何冰冰, 任興民, 何尚文, 秦衛(wèi)陽, 馬引鋼

(1.西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院, 陜西 西安 710072；2.鄭州大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院, 河南 鄭州 450001)

葉冠裝置是一種應(yīng)用廣泛的渦輪葉片干摩擦阻尼器。相鄰葉冠的接觸界面可能會出現(xiàn)黏滯、滑動和分離，這導(dǎo)致接觸力具有強非線性特性，深入研究葉冠系統(tǒng)的振動特性具有重要的理論和工程價值。

國內(nèi)外許多學(xué)者對自帶冠葉片的非線性特性進行了研究。南國防等[1]用線性彈簧來模擬冠間接觸，采用Sgn摩模擬摩擦力，對考慮非線性恢復(fù)力的葉冠系統(tǒng)進行了分析。單穎春和朱梓根[2]提出了復(fù)雜接觸運動下求解接觸非線性摩擦力的數(shù)值軌跡跟蹤方法,并利用該方法對幾種復(fù)雜接觸運動下的非線性摩擦力進行了計算。Ding和Chen[3]提出了一種確定帶干摩擦阻尼系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的分析方法。武新華和李衛(wèi)軍[4]將自帶冠葉片等效為彈簧-質(zhì)量模型; 冠間的接觸碰撞簡化為有間隙的彈簧-干摩擦阻尼模型,建立了該結(jié)構(gòu)的振動方程。Liu等[5]提出了一種摩擦接觸剛度模型來描述不同粗糙界面和不同正壓力下的摩擦力。漆文凱和高德平[6]引入整體-局部一體化滑動模型，提出了帶摩擦阻尼裝置平板葉片的振動響應(yīng)分析方法。

在本文的研究中,冠間接觸剛度采用更符合實際的線性彈簧和立方非線性彈簧來描述,摩擦力采用適用于固體表面之間干摩擦接觸狀態(tài)下的一個指數(shù)型的動態(tài)摩擦模型來模擬，考慮離心剛化效應(yīng)的影響，建立了考慮非線性彈簧和碰摩復(fù)合作用的自帶冠葉片的運動方程，研究了葉冠間隙和非線性剛度比對自帶冠葉片振動特性的影響。

1 自帶冠葉片碰摩模型以及動力學(xué)方程的建立

航空發(fā)動機運行時，葉片處于高速旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，葉冠在氣流激振力和葉盤旋轉(zhuǎn)運動產(chǎn)生的離心力共同作用下，會與相鄰葉片的葉冠發(fā)生碰撞和摩擦，原理如圖1所示。

圖1 自帶冠葉片碰摩原理示意圖

葉片工作狀態(tài)下葉冠之間的碰摩是十分復(fù)雜的,接觸面法向運動會導(dǎo)致正壓力的變化,切向運動會導(dǎo)致接觸表面處于黏滯或滑動狀態(tài)。定義葉片旋轉(zhuǎn)切向為x方向,軸向為y方向,徑向為z方向。葉冠之間的實際接觸碰摩發(fā)生在三維方向上,y向的位移很小,可忽略。本文利用預(yù)應(yīng)力來考慮離心剛化效應(yīng)的影響,獲得了自帶冠葉片的動頻率。在不同的旋轉(zhuǎn)速度Ω下,x向和z向的第一階彎曲動頻率fx1和fz1可以從有限元模型中獲得,從而可以得到fx1和fz1關(guān)于旋轉(zhuǎn)速度Ω的曲線,如圖2所示,用最小二乘法擬合得到fx1和fz1關(guān)于旋轉(zhuǎn)速度的方程,這樣就可以通過計算得到自帶冠葉片在x向和z向的動態(tài)剛度。把自帶冠葉片簡化為如圖3所示的彈簧-質(zhì)量模型,則自帶冠葉片的運動方程為

圖2 一階彎曲動頻率關(guān)于旋轉(zhuǎn)速度的曲線和其擬合曲線

圖3 自帶冠葉片的質(zhì)量-彈簧模型

m+c2+k2z=F2(t,x,z,,,Δ1,Δ2)

(1)

F1(t,x,z,,,Δ1,Δ2)和F2(t,x,z,,,Δ1,Δ2)是由于葉冠之間的碰摩作用產(chǎn)生的非線性作用力,Q(t)為氣流激振力

Q(t)=f0+f1sin(lΩt)+f2sin(2lΩt)+

f3sin(3lΩt)+…+fnsin(nlΩt)

0

(2)

圖4 冠間接觸結(jié)構(gòu)示意圖

zcosα+Δ1)3,xsinα+zcosα<-Δ1

0, -Δ1≤xsinα-zcosα≤Δ2

zcosα-Δ2)3,xsinα+zcosα>Δ2

(3)

本文的摩擦模型采用適用于固體表面之間干摩擦接觸狀態(tài)下的一個指數(shù)型的動態(tài)摩擦模型,如圖5所示,其系數(shù)方程為[9]

μvrel=μm+(μs-μm)e-β|vrel|

(4)

μm為最小動摩擦因數(shù),μs為最大靜摩擦因數(shù),β為控制系數(shù)曲線下降率的設(shè)計參數(shù),vrel為葉冠接觸面之間切向的相對速度,vrel=cosα+sinα。

圖5 摩擦因數(shù)關(guān)于相對速度的指數(shù)型曲線

根據(jù)圖4,摩擦力fτ可以寫作

fτ(vrel)=-μvrel|N|(vrel>0)

fτ(vrel)=μvrel|N|(vrel<0)

-μs|N|≤fτ(vrel)≤μs|N|(vrel=0)

(5)

根據(jù)圖4和(3)～(5)式,將碰撞力和摩擦力分別向x向和z向分解,方程(1)可以寫作:

m+c1+k1x=Nsinα+fτcosα+f1sin(lΩt)

m+c2+k2z=Ncosα+fτsinα

(6)

方程(6)簡化為無量綱化方程得到

2〗1+2ε1X′1+1(lη1)2X1=sinα+

(7)

=-γ1(lη1)2Xr1-γ2(Xr1)3,Xr1<0

0,-1≤X1sinα-X2cosα≤K

-γ1(lη1)2Xr2-γ2(Xr2)3,Xr2>0

(8)

τ(rel)=-μ||(rel>0)

-μs||≤τ(rel)≤μs||(rel=0)

(9)

方程(7)是考慮了非線性彈簧和碰摩復(fù)合作用的帶冠葉片的無量綱化的耦合運動方程,采用龍格庫塔法計算葉冠在不同接觸運動狀態(tài)下的振動特性。

2 數(shù)值模擬

作為一個算例,自帶冠葉片的材料參數(shù)和幾何參數(shù)可以取為:楊氏模量E=2.1×1011Pa,密度ρ=7 800 kg/m3,葉片長度L=0.15 m,葉片寬度b=0.03 m,葉片厚度h=0.004 m,黏性阻尼系數(shù)c=4 Ns/m,葉冠質(zhì)量m=0.037 4 kg, 動態(tài)剛度k1=m(2πfx1)2,k2=m(2πfz1)2,μs=0.5,μm=0.3,β=0.5 s/m,α=π3,f1=20 N。線性接觸剛度kc等于自帶冠葉片x向彎曲的動剛度k1[10],則γ1=1。在本文的研究中,選取旋轉(zhuǎn)自帶冠葉片x向的共振頻率,即x向的動頻率fx1與氣流激振力fe的交點, 則Ω=3 153.2 r/min。

2.1 非線性剛度比對振動響應(yīng)的影響

在本節(jié)的研究中,K=1,間隙為Δ1=Δ2=0.02 m。圖6顯示了非線性剛度比對振動響應(yīng)的影響。

圖6 無量綱化位移關(guān)于非線性剛度比γ2的分岔圖

從圖6可以看出,自帶冠葉片在不同的非線性剛度比下會出現(xiàn)周期1、周期2、周期3和混沌運動。圖7～圖10顯示了自帶冠葉片在不同非線性剛度比下的振動響應(yīng)。非線性剛度比γ2=0.2時,出現(xiàn)周期1運動,參考圖7,從頻譜分析可以看出,此時位移響應(yīng),碰撞力和摩擦力均出現(xiàn)激振頻率fe的高次奇諧波3fe,5fe,7fe等。圖8和圖10分別顯示了自帶冠葉片的周期2和周期3運動。周期2和周期3運動分別出現(xiàn)在非線性剛度比γ2=0.35,1.2時,從頻譜分析可以看出,此時位移響應(yīng)、碰撞力和摩擦力均出現(xiàn)激振頻率fe的次諧波和一些高次諧波fe,3fe等。在γ2=1.2時,出現(xiàn)周期3運動的原因是存在一個碰摩周期是激振力周期的3倍。圖9顯示了自帶冠葉片的混沌運動,龐加萊截面上出現(xiàn)有分形結(jié)構(gòu)的密集點,且頻譜圖上有連續(xù)譜出現(xiàn)。

圖7 自帶冠葉片振動響應(yīng)(γ2=0.2)

圖8 自帶冠葉片振動響應(yīng)(γ2=0.35)

圖9 自帶冠葉片振動響應(yīng)(γ2=0.8)

圖10 自帶冠葉片振動響應(yīng)(γ2=1.2)

2.2 間隙對振動響應(yīng)的影響

1) 對稱間隙:K=1,γ2=1.5。圖11和圖12顯示了間隙對振動響應(yīng)的影響。從圖11和圖12可以看出,自帶冠葉片在不同的間隙下會出現(xiàn)周期1,周期3和混沌運動?；靹舆\動出現(xiàn)在被一定范圍的p周期運動分離開的特定的間隙范圍(p=1,3)。

2) 非對稱間隙:Δ1=0.1 mm,γ2=1.5。圖13和圖14顯示了間隙比K對振動響應(yīng)的影響。從圖13和圖14可以看出隨著間隙比變化,自帶冠葉片會出現(xiàn)周期1,周期2,周期4和混沌運動。在K=1時,自帶冠葉片為周期運動(見圖11),可見間隙不對稱會導(dǎo)致自帶冠葉片的運動更加復(fù)雜。

圖11 位移關(guān)于間隙Δ1的分岔圖及其放大圖

圖12 不同間隙Δ1下的相平面圖

圖13 位移關(guān)于間隙比的分岔圖

圖14 不同的間隙比K下的相平面圖

3 結(jié) 論

本文考慮了渦輪自帶冠葉片間分離和重新接觸以及離心剛化效應(yīng)的影響,推導(dǎo)了考慮非線性彈簧和碰摩復(fù)合作用的自帶冠葉片的動力學(xué)方程,分析了葉冠間隙和非線性剛度比對自帶冠葉片振動特性的影響。主要結(jié)論如下:

1) 自帶冠葉片在不同的非線性剛度比和間隙比下會出現(xiàn)周期1,周期2,周期3和混沌運動。

2) 對稱間隙下,隨著間隙變化,自帶冠葉片會出現(xiàn)周期1,周期3和混沌運動。

3) 自帶冠葉片出現(xiàn)周期p(p=1,2,3))運動的原因是存在一個碰摩周期是激振力周期的p倍。

4) 間隙不對稱會導(dǎo)致自帶冠葉片的運動更加復(fù)雜?；靹舆\動出現(xiàn)在被一定范圍的p周期運動分離開的特定的參數(shù)范圍。

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