侯驊玲，王宗彥，楊擴嶺，李志雄

(1. 中北大學 機械與動力工程學院，山西 太原 030051； 2. 山西省起重機數(shù)字化設(shè)計工程技術(shù)研究中心，山西 太原 030051)

0 引言

橋式起重機作為一種生產(chǎn)實際中使用廣泛的起重設(shè)備，在我國各領(lǐng)域生產(chǎn)制造過程中發(fā)揮著重要作用，因為我國起重機設(shè)計普遍處于傳統(tǒng)設(shè)計階段，在設(shè)計中選取的安全系數(shù)過大，使得起重機主梁結(jié)構(gòu)笨重，耗費材料過多。在提倡綠色環(huán)保的趨勢下，對橋式起重機主梁進行科學輕量化設(shè)計已十分必要[1]。輕量化設(shè)計的目的是將起重機質(zhì)量、性能和成本等因素綜合考慮進行優(yōu)化。橋式起重機主梁結(jié)構(gòu)大多為箱型梁式，目前，箱型主梁的靜態(tài)優(yōu)化方法有結(jié)構(gòu)優(yōu)化法和智能算法優(yōu)化法。已成熟運用到主梁結(jié)構(gòu)輕量化中的算法有粒子群算法、遺傳算法和蜂群算法等，大多研究者通過控制主梁截面尺寸參數(shù)來進行優(yōu)化以減輕起重機主梁的質(zhì)量。楊丁[2]應(yīng)用中心引力搜索算法優(yōu)化設(shè)計主梁參數(shù)，仿真結(jié)果驗證了算法的可行性，優(yōu)化率達14.5%。李志雄[3]通過引入自適應(yīng)步長、差分進化法等策略改進人工蜂群算法，并運用到主梁中進行優(yōu)化，通過ANSYS分析軟件分析優(yōu)化后的結(jié)果，優(yōu)化率達10.52%。

萬有引力搜索算法(GSA)是由Esmat Rashedi等學者在2009年提出的一種基于萬有引力定律的新型群體智能優(yōu)化算法[4]。牛頓萬有引力定律指出，萬物之間都存在著引力，從而個體間存在著相互作用，能夠產(chǎn)生群體性智能，萬有引力搜索算法正是利用了這一點進行優(yōu)化搜索。李鵬[5]將改進的引力搜索算法運用于微網(wǎng)運行優(yōu)化中；肖兒亮[6]研究了引力搜索算法的實用性，并將其應(yīng)用到電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計算中；李欣欣[7]將引力搜索算法與粒子群算法混合，通過對非線性系統(tǒng)模型優(yōu)化，驗證了混合算法的有效性。同其他算法一樣，基本GSA算法也存在收斂早、局部搜索能力差等問題，本文針對以上問題將算法進行改進，并將改進的GSA算法應(yīng)用于橋式起重機主梁的輕量化。通過有限元分析結(jié)果，驗證了改進引力搜索算法的有效性和可行性。

1 萬有引力搜索算法

1.1 基本萬有引力搜索算法

引力搜索算法的基本思想源于物理學的萬有引力定律。引力作用的大小與個體的質(zhì)量成正比，與個體之間的距離成反比，質(zhì)量較大的個體產(chǎn)生的引力對其他個體影響巨大。在引力的不斷作用下，整個群體逐漸向質(zhì)量最大的個體方向靠近，最終搜索到問題的最優(yōu)解[8-9]。

假設(shè)在一個D維空間中存在N個群體，第i個個體的位置為：

(1)

1) 慣性質(zhì)量計算

在GSA算法中，個體的慣性質(zhì)量與個體所對應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)值有關(guān)。當某個個體慣性質(zhì)量M較大時，代表其占據(jù)較優(yōu)的位置，代表較優(yōu)的解，引導其他質(zhì)量較小的個體向其移動。Mi(t)表示第t次迭代時搜索個體的質(zhì)量。個體質(zhì)量Mi(t)根據(jù)式(2)進行計算。

(2)

式中：fiti(t)表示個體Xi的適應(yīng)值，本文求最小值問題；best(t)表示第t次迭代時的最佳適應(yīng)值，即最小目標函數(shù)值；worst(t)表示第t次迭代時的最差適應(yīng)值，即最大目標函數(shù)值，根據(jù)式(3)計算。

(3)

2) 引力計算

在第t次迭代時，將個體j在第k維上受到個體i的引力定義如下：

(4)

式中：ε表示一個非常小的常量；G(t)為第t次迭代的萬有引力常數(shù)的值，具體如式(5)所示。

G(t)=G0×e-at/T

(5)

式中，G0表示第t0次迭代時G的取值，是一個常數(shù)，G0=100；a=20，T為最大迭代次數(shù)。

Rij(t)表示個體Xi和個體Xj的歐式距離，如式(6)所示。

Rij(t)=‖Xi(t),Xj(t)‖2

(6)

第t次迭代時，在第k維上個體i所受的合力如式(7)所示。

(7)

式中，randj表示在[0,1]之間一個隨機變量，且服從均勻分布。kbest為個體按質(zhì)量從大到小排序位于前k個的個體，k的取值是隨迭代次數(shù)線性減少的，初值為N，終值為1。

3) 位置更新

根據(jù)Newton第二定律，通過式(7)中所計算到的合力，個體i在第k維上獲得的加速度如式(8)所示。

(8)

個體通過式(8)計算所得的加速度在每一次迭代時更新個體i的速度和位置，如式(9)所示。

(9)

將式(4)-式(8)代入式(9)中，位置更新方程如式(10)所示。

(10)

1.2 萬有引力搜索算法的改進

GSA算法是通過個體之間的引力相互吸引來完成尋找最佳位置的過程，其個體具有強大的全局搜索能力。但隨著迭代次數(shù)的增加，在種群收斂集中的同時，個體之間越來越相似，形成局部最優(yōu)的狀況，使得種群尋找最優(yōu)解變得困難。故需要通過改進算法來提高尋找最優(yōu)解的能力。

a) 位置更新公式的改進

在現(xiàn)有的智能優(yōu)化算法中，雖然微粒群優(yōu)化算法和引力搜索算法的原理有著本質(zhì)的區(qū)別，但是這兩種算法都采用了基于速度和位置的計算模型[10]。微粒群算法的改進方法中，學者將慣性權(quán)重因子或者收縮因子引入到速度更新公式，這些因子皆改善了算法的優(yōu)化新能。本文引用的改進GSA算法是將系數(shù)s添加到位置更新公式中，通過改進個體新的位置式如式(11)所示。

(11)

研究表明，位置更新公式加入系數(shù)后，改善了局部開發(fā)能力較弱的問題，顯著提高了基本GSA算法的優(yōu)化性能。這個系數(shù)可以是常數(shù)或函數(shù)，根據(jù)已定的目標函數(shù)，令s值為1.2。

b)慣性質(zhì)量公式的改進

由式(2)中可以看出，適應(yīng)值的變化對慣性質(zhì)量的影響很大。其中慣性質(zhì)量大的個體，對其他個體的吸引力越大，也就能使個體向最優(yōu)的位置靠近[11]。因此，當個體增加一個權(quán)值后，會使個體的慣性質(zhì)量的大小放大化，慣性質(zhì)量大越大，慣性質(zhì)量小越小，從而提高算法的搜索效率。將權(quán)值wi(t)及改進的慣性質(zhì)量Mgi(t)如式(12)所示。

(12)

Cmax和Cmin分別表示權(quán)值的最大值和最小值，在文獻[12]中研究表明，慣性權(quán)值Cmax=0.9，Cmin=0.6時算法性能最好。Mmax和Mmin分別表示慣性質(zhì)量的最大值和最小值。

改進的GSA算法的主要實現(xiàn)步驟如下：

1) 識別搜索空間；

2) 設(shè)置基本參數(shù)，初始化群體中各個體的位置，個體的初始速度為0；

3) 計算每個個體的適應(yīng)度值；

4) 更新萬有引力常數(shù)、慣性質(zhì)量、最優(yōu)及最差適應(yīng)度函數(shù)；

5) 計算每個個體的質(zhì)量和受到的引力；

6) 計算個體的加速度和速度，更新位置；

7) 若未滿足終止條件，返回步驟2)；否則，輸出最優(yōu)解。

改進后的算法流程如圖1所示。

圖1 改進萬有引力算法流程

2 主梁優(yōu)化數(shù)學模型

本文以某臺雙梁全偏軌式橋式起重機的主梁為優(yōu)化對象進行分析，跨度為L=25 500mm，起重量為Q=32t，材料為Q235鋼。

1) 優(yōu)化變量及目標函數(shù)的建立

主梁優(yōu)化旨在滿足起重機主梁設(shè)計要求的前提下，通過減少主梁材料的使用，使主梁的質(zhì)量減輕，實現(xiàn)主梁輕量化目標。將橋式起重機箱形主梁簡化為等截面梁進行計算，忽略橫縱向加強筋板的作用[13]。由計算知，在垂直平面內(nèi)，小車滿載運行至主梁的跨中截面時，其彎矩最大，因此選跨中截面為最危險截面。所以本文以主梁的跨中截面積作為優(yōu)化目標。主梁截面模型如圖2所示。目標函數(shù)數(shù)學表達式如式(13)。

x1—腹板高度；x2—蓋板寬度；x3—主腹板厚度； x4—副腹板厚度；x5—蓋板厚度圖2 箱形梁截面圖

(13)

2) 約束條件的確定

在設(shè)計計算中可知，主梁跨中處的應(yīng)力較為集中且值大，因此在約束時應(yīng)該使其值小于許用應(yīng)力，還應(yīng)滿足剛度、強度約束、穩(wěn)定性約束等。

從材料力學的角度出發(fā)，以《起重機設(shè)計手冊》與國標GB/T3811-2008中的各項準則為依據(jù)，確定箱梁結(jié)構(gòu)動態(tài)優(yōu)化設(shè)計過程中的約束條件。

① 尺寸約束

根據(jù)起重機的起重量、跨度等基本參數(shù)，再結(jié)合國標GB/T3811-2008中的設(shè)計準則，確定的5個變量的厚度尺寸取值范圍如表1所示，單位為mm。

表1 主梁截面參數(shù)選取范圍 mm

② 強度約束

(14)

式中：MH為箱型梁跨中截面水平方向載荷產(chǎn)生的彎矩，MV為箱型梁跨中截面垂直方向載荷產(chǎn)生的彎矩。Ixx為垂直方向的慣性矩，Iyy為水平方向的慣性矩。

③ 剛度約束

(15)

式中[f]是許用垂直靜剛度，[f]=L/700,L為主梁跨度。

④ 穩(wěn)定性約束

(16)

(17)

(18)

3 實例分析

3.1 分析方案

文中用基本遺傳算法、基本GSA算法和改進GSA算法對主梁進行輕量化設(shè)計，以目標函數(shù)為適應(yīng)度函數(shù)，編制 Matlab程序來仿真函數(shù)的迭代過程。實驗選取群體數(shù)量為N=100，迭代次數(shù)為max_it=300，3種算法各進行30次迭代試驗。圖3為隨機選取的某次最優(yōu)適應(yīng)度函數(shù)值變化曲線對比圖。

圖3 最佳目標值變化曲線對比圖

圖3適應(yīng)值對比圖顯示改進的GSA算法和基本GSA算法迭代結(jié)果良好。與基本遺傳算法相比，優(yōu)化效果明顯?；綠SA算法最優(yōu)解收斂速度比遺傳算法快，且獲得的最優(yōu)解比遺傳算法的最優(yōu)解小，由此驗證了GSA算法的優(yōu)越性和有效性。同時從圖中可以得到改進的GSA算法搜索結(jié)果要優(yōu)于基本GSA算法，改進后的GSA算法得到最優(yōu)解的迭代數(shù)要比基本GSA算法收斂到最優(yōu)解的迭代數(shù)早，收斂性能明顯增強。

根據(jù)起重機手冊中相關(guān)規(guī)定，對優(yōu)化后的數(shù)據(jù)進行圓整，并驗證圓整后的數(shù)據(jù)是否符合約束條件，數(shù)據(jù)均符合約束規(guī)定，選擇其中一組優(yōu)化數(shù)據(jù)如表2所示。文中優(yōu)化對象為偏軌箱形梁，優(yōu)化后的蓋板數(shù)據(jù)為下蓋板參數(shù)，而上蓋板的寬度根據(jù)公式b上=b下+70mm得到。

表2 不同優(yōu)化設(shè)計方案對比分析

從表2看出，在滿足實際工程約束條件的基礎(chǔ)上，改進GSA算法的優(yōu)化效果良好，其優(yōu)化目標函數(shù)值(即主梁截面面積)比初始值減少了19.14%，比基本遺傳算法減少了5.56%，比基本GSA算法減少了1.35%，優(yōu)化結(jié)果使得橋式起重機主梁重量減輕，達到優(yōu)化設(shè)計的目的。

3.2 驗證結(jié)果可行性

實驗選取的起重機小車自重為96 000kg，起升質(zhì)量為32 000kg，實驗分析工況為小車處于主梁跨中位置時的受力情況，因此將小車自重和起升質(zhì)量換算成靜力施加在主梁跨中位置，主梁的約束形式為兩端簡支。

使用改進GSA算法優(yōu)化得到的主梁截面參數(shù)值對橋式起重機主梁進行建模。并使用ANSYS Workbench有限元分析軟件對改進前后的主梁結(jié)構(gòu)進行分析。在主梁有限元模型的前處理過程中對改進前后的主梁結(jié)構(gòu)進行相同的材料屬性設(shè)置、網(wǎng)格劃分以及載荷和約束的施加。分析結(jié)束得到主梁改進前后的應(yīng)力云圖和變形云圖，如圖4和圖5所示。

圖4 優(yōu)化前后主梁應(yīng)力分析對比圖

圖5 優(yōu)化前后主梁變形分析對比圖

主梁材料選取為Q235鋼，其許用應(yīng)力為σ=140MPa。圖4中主梁優(yōu)化前最大應(yīng)力為69.696MPa,主梁優(yōu)化后最大應(yīng)力為88.506MPa，皆小于許用應(yīng)力，滿足應(yīng)力約束條件。本文優(yōu)化對象的工作級別為A6，其許用垂直靜剛度為[f]=31.875mm。從圖5中可以看出優(yōu)化前最大變形為15.879mm，優(yōu)化后最大變形為19.462mm，遠遠小于許用垂直靜剛度規(guī)定，符合靜剛度要求。有限元分析結(jié)果證明改進后的主梁結(jié)構(gòu)在小車位于跨中位置時所受的應(yīng)力和應(yīng)變都有所增大，但主梁依然符合設(shè)計及使用要求，因此通過對比圖中的主梁優(yōu)化前后的有限元分析結(jié)果，可以驗正改進GSA算法在橋式起重機箱型主梁優(yōu)化中的可行性和準確性。

4 結(jié)語

1) 本文分別在基本GSA算法中的位置更新公式和慣性質(zhì)量公式引入了常系數(shù)和慣性權(quán)值，并首次將改進的GSA算法應(yīng)用于起重機主梁輕量化研究方面。

2) 通過3種算法300次數(shù)的迭代，輸出各參數(shù)的優(yōu)化結(jié)果，其中改進GSA算法優(yōu)化率達19.14%，比遺傳算法和基本GSA算法的優(yōu)化效果明顯，減小了箱梁截面積，起重機質(zhì)量得以減輕。通過對比優(yōu)化前后應(yīng)力應(yīng)變的分析結(jié)果，檢驗了算法的可行性。

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