例1 （2017·無錫）已知，如圖1，平行四邊形ABCD中，E是BC邊的中點，連DE并延長交AB的延長線于點F，求證：AB=BF.

【來源分析】本題與蘇科版《數(shù)學》八（下）第72頁第3道習題的圖形翻折變換后很相近.

【解題思路】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是尋找三角形全等的條件.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CD=AB，CD∥AB，從而將問題轉化為證明BF=CD，BF、CD分別在△FEB和△DEC中，從而通過證明△DEC≌△FEB得到結論.

【解答過程】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，A、B、F共線，

∴CD∥AF，CD=AB，∴∠CDE=∠BFE，

又∵E是BC的中點，∴EB=EC.

在△DEC和△FEB中，

[∠CDE=∠BFE，∠DEC=∠FEB，EC=EB，]

∴△DEC≌△FEB（AAS），∴BF=CD，

又∵CD=AB，∴AB=BF.

【方法歸納】平行線與線段中點的條件組合，可以得到“8字”全等三角形基本圖形.

例2 （2017·南京）如圖2，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AD、BC上，且AE=CF，EF、BD相交于點O.求證：OE=OF.

【來源分析】本題源自蘇科版《數(shù)學》八（下）第72頁第6道習題的變式.

【解題思路】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定.解題的關鍵是結合已知尋找出三角形全等的條件.本題解答時可以先利用平行四邊形的性質(zhì)得到DE=BF，∠ADB=∠CBD，進而可證明△DOE與△BOF全等，即可得到OE=OF.

【解答過程一】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=CB，∴∠EDO=∠FBO，

又∵AE=CF，

∴AD-AE=CB-CF，即DE=BF，

在△DOE和△BOF中，

[∠EDO=∠FBO，∠DOE=∠BOF，DE=BF，]

∴△DOE≌△BOF（AAS），

∴OE=OF.

【一題多解】本題也可以運用平行四邊形的性質(zhì)與判定，證明出四邊形BEDF是平行四邊形，再運用平行四邊形的對角線互相平分這一性質(zhì)，即可證得OE=OF.

【解答過程二】證明：如圖3，連接BE，DF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC，

又∵AE=CF，∴DE=BF，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，

∴OE=OF.

例3 （2017·蘭州）如圖4，將一張矩形紙片ABCD沿著對角線BD向上折疊，頂點C落到點E處，BE交AD于點F.

（1）求證：△BDF是等腰三角形.

（2）如圖5，過點D作DG∥BE，交BC于點G，連接FG交BD于點O.

①判斷四邊形BFDG的形狀，并說明理由；

②若AB=6，AD=8，求FG的長.

圖4 圖5

【來源分析】本題與蘇科版《數(shù)學》八（下）第95頁第21題的變式相近.

【解題思路】本題綜合考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、菱形的判定、勾股定理，解題的關鍵是利用（1）及（2）①的結論作跳板，解決（2）②.（1）根據(jù)平行線得到內(nèi)錯角相等及根據(jù)折疊的性質(zhì)判斷；（2）①根據(jù)兩組對邊分別平行證平行四邊形，然后利用第一問證得鄰邊相等判斷；②根據(jù)矩形性質(zhì)求BD的長，根據(jù)BF=DF利用勾股定理列方程求BF，然后利用勾股定理求FO，最后利用菱形性質(zhì)得FG的長.

【解答過程】（1）證明：由折疊得，

△BDC≌△BDE，∴∠DBC=∠DBE.

又∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∴∠DBC=∠FDB，

∴∠DBE=∠FDB，∴DF=BF，

∴△BDF是等腰三角形.

（2）①四邊形BFDG是菱形.理由如下：

∵四邊形ABCD是矩形，∴FD∥BG.

∵DG∥BE，

∴四邊形BFDG是平行四邊形.

∵DF=BF，∴?BFDG是菱形.

②解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°.

∴BD=[AB2+AD2]=[62+82]=10.

∵四邊形BFDG是菱形，

∴GF⊥BD，F(xiàn)G=2OF，OB=OD=[12]BD=5.

設DF=BF=x，則AF=AD-DF=8-x，

在Rt△ABF中，AB2+AF2=BF2，

即62+（8-x）2=x2，

解得x=[254]，∴FB=[254].

在Rt△FOB中，

FO=[BF2-OB2]=[2542-52]=[154]，

∴FG=2FO=[152].

【方法歸納】一般在特殊四邊形或者特殊三角形的折疊問題中求線段長度時，通常將所給條件轉化，最終集中到一個直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解.

例4 （2017·河北）如圖6，A，B兩點被池塘隔開，不能直接測量其距離，于是，小明在岸邊選一點C，連接CA，CB，分別延長到點M，N，使AM=AC，BN=BC，測得MN=200m，則A，B之間的距離為 m.

【來源分析】本題與蘇科版《數(shù)學》八（下）第87頁練習題第2題的變式類似.

【解題思路】本題考查了三角形的中位線的應用，解題的關鍵是熟練掌握三角形中位線定理.由實際問題轉化為數(shù)學問題可知，在△MNC中，點A，B分別是CM，CN的中點，由三角形的中位線定義知，AB是△MNC的中位線，進而可求出AB的長.

【解答過程】解：∵AM=AC，BN=BC，

∴AB=[12]MN.

又∵MN=200，∴AB=100.

【方法歸納】三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.在三角形中已知一邊的中點，一般情況下可以尋找另外一邊的中點，構成中位線解題.

（作者單位：揚州大學附屬中學東部分校）