，然后以點C′為圓心，AC長為半徑畫弧，與∠C′的一邊交于點A′，再以點A′為圓心，AB長為半徑畫弧，與∠C′的另一邊交于點B′，得到如圖5所示的△A′B′C′.

圖4

圖5

此時作出的圖形是唯一的，剪出的兩個三角形可以完全重合，由此猜想這兩個三角形可能是全等的.

（2）相等的角為銳角的銳角三角形情況.

如圖6，已知銳角△ABC，先作∠C′=∠C，然后以點C′為圓心，AC長為半徑畫弧，與∠C′的一邊交于點A′，再以點A′為圓心，AB長為半徑畫弧，會與∠C′的另一邊所在的直線有兩個交點，此時有兩種情況（如圖7）.

圖6

圖7

此時作出的圖形一種情況可能是與原圖形全等的，另一種情況是一定不全等的.

【設(shè)計意圖】這個探究任務(wù)的設(shè)計，是讓學(xué)生從作圖的角度出發(fā)，開始本節(jié)課的探究，符合學(xué)生的知識生成.因為前面已經(jīng)有了探究方向，所以這里相等的∠C′和∠C可以是鈍角或者銳角.作圖步驟先要畫一個角等于已知角，然后用圓規(guī)來截取相等的邊畫弧，方法與教材上也一樣，是學(xué)生可以完成的任務(wù).

第二次探究：由于學(xué)生的探究結(jié)果并不完整，所以要繼續(xù)引導(dǎo).

師：還有沒有其他情況存在呢？當(dāng)三角形里面有一個角為直角或者鈍角時，這個三角形的形狀有沒有確定？

生：當(dāng)三角形中有一個角是直角時，這個三角形只能是直角三角形；當(dāng)三角形中有一個角是鈍角時，這個三角形只能是鈍角三角形.

師：當(dāng)三角形中有一個角是銳角時，這個三角形的形狀確定了嗎？

生：沒有確定.當(dāng)三角形中有一個角為銳角時，這個三角形可能是直角三角形、銳角三角形，還可能是鈍角三角形.

讓學(xué)生在此基礎(chǔ)上繼續(xù)進(jìn)行探究.

（3）相等的角為銳角的直角三角形情況（如圖8和圖9）.

圖8

圖9

這兩種情況畫出的三角形和原三角形都是全等的，但此時其實已經(jīng)有四組相等的條件了.

同時要引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形發(fā)現(xiàn)這兩種情況是不一樣的：第一種情況相等的邊是一組斜邊和一組直角邊；第二種情況相等的邊是兩組直角邊.

（4）相等的角為銳角的鈍角三角形情況.

第一種情況：如圖10，已知△ABC，先作∠C′=∠C，然后以點C′為圓心，AC長為半徑畫弧，與∠C′的一邊交于點A′，再以點A′為圓心，AB長為半徑畫弧，會與∠C′的另一邊所在的直線有兩個交點，得如圖11所示的兩種情況.

圖10

圖11

此時作出的圖形，一種情況可能是與原圖形全等的，一種情況是一定不全等的.

第二種情況：已知如圖12（1）所示的△ABC，畫法同上，得如圖13所示的△A′B′C′.

圖12

圖13

此時作出的圖形是唯一的，剪出的兩個三角形可以完全重合，所以猜想它們可能是全等的.

【設(shè)計意圖】此環(huán)節(jié)的設(shè)計是讓學(xué)生能夠更全面地考慮問題，盡可能地探究出所有的情況.同時，在作圖的過程中，進(jìn)一步加強學(xué)生的幾何直觀，理解每一種情況都是在作圖的前提下得到的，從而使學(xué)生學(xué)會幾何探究的一個有力的方法——作圖.

3.應(yīng)用所學(xué)，進(jìn)行論證

師：剛才我們都是通過作圖，也就是實驗幾何的角度進(jìn)行的探究.大家想一想，作圖之后還要做什么呢？

生：推理論證.

提出任務(wù)：每個小組的學(xué)生討論一下，如何對以上通過作圖發(fā)現(xiàn)的可能全等的情況進(jìn)行嚴(yán)密的論證呢？可以先選擇本小組作出來的情況進(jìn)行論證.

學(xué)生很快能證出以下兩種情況.

（1）相等的角為鈍角的情況.

已知：在如圖4（1）和圖5所示的△ABC和△A′B′C′中，∠C′與∠C均為鈍角，A′B′=AB，A′C′=AC，∠C′=∠C，求證：△ABC ≌△A′B′C′.

證明：如圖14，過點A作AD⊥BC，交BC的延長線于點D，過點A′作A′D′⊥B′C′，交B′C′的延長線于點D′，

先證明△ADC≌△A′D′C′（AAS），得AD=A′D′.

再證明Rt△ADB ≌ Rt△A′D′B′（HL），得∠B= ∠B′.

最后證明△ABC≌△A′B′C′（AAS）.

圖14

（2）相等的角為銳角的銳角三角形的情況.

已知：在如圖6（1）和圖7（2）所示的銳角△ABC和銳角△A′B′C′中，A′B′=AB，A′C′=AC，∠C′= ∠C，求證：△ABC ≌△A′B′C′.

證明：如圖15，過點A作AD⊥BC，交BC于點D，過點A′作A′D′⊥B′C′，交B′C′于點D′，

先證明△ADC≌△A′D′C′（AAS），得AD=A′D′.

再證明Rt△ADB≌Rt△A′D′B′（HL），得∠B=∠B′.

最后證明△ABC≌△A′B′C′（AAS）.

圖15

其他幾種情況也是如此，輔助線作法和證明過程也是一樣的（如圖16和圖17）.

圖16

圖17

師：通過這幾種情況的證明，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生：輔助線都是作高線，證明方法是一樣的.

【設(shè)計意圖】此環(huán)節(jié)是在上一環(huán)節(jié)作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行的一個理論上的邏輯推理，是從實踐到理論的一個完善.同時，也是學(xué)生對于三角形全等的判定定理的一個直接應(yīng)用.要讓學(xué)生體會在論證的過程中我們都要對著相等的角在第三條邊上作高，而這么做的目的其實就是為了構(gòu)造我們本節(jié)課最開始就給出的核心圖形“HL”全等的情況，因為在作圖時只有直角三角形才是唯一的.并且引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在本節(jié)課的開始，我們引入了“HL”的特殊情況，從這個特殊情況出發(fā)探究一般的情況，而對一般情況進(jìn)行論證的時候，輔助線作法又回到了之前最特殊的“HL”的情況，并且所有的論證過程都是一樣的.這其實就是數(shù)學(xué)中從特殊到一般，再由一般化歸到特殊的數(shù)學(xué)思想.

4.總結(jié)所學(xué)，歸納結(jié)論

師：從以上的探究中，我們能得到哪些結(jié)論呢？

由于是按相等的角為直角、鈍角、銳角進(jìn)行分類，所以也按相等的角為直角、鈍角、銳角來總結(jié).

結(jié)論1：兩個三角形滿足“邊邊角”，當(dāng)相等的角為直角或者鈍角時，這兩個三角形全等．

結(jié)論2：兩個三角形滿足“邊邊角”，當(dāng)相等的角為銳角，且另一對應(yīng)相等的邊所對的角為同一類型的角時，這兩個三角形全等．

【設(shè)計意圖】設(shè)計這個環(huán)節(jié)是對本節(jié)課探究所得的結(jié)果進(jìn)行的一個歸納.學(xué)生應(yīng)該比較容易得出結(jié)論1，歸納起結(jié)論2來會有困難，可能學(xué)生會去考慮三角形的形狀.所以需要引導(dǎo)學(xué)生去看相等的兩組邊，一組邊對著相等的角，而另一組邊所對的角是否是同一類型的角就決定了這兩個三角形是否全等.

5.思維導(dǎo)圖，感悟提升

用思維導(dǎo)圖的形式對本節(jié)課進(jìn)行總結(jié)，學(xué)生先分小組自己完成，然后和教師一起歸納（如圖18）.

圖18

【設(shè)計意圖】思維導(dǎo)圖的引入不僅能使本節(jié)課的內(nèi)容清晰明了，還能訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維，對學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也會有很大的幫助.

6.布置作業(yè)，鞏固提高

以小組為單位將這節(jié)課的內(nèi)容寫成一篇探究小報告，下周同一時間交探究報告.

六、教學(xué)反思

作為一節(jié)探究課，本節(jié)課的內(nèi)容并不是教材上的常規(guī)內(nèi)容，所以在設(shè)計之初就進(jìn)行了多次修改.之后筆者又經(jīng)歷了備課、磨課、上課，以及說課展示的全過程，可謂收獲頗多.接下來就來談?wù)劰P者對本節(jié)課的反思.

1.總結(jié)經(jīng)驗，感悟提升

（1）探究思路要適合于學(xué)生的知識生成.

本節(jié)課主要是探究“邊邊角”在哪些特定條件下能夠證明兩個三角形全等.在備課的過程中，筆者查閱了很多相關(guān)資料和論文，發(fā)現(xiàn)大概有以下兩種情況：第一種是先按三角形的形狀進(jìn)行分類，再按相等的角進(jìn)行分類；第二種是先按相等的角進(jìn)行分類，再按三角形的形狀進(jìn)行分類.而滬教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級下冊在“全等三角形”這一章之后，以小閱讀的方式，從作圖的角度對這個問題進(jìn)行了探究.在考量了多種情況之后，筆者決定從作圖入手，采取第二種分類方法.這樣的設(shè)計會更貼合學(xué)生的知識生成，作圖的方法都是一樣的，只是由于角的不同會出現(xiàn)不同的情況，從而為學(xué)生設(shè)定一條清晰明確而又切實可行的探究主線.

（2）解決問題的同時要注重方法的總結(jié).

在本節(jié)課的推理論證過程中，筆者發(fā)現(xiàn)論證本身對學(xué)生來說并不困難，困難的是從論證的背后發(fā)現(xiàn)規(guī)律性的結(jié)論和隱含的數(shù)學(xué)思想.所以在推理論證之后，對輔助線的作法進(jìn)行了總結(jié).旨在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)輔助線都是作高，而作這條高就是為了構(gòu)造直角三角形，就回到了本節(jié)課的核心圖形——“HL”的情況.這就是從特殊到一般，又從一般化歸到特殊的數(shù)學(xué)思想.

（3）思維導(dǎo)圖小結(jié)碰撞出思維的火花.

本節(jié)課采用思維導(dǎo)圖來進(jìn)行小結(jié)，不僅能為學(xué)生理清本節(jié)課的思路，更能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)本節(jié)課還存在的問題.思維導(dǎo)圖能夠很清楚地發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維障礙在哪里，以便之后完善.而學(xué)生往往也能帶來意想不到的驚喜，在他們所畫的思維導(dǎo)圖里，處處有碰撞出的思維小火花.

2.發(fā)現(xiàn)問題，完善提高

本節(jié)課展示之后，筆者又進(jìn)行了反思，發(fā)現(xiàn)還存在以下幾個問題.

（1）是否能給學(xué)生一個更開放的探究.

雖然本節(jié)課的探究主線是清晰的，但在課后筆者仍然在思考，這條主線是否在某種程度上也限定了學(xué)生的思維呢？能否給學(xué)生一個更開放的探究呢？那么在最初的引導(dǎo)上就要讓學(xué)生明確，“邊邊角”其實已經(jīng)是三個關(guān)于“邊、角”的元素對應(yīng)相等了，所以所添加的特定條件，不能是另一組“邊”或者“角”相等.因此，應(yīng)該從三角形是否唯一的方向去考慮添加的條件，這樣既可以從三角形的形狀入手，又可以從相等的角入手，讓學(xué)生自己選擇，還能讓學(xué)生比較不同分類的特點以及優(yōu)缺點，更有利于學(xué)生的思維發(fā)展.

（2）能否更加充分地調(diào)動學(xué)生的主體性.

雖然本節(jié)課是以學(xué)生探究為主，所有的探究結(jié)果以及推理論證的過程都是學(xué)生自己完成的，但是課后筆者觀看課堂實錄時，還是發(fā)現(xiàn)教師的引導(dǎo)過多了，有些地方過于擔(dān)心學(xué)生無法完成，或者學(xué)生的表述不夠準(zhǔn)確，當(dāng)然這與上課的時間限制有一定的關(guān)系.本節(jié)課既然作為探究課，就應(yīng)該讓學(xué)生的主體作用充分發(fā)揮出來.教師用更精煉的語言進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，讓學(xué)生暢所欲言，將課堂還給學(xué)生.

3.引發(fā)思考，開拓創(chuàng)新

在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)被提出來之后，很多教師都有過這樣的困惑，如何在平時的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢？觀望我們目前的教學(xué)模式，大多數(shù)還是以教師的教為主，學(xué)生被動地接受知識.為了應(yīng)試，有些教師也不注重知識的生成，只注重大量做題，所以學(xué)生對很多知識都是知其然，而不知其所以然，更不要談數(shù)學(xué)思維了.

所以本節(jié)課的設(shè)計，就是試圖改變這種情況，希望學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能夠?qū)W會探究學(xué)習(xí)的方法，在今后的學(xué)習(xí)過程中，會用已有的數(shù)學(xué)知識和技能方法去探究新的知識.當(dāng)然，這種情況也不是一、兩節(jié)課能夠改變的，本節(jié)課也還存在著很多問題.但筆者認(rèn)為，只要教師愿意去學(xué)習(xí)、去思考、去改變、去進(jìn)步，我們的教學(xué)就一定能發(fā)生相應(yīng)的變化，學(xué)生才能最終獲得數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，發(fā)揮數(shù)學(xué)教學(xué)的作用.

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