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        不忘“輔線”,方得“全等”

        2018-05-07 09:03:24柏素霞
        初中生世界·九年級 2018年3期
        關(guān)鍵詞:輔線中線本題

        證明三角形全等是解決線段與角相等或和、差、倍、分關(guān)系的重要方法,有時應用“全等三角形”來解題時,原圖中并不存在全等三角形,需要添加輔助線進行構(gòu)造,這是我們學習過程中的一個難點.下面,就如何利用已有條件作輔助線構(gòu)造全等三角形和同學們進行一些探索.

        一、作旋轉(zhuǎn)圖形得全等

        例1 如圖1,設點P是等邊△ABC內(nèi)的一點,PB=6,PA=8,PC=10,則∠APB的度數(shù)是

        .

        【分析】本題中的PB、PA、PC的長度分別為6、8、10,很容易讓我們想到直角三角形,又因為等邊三角形中BC、BA長度相等且有公共的端點,所以可以運用“旋轉(zhuǎn)法”構(gòu)造全等三角形來解決.

        解:∵△ABC為等邊三角形,∴BA=BC.

        可將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA,則△BEA≌△BPC,連EP,如圖1.

        ∴BE=BP=6,AE=PC=10,∠PBE=60°,

        ∴△BPE為等邊三角形,

        ∴PE=PB=6,∠BPE=60°.

        在△AEP中,AE=10,AP=8,PE=6,

        ∴AE2=PE2+PA2,

        ∴△APE為直角三角形,且∠APE=90°,

        ∴∠APB=90°+60°=150°.

        【方法點撥】本題的考點為旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì).我們利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形,將已知線段相對集中,組合成特殊的直角三角形,同時又產(chǎn)生了等邊三角形,再進行等量代換解決了問題.

        二、“截長”或“補短”得全等

        例2 如圖2,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=CB,AD平分∠BAC交BC于D,求證:AC=AB+BD.

        【分析】從結(jié)論出發(fā),要證明兩條線段之和等于第三條線段,就可以采取“截長補短”法.

        證法一:如圖3所示,在AC上截取AE=AB,連接DE.

        ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.

        在△ABD和△AED中,AB=AE,∠BAD=∠DAC,AD=AD,∴△ABD≌△AED(SAS),

        ∴∠AED=∠B=90°,BD=ED.

        又∵AB=BC,∴∠C=45°,

        ∴∠EDC=∠C=45°,∴DE=CE,∴BD=CE,

        ∴AC=AE+EC=AB+BD.

        證法二:如圖4所示,延長AB到E,使BE=BD,連接DE.

        ∵∠ABC=90°,AB=BC,BE=BD,

        ∴∠C=∠CAB=45°,∠E=∠EDB=45°,

        ∴∠C=∠E.

        ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,

        又∵AD=AD,∴△ACD≌△AED(AAS),

        ∴AE=AC,∴AC=AB+BE=AB+BD.

        【方法點撥】所謂“截長”,即在較長線段上截取一段等于兩條較短線段中的一條,再證明剩下的一段等于另一條線段;所謂補短,即把兩條短線段補成一條長線段,再證它與長線段相等.本題無論用哪種方法都是把證明線段和、差的問題轉(zhuǎn)化為證明線段相等問題.

        三、作平行線得全等

        例3 如圖5,已知在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延長線上,DE交BC于F,且DF=EF,求證:BD=CE.

        圖5 圖6

        【分析】過點D做DG∥AC,由平行我們得出一對同位角和一對內(nèi)錯角的相等,再結(jié)合已知的相等線段以及題中隱含的對頂角,就順利構(gòu)造出了全等三角形.

        證明:如圖6,過點D作DG∥AC交BC于G,

        ∴∠DGB=∠ACB,∠DGF=∠ECF,

        又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,

        ∴∠B=∠DGB,∴DB=DG.

        ∵DF=EF,∠DFG=∠CFE,

        ∴△DGF≌△ECF,∴DG=CE.∴BD=CE.

        【方法點撥】此題考查了等腰三角形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì).題中原來有一對相等的線段以及一對對頂角,所以依托這兩個條件可以思考再增加什么條件可構(gòu)成全等三角形,故想到作平行線構(gòu)造相等的角可證得.

        四、倍長中線得全等

        例4 如圖7,已知在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上一點,且BE=AC,延長BE交AC于F,求證:AF=EF.

        【分析】如圖8,延長中線至點G,使DG=AD,再連接BG,這樣就可以用“SAS”證明△ADC與△GDB全等,接下來問題就明朗了.

        證明:延長AD到G,使得DG=AD,

        ∵AD是△ABC的中線,∴BD=CD,

        又∵∠BDG=∠CDA,

        ∴△ADC≌△GDB(SAS),

        ∴BG=AC,∠CAD=∠G,

        ∵BE=AC,∴BE=BG,∴∠G=∠BEG.

        又∵∠BEG=∠AEF,∴∠G=∠AEF,

        ∴∠CAD=∠AEF,∴AF=EF.

        【方法點撥】題中若有中線,可以考慮將中線延長一倍來構(gòu)造全等三角形,從而將分散的條件集中,這種方法通常稱為“中線倍長法”.本題還考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定,可見綜合運用三角形知識思考問題非常重要.見中點構(gòu)造全等三角形應根據(jù)具體的條件進行選擇,也不能一味模仿應用.

        (作者單位:揚州大學附屬中學東部分校)

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