張元海，張鵬飛，楊霞林，林麗霞，張戎令

(蘭州交通大學 土木工程學院，甘肅 蘭州 730070)

錨固損失是預應力鋼筋張拉后錨固時，由于錨具變形、鋼筋回縮等引起的一種瞬時預應力損失[1]。我國現(xiàn)行《鐵路橋涵混凝土結(jié)構(gòu)設計規(guī)范》[2](以下簡稱鐵路橋規(guī))在附錄D中給出了后張梁預應力鋼筋考慮反摩阻效應后的有效預應力計算公式，并未直接給出錨固損失計算公式;我國現(xiàn)行《公路鋼筋混凝土及預應力混凝土橋涵設計規(guī)范》[3](以下簡稱公路橋規(guī))在附錄D中給出了后張梁預應力鋼筋考慮反摩阻效應時的錨固損失計算公式。文獻[2-3]中給出的相關(guān)公式均基于若干簡化假設條件。設計預應力混凝土梁時，盡量準確、合理計算預應力鋼筋的錨固損失，對于保證結(jié)構(gòu)具有足夠的抗裂性能尤其重要。

近年來，眾多學者在后張梁預應力鋼筋的錨固損失計算方面開展了大量研究工作。文獻[4]針對橋梁設計中采用較多的由直線段和圓弧段間隔布置的預應力鋼筋(鋼束)線型，推導了考慮反摩阻作用的錨固損失簡化計算公式，并討論了減小錨固損失和摩阻損失的途徑，提出在一定條件下采用單端張拉比兩端張拉更有利于減小預應力損失。文獻[5]將預應力鋼筋的有效預應力沿全長按分段線性分布考慮，導出計算錨固損失的分段線性化近似公式，有助于簡化復雜線型預應力鋼筋的錨固損失計算。文獻[6]從張拉預應力鋼筋時的摩阻損失計算公式出發(fā)，推導了考慮反摩阻作用的錨固損失計算公式和反摩阻影響長度計算公式，并給出了預應力鋼筋按二次拋物線布置時的處理方法。文獻[7]介紹了一種考慮反摩阻作用的錨固損失簡化計算方法，無論預應力鋼筋按何種線型布置，均近似認為預應力鋼筋張拉時摩阻損失在張拉端和錨固端之間的構(gòu)件長度范圍內(nèi)按同一斜率呈直線型分布，并假設張拉時的摩阻作用與錨固時的反摩阻作用完全相同。這種簡化計算方法正是公路橋規(guī)中推薦的錨固損失計算方法。文獻[8]采用相同的簡化方法，推導出當反摩阻影響長度大于張拉端至錨固端之間構(gòu)件長度時反摩阻影響長度計算公式，可減小通過試算途徑確定反摩阻影響長度時的工作量。文獻[9]通過分析預應力鋼筋微段的平衡，推導了預應力鋼筋全長按圓弧線型布置時的錨固損失精確計算公式。文獻[10]基于相同的思路，提出了由直線段和圓弧段任意組合線型布置鋼束的錨固損失計算方法，并給出了相應公式。文獻[11-12]提出在有限元數(shù)值分析中模擬錨固損失和摩阻損失的處理方法。文獻[13]介紹了一種估算錨固損失的近似方法。文獻[14]提出一種操作簡便的豎向預應力鋼筋錨固損失測量方法。

本文在理論分析基礎上，指出鐵路橋規(guī)中附錄D給出的預應力鋼筋反向摩阻計算公式與第7.3.4條給出的預應力鋼筋張拉時摩阻損失計算公式之間的不協(xié)調(diào)，并提出改進建議。針對實踐中廣泛采用的預應力鋼筋布置線型，推導錨固損失的精確計算公式，并揭示預應力鋼筋張拉時摩阻作用與錨固時反摩阻作用的不同分布規(guī)律。

1 鐵路橋規(guī)中的簡化計算方法

現(xiàn)行鐵路橋規(guī)在附錄D中列出了后張梁預應力鋼筋反向摩阻計算規(guī)定[2]。兩端張拉且左右對稱布置的預應力鋼筋(鋼束)如圖1(a)所示，僅畫出左半部分。端部AB段為斜直線，BC段為圓弧線，半徑為r，CD段為水平線。圖1(b)為鋼束錨固前和錨固后的應力分布曲線示意圖(以鋼束不動點F位于圓弧段時為例)，圖中A′B′C′D′為錨固前的應力分布，它與過A′點的水平虛線(對應的應力為錨下控制應力σcon)之間的差值即為摩阻損失σL1，A″B″F′C′D′為錨固后的有效預應力分布。曲線A′B′F′與A″B″F′之間的差值即為錨固損失σL2。與上述兩條應力分布曲線交點F′對應的F點即為鋼束的不動點，AF為反摩阻影響長度，其水平投影長度用lm表示，圓弧段BF對應的圓心角用θm表示。為了簡化計算，將鋼束錨固前、后的應力分布曲線分別用折線A′B′C′D′和A″B″F′C′D′近似代替，并假設A′B′F′與A″B″F′對稱于水平線F′F″。鋼束上任一計算點至端部A的水平距離用x表示，鋼束線型分界點B和C至端部A的水平距離分別用x1和x2表示。

(a)鋼束線型簡圖

(b)鋼束應力分布圖1 現(xiàn)行鐵路橋規(guī)中的鋼束簡圖及應力分布

預應力鋼筋錨固時，錨具變形和鋼筋回縮量Δl應等于反摩阻影響長度內(nèi)鋼筋各微段回縮變形之和，可將該變形協(xié)調(diào)條件近似表示為

( 1 )

式中：Ep為預應力鋼筋彈性模量。由于式( 1 )右端結(jié)果就是五邊形A′B′F′B″A″的面積，故由圖1(b)可知

( 2 )

( 3 )

( 4 )

式中：μ為鋼束與孔道壁之間的摩擦系數(shù)；k為孔道局部偏差影響系數(shù)，其余符號意義參考圖1。

將式( 2 )代入式( 1 )，可求得

( 5 )

由圖1(b)可以看出，當鋼束錨固后，端部的有效預應力σ0及距端部水平距離為x處的有效預應力σx計算公式分別為

( 6 )

當0≤x≤x1時

σx=σ0+σL1(x)=σ0+σconkx

( 7 )

當x1

( 8 )

( 9 )

當0≤x≤x1時

(10)

當x1

(11)

預應力鋼筋錨固完畢后，由于混凝土彈性壓縮引起的應力損失已經(jīng)發(fā)生，此時有效預應力應在式( 7 )、式( 8 )的基礎上扣除混凝土彈性壓縮損失σL4，這樣就得到鐵路橋規(guī)附錄D中給出的當鋼束不動點位于圓弧段上時預應力鋼筋距端部水平距離為x處的有效預應力σx計算公式。

鐵路橋規(guī)附錄D中給出的有效預應力σx公式中，已將錨固損失σL2和張拉時的摩阻損失σL1扣除(將摩阻損失σL1按照分段線性分布近似扣除)，這是應用鐵路橋規(guī)附錄D中有效預應力公式時容易忽視的地方，也是與鐵路橋規(guī)第7.3.4條中預應力鋼筋張拉時摩阻損失計算公式不協(xié)調(diào)的地方，因為第7.3.4條已明確給出預應力鋼筋張拉時摩阻損失計算公式(7.3.4-1)，即按照指數(shù)函數(shù)表達式計算。此外，若為了考慮預應力鋼筋錨固時所受反摩阻作用而按式( 7 )、式( 8 )計算有效預應力，還將產(chǎn)生以下兩個問題：一是第7.3.4條中規(guī)定的預應力鋼筋張拉摩阻損失計算公式(7.3.4-1)沒有應用的機會；二是不便于計算錨固損失的具體數(shù)值。若通過在錨下控制應力σcon中減去按式( 7 )、式( 8 )計算的有效預應力σx這一途徑計算錨固損失σL2，則將導致嚴重錯誤，因為這樣計算得到的結(jié)果是錨固損失σL2與近似按線性分布公式計算的摩阻損失σL1之和。

綜上，現(xiàn)行鐵路橋規(guī)在附錄D中給出的有效預應力公式存在弊端，建議直接給出錨固損失的計算公式，以便于應用。本文明確給出了鋼束不動點位于圓弧段上時的錨固損失計算式( 9 )～式(11)，鋼束不動點位于端部直線段或中部水平段上時的錨固損失公式也可導出，限于篇幅不再列出。

2 錨固損失的精確分析

仍以兩端張拉且左右對稱布置的預應力鋼筋為例進行分析。如圖2(a)所示，端部AB段為斜直線，長度為sz；BC段為圓弧線，長度為sc，對應的圓心角為α，半徑為r；中部CD段為水平線。采用沿鋼束長度的曲線坐標描述計算點位置，為了方便，在每一段上設置局部坐標si(i=1, 2, 3)，原點位于每段的起始端處。整體坐標s的原點位于端部A處。圖2(b)為鋼束錨固前和錨固后的應力分布曲線示意(鋼束的不動點F位于圓弧段上)，為了更具一般性，圖2(b)中繪制的曲線A′B′F′與A″B″F′并不具有關(guān)于水平線F′F″的對稱性，這與鐵路橋規(guī)和已有文獻中常用的近似處理方法不同。

(a)鋼束線型簡圖

(b)鋼束應力分布曲線圖2 鋼束線型及應力分布曲線

為了分析鋼束錨固后所受反摩阻作用，在鋼束曲線段上G點處(圓弧段BG的圓心角為θ)取出微段ds2，對應的圓心角為dθ。圖3為分析微段反摩阻作用的受力簡圖，圖3微段所受反摩阻力dF由兩部分組成，即由于孔道彎曲和孔道設計位置偏差引起的摩阻力。dF可表示為[1]

dF=N(μ·dθ+k·ds2)

(12)

式中：N為鋼束中的拉力。

圖3 鋼束微段受力簡圖

由微段的切向平衡條件可知，dF=dN，代入式(12)可得

(13)

式中：σ為鋼束中的拉應力，它與鋼束拉力N的關(guān)系為N=Ap·σ，Ap為鋼束截面積。

對式(13)兩邊積分，可得

μθ+ks2=lnσ+C

(14)

式中：C為積分常數(shù)，可由邊界條件確定。

σ=σcon-σL1(s2)-σL2(s2)=σcone-(μθ+ks2+ksz)-σL2(s2)

(15)

可求得圓弧段上任一點處的錨固損失σL2(s2)為

(16)

同理，在鋼束端部直線段上任一點處取微段ds1，采用同樣的推演過程，可得鋼束端部直線段上任一點處的錨固損失σL2(s1)為

(17)

(18)

在式(18)中令s2=sf，θ=θf(sf和θf分別為鋼束不動點F至圓弧段起始端B的曲線長度及相應圓心角，sf=rθf)，即得鋼束不動點F處的錨固損失，再利用該錨固損失為0的條件，可將式(17)和式(18)改寫為

σL2(s1)=σconeks1[e-2ks1-e-2(μθf+ksf+ksz)]

(19)

σL2(s2)=σconeμθ+ks2+ksz·[e-2(μθ+ks2+ksz)-e-2(μθf+ksf+ksz)]

(20)

式(19)和式(20)為鋼束不動點位于圓弧段上時的錨固損失計算公式，其中只包含了一個未知量sf。由于在推演過程中未采用任何假設，因此它們是精確公式。

由鋼束的變形協(xié)調(diào)條件可知

(21)

將式(19)和式(20)代入式(21)，可求得

(22)

式中

(23)

(24)

在式(22)中令sz=0，得鋼束只按圓弧線布置時的反摩阻影響長度lm為

(25)

這正是文獻[9]導出的公式，即文獻[9]中的公式是本文公式的特例。

同理，可推導出當鋼束不動點位于端部直線段和中部水平線上時的錨固損失計算公式及不動點位置計算公式，因篇幅所限不再列出。

鋼束張拉時所受的摩阻作用表現(xiàn)為摩阻損失，端部直線段和圓弧段上任一點處的摩阻損失可分別表示為

σL1(s1)=σcon(1-e-ks1)=σcone-ks1(eks1-1)

(26)

σL1(s2)=σcon[1-e-(μθ+ks2+ksz)]=σcone-(μθ+ks2+ksz)·(eμθ+ks2+ksz-1)

(27)

(28)

(29)

(30)

將式(19)、式(20)、式(26)、式(27)和式(30)代入式(28)和式(29)，可得反摩阻損失為

σLT(s1)=σcone-2(μθf+ksf+ksz)(eks1-1)

(31)

σLT(s2)=σcone-2(μθf+ksf+ksz)(eμθ+ks2+ksz-1)

(32)

比較式(26)、式(27)與式(31)、式(32)可知，反摩阻損失小于摩阻損失，即圖2(b)中的曲線A′B′F′與A″B″F′不關(guān)于水平線F′F″對稱，曲線A″B″F′比A′B′F′更靠近水平線F′F″。當鋼束不動點位于端部直線段或中部直線段上時，亦有相同的結(jié)論。目前許多文獻在計算錨固損失時假定摩阻作用與反摩阻作用完全相同，這顯然是不符合實際的。

將本文提出的錨固損失精確計算方法與鐵路橋規(guī)中的簡化計算方法對比，鐵路橋規(guī)中錨固損失計算方法的不合理性和近似性主要表現(xiàn)在以下方面：

(1)忽略鋼束錨固后的反摩阻作用小于張拉時的摩阻作用這一規(guī)律，認為摩阻作用與反摩阻作用完全相同。

(2)鐵路橋規(guī)中將鋼束錨固前和錨固后實際按指數(shù)函數(shù)分布的應力曲線近似用折線代替。

(3)無論鋼束曲線的彎曲程度如何， 一律用沿梁軸方向的鋼束投影長度代替其實際長度，這在一定程度上影響到按鋼束變形協(xié)調(diào)條件計算不動點位置時的準確性，使錨固損失計算結(jié)果為近似值。

Wu等[12]選擇自制的季銨鹽作為表面活性劑，以二水鉬酸鈉和氨基硫脲分別作為鉬源和硫源，以乙醇水溶液作為介質(zhì)，通過表面活性劑促助法制備出直徑為0.5～2 μm的MoS2納米實心微球，研究表明，適量表面活性劑的存在能夠使球狀產(chǎn)物不產(chǎn)生團聚，且結(jié)構(gòu)更為穩(wěn)定。

3 數(shù)值算例及分析

作為數(shù)值算例，對小凌河特大橋32 m預應力混凝土簡支箱梁N4和N6鋼束的錨固損失進行計算比較。鋼束線型按端部斜直線+圓弧線+水平直線+圓弧線+端部斜直線布置，左右對稱，鋼束左半段如圖4所示[6]。

(a)N4鋼束

(b)N6鋼束圖4 鋼束布置簡圖(單位：m)

鋼束采用兩端張拉方案，錨下控制應力σcon=1 250 MPa，錨具變形及鋼筋回縮值Δl=6.8 mm，摩擦系數(shù)μ=0.265，孔道局部偏差影響系數(shù)k=0.003。分別按本文提出的精確計算方法及鐵路橋規(guī)和公路橋規(guī)中的簡化計算方法對鋼束錨固損失進行計算，表1列出按3種方法計算的不動點位置lf(沿梁軸方向度量的反摩阻影響長度)及3個計算點處的錨固損失計算結(jié)果。表1中鋼束的3個計算點用A、B、C表示，分別代表鋼束端部、端部斜直線與圓弧線交點處及圓弧線與中部水平線交點處，相應錨固損失分別用σL2(A)、σL2(B)、σL2(C)表示。

表1 按不同方法計算的結(jié)果比較

注：1.表中的lf表示鋼束不動點至端部的水平距離，即沿梁軸方向度量的反摩阻影響長度；2.相對誤差=(橋規(guī)計算值-本文方法計算值)/本文方法計算值×100%。

由表1可以看出，總體而言，按公路橋規(guī)計算的結(jié)果誤差較大，而鐵路橋規(guī)計算值誤差相對較小。與精確方法的計算結(jié)果相比，按鐵路橋規(guī)求得的反摩阻影響長度偏小，相對誤差一般在10%左右，而按公路橋規(guī)求得的反摩阻影響長度明顯偏大，N4鋼束的偏差值已超過50%。按鐵路橋規(guī)計算的鋼束端部及斜直線與圓弧線交點處的錨固損失均大于精確值，N4鋼束約超出8%，N6鋼束約超出12%(鋼束不動點附近除外)；按公路橋規(guī)計算的錨固損失均小于精確值，尤其是按公路橋規(guī)計算的N6鋼束在斜直線與圓弧線交點處的錨固損失相對誤差達到了37.3%。顯然，按公路橋規(guī)計算錨固損失將導致較大偏差，不適用于實際橋梁設計，尤其在對預應力混凝土梁進行抗裂性驗算時會帶來較大隱患。

(a)N4鋼束

(b)N6鋼束圖5 鋼束的錨固損失分布

為了更加直觀地顯示按3種方法計算的錨固損失之間的差別，圖5給出了鋼束端部11 m范圍內(nèi)(水平投影長度)的錨固損失分布曲線。圖5中描述鋼束計算點位置的橫坐標已統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為梁軸方向的投影坐標。由圖5可以看出，按鐵路橋規(guī)簡化計算方法和本文精確方法計算的鋼束錨固損失分布曲線較接近，即，按鐵路橋規(guī)分段線性表達的簡化式(10)、式(11)計算結(jié)果能夠近似代表按指數(shù)函數(shù)表達的錨固損失精確式(19)、式(20)計算結(jié)果，而且在錨固損失較大的端部區(qū)域，由于前者大于后者，在實踐中應用是可行的。這也說明了在計算錨固損失時，將指數(shù)函數(shù)展開成級數(shù)，取前兩項不會引起太大誤差。在距離鋼束不動點位置較小的區(qū)段內(nèi)，鐵路橋規(guī)計算結(jié)果與精確方法計算結(jié)果已非常接近。

由圖5還可以看出，在鋼束端部附近區(qū)段內(nèi)，按公路橋規(guī)中錨固損失簡化計算方法求得的結(jié)果比精確值小，而在鋼束圓弧段與中部水平段交點附近區(qū)段內(nèi)，按公路橋規(guī)簡化計算方法求得的結(jié)果比精確值大，可見，按公路橋規(guī)計算的錨固損失失真嚴重。

(a)N4鋼束

(b)N6鋼束圖6 鋼束錨固前后的有效預應力分布

圖6為按本文精確方法計算的鋼束錨固前后有效預應力分布曲線。由圖6可以看出，在反摩阻影響長度范圍內(nèi)，錨固前的有效預應力σy1曲線與錨固后的有效預應力σy2曲線關(guān)于水平虛線不對稱，σy2曲線比σy1曲線更靠近水平虛線，但總體上不對稱性不明顯，兩組鋼束中N6鋼束的不對稱性稍大些。這說明在反摩阻影響長度范圍內(nèi)，雖然反摩阻作用小于摩阻作用，但從簡化計算角度考慮，近似認為摩阻作用與反摩阻作用相同不會引起太大誤差。

從圖6還可以看出，由于在反摩阻影響長度內(nèi)兩條有效預應力曲線之間的差值即為錨固損失，簡化計算中，若將σy2曲線近似用σy1曲線關(guān)于水平虛線的對稱曲線代替，將會使求得的錨固損失大于實際值。這也是按現(xiàn)行鐵路橋規(guī)簡化計算方法求得的錨固損失近似值一般大于精確值的原因。為了提高鐵路橋規(guī)簡化計算方法的精度，可將按鐵路橋規(guī)計算的錨固損失結(jié)果乘以小于1的修正系數(shù)，并考慮鋼束實際線型的影響。修正系數(shù)的取值尚需進一步研究。

4 結(jié)論

(1)在理論分析基礎上，指出了現(xiàn)行鐵路橋規(guī)中預應力鋼筋反向摩阻計算公式與張拉時摩阻損失計算公式之間的不協(xié)調(diào)性和應用時的弊端。作為對現(xiàn)行鐵路橋規(guī)中反摩阻計算公式的改進建議，明確給出了鋼束錨固損失的實用簡化計算公式，建議納入現(xiàn)行鐵路橋規(guī)附錄D中。

(2)推導了后張法預應力混凝土梁鋼束錨固損失的精確計算公式，在此基礎上，分析預應力鋼筋張拉時摩阻作用與錨固時反摩阻作用之間的差別，得出反摩阻作用小于摩阻作用的結(jié)論。

(3)現(xiàn)行鐵路橋規(guī)中的反向摩阻簡化計算公式具有較好的計算精度，現(xiàn)行公路橋規(guī)中的計算公式不能客觀反映鋼束錨固損失的實際情況。設計公路橋梁時，建議參照現(xiàn)行鐵路橋規(guī)計算鋼束的錨固損失。

(4)對進一步改進現(xiàn)行鐵路橋規(guī)中的反向摩阻計算方法提出建議。對由于忽略反摩阻作用與摩阻作用之間差別而引起的錨固損失計算值偏大的問題，提出了通過引入小于1的修正系數(shù)的解決方案。

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