一、角與角之間的關(guān)系

1.三角形的角.

例1 （1）在△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，則△ABC是 三角形.

（2）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，則△ABC是 三角形.

【易錯點(diǎn)】誤認(rèn)為兩題是一樣的解法，都設(shè)∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，由x+2x+3x=180°，解得x=30°，所以得△ABC是直角三角形.

【分析】（2）中∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3可看出三個角的倍數(shù)關(guān)系是1份，2份，3份，上述設(shè)法正確，而（1）中∠A=2∠B，可知若∠B為1份，則∠A為2份，故應(yīng)設(shè)∠A=x，∠B=[12x]，∠C=[13x]，由x+[12x]+[13x]=180°，解得x=（[108011]）°，所以該三角形是鈍角三角形.

【點(diǎn)評】請正確審題，明確角與角之間的份數(shù)關(guān)系，正確設(shè)未知數(shù).可以將所設(shè)未知數(shù)代入式子進(jìn)行驗證，如（1）中若設(shè)∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，代入等式，可發(fā)現(xiàn)“x=2×2x=3×3x”這個錯誤的等式.

2.等腰三角形的角.

例2 已知等腰三角形的一個角是40°，則這個三角形的頂角等于 度.

【易錯點(diǎn)】固定思維，認(rèn)為這個角是底角，由三角形內(nèi)角和定理得頂角為100°.

【分析】題中未明確給出這個角的信息，故要分類討論，這是數(shù)學(xué)研究中非常重要的一種思想方法.

（1）當(dāng)這個角是底角時，可得頂角為100°；

（2）當(dāng)這個角是頂角時，可直接寫頂角為40°.

因此答案為100°或40°.

【點(diǎn)評】解關(guān)于等腰三角形的計算題時，要學(xué)會“分類討論”：一個角可能是頂角，也可能是底角；當(dāng)然，類似的，一條邊可能是腰，也可能是底邊；腰上的高可能在三角形內(nèi)，也可能在三角形外.

3.直角三角形的角.

例3 （1）將一副三角板如圖1疊放，則圖中α的度數(shù)為 .

圖1

（1）如圖2，已知AC⊥BC，垂足為C，AC=4，BC=[33]，將線段AC繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AD，連接DC，DB.

圖2

①線段DC= ；

②求線段DB的長度.

【易錯點(diǎn)】（1）有同學(xué)做該類題時，常常忽略“一副三角板”的默認(rèn)條件，以為沒有數(shù)據(jù)而不會解答.

（2）誤認(rèn)為∠CDB=90°，由①中DC的值，和題中BC的值，利用勾股定理求得DB的長.

【分析】（1）其實這是兩個有已知數(shù)據(jù)的特殊的直角三角形，直接可以利用三角形的內(nèi)、外角的知識求解.答案為60°-45°=15°.

（2）△CDB不是直角三角形，因此我們需要構(gòu)造直角三角形，作DE⊥BC于E，分別解直角△CDE和直角△BDE，如圖3，可得DB=[7].

圖3

【點(diǎn)評】觀察圖形是我們求解幾何圖形的第一步，有些圖形正如我們所見，確實是我們所猜想的圖形，當(dāng)然我們依然要善于從題目中尋找默認(rèn)的信息或者隱含的條件進(jìn)行驗證；而有些圖形卻并非如我們所愿，當(dāng)所給條件不能驗證我們的觀察結(jié)論時，我們需要換個角度來求解，比如題（2）中，無法直接得到直角三角形，則構(gòu)造直角三角形，便于我們求解.

二、邊與邊之間的關(guān)系

1.三角形的邊.

例4 （1）三角形的三邊長為3，a，7，則a的范圍是 .

（2）若一個三角形的兩邊長分別為2和4，則該三角形的周長可能是（ ）.

A.6 B.7 C.11 D.12

【易錯點(diǎn)】（1）有的同學(xué)答案是3

（2）不會主動出擊尋找周長的范圍，而是被動地對一個個選項研究，做題沒有目的性.

【分析】靈活運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系，即已知三角形的兩邊長，確定第三邊的范圍為：兩邊之差<第三邊<兩邊之和，因此：

（1）可得7-3

（2）可得第三邊a的范圍為2

【點(diǎn)評】三角形的三邊關(guān)系是我們處理邊與邊關(guān)系的前提知識.

2.等腰三角形的邊.

例5 一個等腰三角形的一邊是2cm，另一邊是9cm，則這個三角形的周長是 cm.

【易錯點(diǎn)】前面我們提醒到，等腰三角形問題常常需要“分類討論”，因此此題三邊有兩種情況：2，2，9以及9，9，2，你也許會回答周長為13cm或20cm，殊不知，你考慮了分類討論，卻忽視了三角形三邊關(guān)系的要求.涉及三角形邊的問題時，要判斷給定三條線段能否構(gòu)成一個三角形，用“三角形兩邊之和大于第三邊”來驗證.

【分析】由于2+2<9，故2，2，9不能構(gòu)成三角形，周長只能是20cm.

【點(diǎn)評】由于分類討論涉及多種情況，因此我們要善于對各種類型的答案進(jìn)行驗證，而不能眉毛胡子一把抓，應(yīng)該嚴(yán)格掌握一些數(shù)學(xué)定理和規(guī)則，有舍有得.

3.直角三角形的邊.

例6 已知一個直角三角形的兩邊是3和4，則第三條邊是 .

【易錯點(diǎn)】常見的勾股數(shù)確實為我們平時求解直角三角形的邊長帶來了便利，但是也往往會給我們帶來思維定式，此處答案會有人毫不猶豫地填寫“5”.

【分析】我們再次強(qiáng)調(diào)“勾股定理”：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.因此，判斷直角邊和斜邊是我們解題的前提條件，而此題中未給出確切的直角邊和斜邊的信息.因此需要分類討論：

（1）當(dāng)3和4都是直角邊時，第三邊為斜邊5；

（2）當(dāng)4是斜邊時，第三邊是直角邊，答案為[7].

所以答案為：5或[7].

【點(diǎn)評】求解直角三角形邊的問題，必須明確哪個角是直角，哪條邊是斜邊，才能正確用好勾股定理，同時大家要辨證看待“勾股數(shù)”的作用，為我所用.

三、三角形的三線關(guān)系

例7 三角形的重心是（ ）.

A.三角形三條邊上中線的交點(diǎn)

B.三角形三條邊上高線的交點(diǎn)

C.三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)

D.三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)

【易錯點(diǎn)】對三角形三類重要的線段不熟悉，會導(dǎo)致張冠李戴，胡亂選擇選項.

【分析】三角形的三類重要的線段：（1）高線——交點(diǎn)為垂心；（2）角平分線——交點(diǎn)為內(nèi)心；（3）中線——交點(diǎn)為重心.另外還有一類重要的直線：三條邊垂直平分線——交點(diǎn)為外心.你可以在四個三角形中分別作出四個心，數(shù)形結(jié)合來掌握這個結(jié)論，避免死記硬背導(dǎo)致混淆答案.

【點(diǎn)評】內(nèi)心和外心還需要結(jié)合內(nèi)切圓和外接圓的知識，你可以畫一棵知識樹，幫助自己辨析概念，靈活運(yùn)用相關(guān)知識.

2.等腰三角形的三線.

例8 如圖4，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，若∠BAC=70°，則∠BAD= °.

圖4

【分析】此題一般都能求解，這里特地拿出來是為了強(qiáng)調(diào)解題的方法，很多同學(xué)迷戀全等三角形，涉及求邊相等、角相等的問題，第一反應(yīng)是利用三角形全等的知識，而忽略了有些更便捷的方法.本題也能利用全等三角形證明，但利用等腰三角形三線合一的方法將簡單得多.由AB=AC，AD⊥BC，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得∠BAD=∠CAD，由∠BAC=70°，則∠BAD=35°.

【點(diǎn)評】熟記等腰三角形“三線合一”定理：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.

3.直角三角形的三線.

例9 直角三角形的兩直角邊分別為5cm，12cm，其中斜邊上的高為（ ）.

A.6cm B.5cm C.[3013]cm D.[6013]cm

【易錯點(diǎn)】“等積法”在直角三角形求線段問題中非常常見，我們可以輕松求得該直角三角形的斜邊長為13cm，面積為30cm2，然后直接用30除以13，選C.

【分析】三角形面積是底乘高的一半，很多同學(xué)會忽略“一半”，上面解法的錯誤就在于直接用面積除以底，而忘了“一半”的處理，為防止這個錯誤，我們可以由三角形的面積公式得斜邊上的高為[5×1213]=[6013]（cm），此處兩次計算面積中用到的“一半”同時抵消了，避免了錯解.

【點(diǎn)評】我們也可以用方程思想來求解這題，設(shè)斜邊上的高為x，可得方程[12]×13·x=[12]×5×12，解這個方程，則不會受[12]的干擾.

（作者單位：南京師范大學(xué)附屬蘇州石湖中學(xué)）