趙 斌，周 軍

(西北工業(yè)大學(xué)精確制導(dǎo)與控制研究所，西安 710072)

0 引 言

目前，戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈常采用慣性穩(wěn)定導(dǎo)引頭結(jié)合比例導(dǎo)引規(guī)律實(shí)現(xiàn)精確制導(dǎo)[1]。此類導(dǎo)引頭需要高性能的萬向支架以實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的穩(wěn)定跟蹤，其造價(jià)高、系統(tǒng)復(fù)雜。隨著制導(dǎo)武器小型化、低成本化的發(fā)展，將探測器件與彈體固聯(lián)安裝的一類捷聯(lián)導(dǎo)引頭已成為目前的研究熱點(diǎn)[2-3]，其能夠簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，提高可靠性并且降低成本。然而，由于探測器光軸不再與彈體運(yùn)動(dòng)隔離，因此比例導(dǎo)引所需的角速率信息不再能夠直接測量得到，在開展制導(dǎo)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)往往需要進(jìn)行額外的捷聯(lián)解耦[4-5]。

針對大氣層內(nèi)目標(biāo)精確打擊時(shí)，戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈通過調(diào)整姿態(tài)建立攻角以實(shí)現(xiàn)法向過載的跟蹤。對于全捷聯(lián)導(dǎo)引體制而言，較大的姿態(tài)調(diào)整容易導(dǎo)致目標(biāo)脫離導(dǎo)引頭視場，尤其是在末制導(dǎo)階段，隨著彈目相對距離的不斷接近，這種潛在問題更加突出[1]。

當(dāng)前已有學(xué)者針對視場角約束下的制導(dǎo)控制問題開展研究，分別基于比例導(dǎo)引[6-8]、最優(yōu)控制[9-10]、變結(jié)構(gòu)控制[11-12]等給出了解決方案。

在比例導(dǎo)引方法中，文獻(xiàn)[6]采用帶有時(shí)變偏置項(xiàng)的比例導(dǎo)引法實(shí)現(xiàn)了制導(dǎo)全過程的視場角約束，其只能用于攻擊地面固定目標(biāo)，并且所引入的制導(dǎo)切換邏輯會(huì)引起制導(dǎo)指令跳變，不利于系統(tǒng)工作；文獻(xiàn)[7]提出一種采用不同導(dǎo)航比的兩階段真比例導(dǎo)引方法，并解析證明了其可以同時(shí)滿足視場角約束和終端角約束條件，這種方法同樣僅用于攻擊靜止目標(biāo)；為了有效應(yīng)對運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)了一種制導(dǎo)指令同時(shí)與視線角速率和視線角成比例的終端角度約束制導(dǎo)律，給出了視場角的近似解析表達(dá)式，據(jù)此可以選擇導(dǎo)引參數(shù)以滿足視場角約束條件。

最優(yōu)控制同樣被用于解決此問題，文獻(xiàn)[9]通過將視場角范圍作為不等式約束條件引入最優(yōu)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)過程中，設(shè)計(jì)了能夠同時(shí)滿足終端角度和視場角約束的導(dǎo)引律，實(shí)現(xiàn)了對靜止目標(biāo)的精確打擊；文獻(xiàn)[10]基于線性最優(yōu)控制方法提出了視場角約束導(dǎo)引律，該方法可實(shí)現(xiàn)對機(jī)動(dòng)目標(biāo)的精確打擊。

視場角約束是典型的狀態(tài)約束問題，因此考慮狀態(tài)約束[11]的變結(jié)構(gòu)控制也被用于解決此問題。文獻(xiàn)[12]基于時(shí)變滑模和積分型障礙Lyapunov函數(shù)設(shè)計(jì)了新型制導(dǎo)方法，同時(shí)滿足了視場角約束和攻擊角約束，其假設(shè)自動(dòng)駕駛儀理想工作；文獻(xiàn)[13]將自動(dòng)駕駛儀建模為帶有有界不確定的一階慣性環(huán)節(jié)處理，基于動(dòng)態(tài)面控制結(jié)合積分型障礙Lyapunov函數(shù)設(shè)計(jì)了視場角約束制導(dǎo)律，然而其僅適合靜止目標(biāo)。

以上各種方法中視場角都定義為彈體速度方向和彈目視線方向的夾角，其前提是假設(shè)導(dǎo)彈飛行攻角近似為零，忽略導(dǎo)彈的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)。而實(shí)際大氣層內(nèi)的全捷聯(lián)導(dǎo)彈主要通過調(diào)整彈體姿態(tài)建立攻角以實(shí)現(xiàn)法向過載的跟蹤，在打擊運(yùn)動(dòng)目標(biāo)時(shí)，攻角為零的假設(shè)是不合理的。

捷聯(lián)導(dǎo)引頭的固有屬性是測量相對導(dǎo)彈本體的體視線角信息[1]，其兼具彈目相對運(yùn)動(dòng)與姿態(tài)運(yùn)動(dòng)信息。因此，為了確保該角度在制導(dǎo)控制過程中始終滿足導(dǎo)引頭視場角約束，采用導(dǎo)引與控制一體化設(shè)計(jì)是一種自然而然的方案。

現(xiàn)有導(dǎo)引與控制一體化設(shè)計(jì)方法[14-18]都沒有考慮導(dǎo)引頭視場角約束問題，而針對視場角約束問題的研究大都集中于制導(dǎo)律設(shè)計(jì)[6-12]中。本文以全捷聯(lián)導(dǎo)彈攻擊運(yùn)動(dòng)目標(biāo)為背景，提出了一種考慮捷聯(lián)視場角約束的導(dǎo)引與控制一體化設(shè)計(jì)方法。首先，建立了考慮視場角約束的導(dǎo)引與控制一體化設(shè)計(jì)模型；其次，基于積分型障礙Lyapunov函數(shù)[16]結(jié)合動(dòng)態(tài)面方法設(shè)計(jì)了一體化導(dǎo)引控制律，解決了視場角約束問題；針對目標(biāo)未知機(jī)動(dòng)引起的系統(tǒng)不確定性，采用了一種估計(jì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度上界平方的自適應(yīng)律[19]，避免引入符號(hào)項(xiàng)，解決了非光滑問題；最終基于Lyapunov穩(wěn)定理論證明了整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和有界收斂特性。

1 數(shù)學(xué)建模

將目標(biāo)視為質(zhì)點(diǎn)，考慮導(dǎo)彈的姿態(tài)和速度方向，給出縱向平面中彈-目相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。

其中，XOY為慣性坐標(biāo)系；M,T分別代表導(dǎo)彈和目標(biāo)；AM,AT分別為導(dǎo)彈與目標(biāo)的加速度，其方向分別與導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度VM,VT方向垂直；R為彈目相對距離；qL為慣性系視線角；θM,θT分別為導(dǎo)彈與目標(biāo)的航跡角；Mxb為彈體縱軸方向，由此得到?為彈體俯仰角，qBL為相對彈體系的體視線高低角。

1.1 相關(guān)假設(shè)

不失一般性，本文在進(jìn)行捷聯(lián)導(dǎo)引與控制一體化建模與系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)引入如下假設(shè)：

假設(shè)1. 在短暫的末制導(dǎo)過程中，假設(shè)導(dǎo)彈與目標(biāo)速度大小不變；

假設(shè)2. 目標(biāo)加速度及其微分大小是有界的；

1.2 捷聯(lián)導(dǎo)引與控制一體化設(shè)計(jì)建模

根據(jù)圖1可以建立起考慮體視線約束的捷聯(lián)導(dǎo)引與控制一體化設(shè)計(jì)模型，其主要由彈目相對運(yùn)動(dòng)模型、彈體姿態(tài)控制模型及全捷聯(lián)導(dǎo)引頭解耦模型等三個(gè)模型構(gòu)成。

1) 二維非線性彈目相對運(yùn)動(dòng)模型[19]

(1)

對于軸對稱戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈而言，彈體縱向加速度可以通過氣動(dòng)力系數(shù)近似表示如下：

(2)

根據(jù)式(1)和(2)可知：

(3)

2) 縱向目平面線性化姿態(tài)控制模型[20]

(4)

通常戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈的末制導(dǎo)階段是無動(dòng)力飛行，即P=0。定義如下模型參數(shù)：

由此可對式(4)進(jìn)行簡化：

(5)

3) 全捷聯(lián)導(dǎo)引頭解耦模型

從圖1可知，彈體俯仰角、體視線高低角和慣性系視線高低角滿足如下關(guān)系：

qBL=qL-?

(6)

對其求取微分可得：

(7)

其中，Δqbl=-ωz。

通常穩(wěn)定飛行的戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈，其攻角、舵偏角及角速率都是有界的，并且氣動(dòng)不確定也是有界的，結(jié)合假設(shè)1和假設(shè)2可知：

|Δqbl|≤d1,|Δql|≤d2,|Δα|≤d3,|Δω|≤d4

(8)

(9)

本文的設(shè)計(jì)目標(biāo)是設(shè)計(jì)一體化制導(dǎo)控制規(guī)律u，使得系統(tǒng)(9)在不確定性(8)作用下漸進(jìn)穩(wěn)定收斂，同時(shí)系統(tǒng)體視線角狀態(tài)滿足物理視場角Q的約束：

|x1|

(10)

2 捷聯(lián)導(dǎo)引與控制一體化設(shè)計(jì)

2.1 相關(guān)引理

引理1[16]. 定義積分障礙Lyapunov函數(shù)(iBLF)

(11)

其中，z=x-xd為跟蹤誤差，|x|

1) 如果狀態(tài)滿足|x|

(12)

2) Lyapunov函數(shù)V(z,xd)對xd的偏導(dǎo)數(shù)如下：

(13)

(14)

引理3[22]. 對于正數(shù)kc，令χ:={x∈R:|x|≤kc,t≥0}與N:=Rl×χ?Rl+1均為開集合，考慮系統(tǒng)

V→∞，當(dāng)|x|→kc時(shí)

式中，γ1,γ2均為K∞類函數(shù)，令W(η):=V+U(ω)且x(0)∈χ，如果不等式滿足

式中，L,D>0，則x∈χ且ω有界。

2.2 捷聯(lián)導(dǎo)引與控制一體化設(shè)計(jì)

基于動(dòng)態(tài)面控制，捷聯(lián)導(dǎo)引與控制一體化設(shè)計(jì)步驟如下：

1)設(shè)計(jì)x2的虛擬控制律

定義誤差變量s1=x1-x1d,x1d=0，結(jié)合式(9)可知微分如下：

(15)

以x2作為虛擬控制量，設(shè)計(jì)x2c為

(16)

(17)

為了避免虛擬控制微分膨脹，引入一階濾波器獲取新的變量x2d

(18)

2)設(shè)計(jì)x3的虛擬控制律

定義新的誤差變量為s2=x2-x2d，結(jié)合式(9)可知微分如下：

(19)

以x3作為虛擬控制量，設(shè)計(jì)x3c為

(20)

(21)

同樣引入一階濾波器獲取新的變量x3d

(22)

3)設(shè)計(jì)x4的虛擬控制律

定義新的誤差變量為s3=x3-x3d，結(jié)合式(9)可知微分如下：

(23)

以x4作為虛擬控制量，設(shè)計(jì)x4c為

(24)

(25)

同樣引入一階濾波器獲取新的變量x4d

(26)

4)設(shè)計(jì)一體化制導(dǎo)控制規(guī)律u

定義新的誤差變量為s4=x4-x4d，結(jié)合式(9)可知微分如下：

(27)

由此可以設(shè)計(jì)控制律u為

(28)

(29)

定義推導(dǎo)過程的邊界層誤差變量為

yi=xid-xic,i=2,3,4

(30)

將式(18)、(22)、(26)代入(30)并結(jié)合假設(shè)3可知

(31)

根據(jù)引理2可知：

(32)

定義自適應(yīng)律的估計(jì)偏差如下

(33)

可知估計(jì)誤差導(dǎo)數(shù)為

(34)

根據(jù)式(15)和(30)可知：

(35)

同理可得：

(36)

將式(16)～(29)代入式(35)和式(36)，可得：

(37)

2.3 穩(wěn)定性分析

定理1. 對于捷聯(lián)導(dǎo)引與控制一體化系統(tǒng)(9)，采用控制器(28)，如果系統(tǒng)初始體視線角滿足|x1(0)|

1)系統(tǒng)4個(gè)狀態(tài)的跟蹤誤差最終穩(wěn)定收斂至有界集合內(nèi)；

2)受限狀態(tài)x1始終滿足體視線約束|x1|

3)閉環(huán)系統(tǒng)所有信息均一致有界。

證. 為了確保體視線高低角滿足式(10)的約束，設(shè)計(jì)積分型障Lyapunov函數(shù)如下：

V=V1+V2+V3+V4

(38)

其中，各個(gè)變量定義如下：

(39)

(40)

(41)

(42)

根據(jù)引理1對式(38)求導(dǎo)可得：

(43)

分別將式(31)、(34)和(37)代入上式得到：

(44)

Δqbls1≤d1|s1|,Δqls2≤d2|s2|Δαs3≤d3|s3|,Δωs4≤d4|s4|

(45)

根據(jù)引理2可知：

(46)

同時(shí)還能得到：

(47)

將式(45)～(47)代入式(44)可得如下不等式成立：

(48)

根據(jù)式(12)可知：

(49)

選擇參數(shù)L,D>0，使得：

(50)

則可得如下不等式成立：

(51)

對式(50)進(jìn)行積分可得：

(52)

1) 對于戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈的末制導(dǎo)而言，其目標(biāo)必然處于導(dǎo)引頭視場范圍內(nèi)，因此自然滿足|x1(0)|

(53)

因此根據(jù)式(52)容易得到：

(54)

3) 根據(jù)結(jié)論1～2及引理3可知，系統(tǒng)狀態(tài)、跟蹤誤差有界；在此基礎(chǔ)上根據(jù)式(16)、(20)、(24)和(28)可知所有虛擬控制量及一體化導(dǎo)引控制規(guī)律都是有界的，即閉環(huán)系統(tǒng)所有信息均一致有界。

注1. 對于紅外或激光半主動(dòng)等導(dǎo)引頭而言，通常導(dǎo)引頭存在一定的盲區(qū)，即當(dāng)彈目相對距離小于一定數(shù)值時(shí)導(dǎo)引頭輸出信息無效，此后導(dǎo)彈通常采用慣性飛行直至命中目標(biāo)，對于激光半主動(dòng)導(dǎo)引頭而言其盲區(qū)實(shí)測結(jié)果通常約為10～40 m，由此可知式(50)中與相對距離R相關(guān)的k2,τ2不存在奇異問題；

注2. 本文使用的自適應(yīng)律用于對未知干擾上界的平方進(jìn)行估計(jì)(式(17)、(21)、(25))，由此綜合得到了光滑的虛擬控制規(guī)律(式(16)、(20)、(24))及最終的一體化導(dǎo)引控制規(guī)律(式(28))。

3 仿真校驗(yàn)

以某型捷聯(lián)導(dǎo)彈為例進(jìn)行仿真校驗(yàn)，導(dǎo)彈的相關(guān)參數(shù)如表1所示；算法的相關(guān)控制參數(shù)見表2。

以正弦機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行仿真驗(yàn)證，目標(biāo)加速度特性設(shè)置為At=20sin(2πt) m/s2。彈目初始的仿真場景設(shè)置如表3所示。

表1 導(dǎo)彈參數(shù)Table 1 The missile parameters

表2 控制參數(shù)Table 2 Parameters used in the control algorithm

表3 初始仿真場景Table 4 Initial Simulation Scenario

選擇不同的視場角約束(分別是8°、8.5°和9°)，仿真結(jié)果如圖2～5及表4所示。

表4 仿真結(jié)果Table 4 Simulation results

結(jié)合圖2和表3第二列數(shù)據(jù)可以看出，在文中設(shè)置的場景下，三種視場角約束條件均能滿足，因而符合文中定理1的結(jié)論2；從圖3的局部可以看出，視場角約束越嚴(yán)格，精確打擊末端的舵偏角越大，并且所得到的舵偏角光滑并且非奇異，這與式(28)的數(shù)學(xué)特性相一致；從圖4和圖5可知，本文所設(shè)計(jì)的一體化導(dǎo)引與控制系統(tǒng)中的虛擬控制量跟蹤誤差和動(dòng)態(tài)面設(shè)計(jì)過程中引入的邊界層誤差均快速收斂至零附近鄰域內(nèi)，這與定理1的結(jié)論3相一致。

為了說明本文方法的優(yōu)越性，基于傳統(tǒng)二次型Lyapunov函數(shù)推導(dǎo)了一體化導(dǎo)引與控制律，主要不同點(diǎn)在于式(16)、式(17)和式(39)，分別改寫如下：

(1) 以x2作為虛擬控制量，將x2c改寫為

(55)

(56)

(3) 將第一步的Lyapunov方程改寫為

(57)

將本文方法記為iBLF-IGC，傳統(tǒng)方法記為QLF-IGC，基于表1 的彈體參數(shù)和表2的控制參數(shù)進(jìn)行對比仿真，結(jié)果如圖6所示。從圖中可以看出，在視場角約束為±8°的條件下，傳統(tǒng)方法可以實(shí)現(xiàn)精確打擊，但其實(shí)際的體視線角不滿足約束條件，而本文所提方法則可以一直保證±8°視場約束。

4 結(jié) 論

針對捷聯(lián)導(dǎo)引體制帶來的探測—制導(dǎo)—控制耦合問題，本文結(jié)合積分型障礙Lyapunov函數(shù)和動(dòng)態(tài)面控制方法提出了一種考慮視場角約束的導(dǎo)引與控制一體化設(shè)計(jì)方法，通過某激光半主動(dòng)捷聯(lián)彈的仿真實(shí)例說明了該方法的有效性。

文中設(shè)計(jì)的自適應(yīng)律能夠?qū)崿F(xiàn)對目標(biāo)機(jī)動(dòng)引起的模型不確定性進(jìn)行自適應(yīng)估計(jì)，在此基礎(chǔ)上提出的一體化導(dǎo)引與控制規(guī)律能夠從理論上保證系統(tǒng)的有界穩(wěn)定特性，并且滿足體視線角狀態(tài)約束。以上方法對于解決非線性不確定嚴(yán)格反饋系統(tǒng)的狀態(tài)約束控制問題具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

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