吳喜橋，王 立

0 引言

永磁電機具有效率高、功率密度大、可靠性好等優(yōu)點[1-2]，廣泛用作各類高空飛行器中推進系統(tǒng)或伺服系統(tǒng)的核心部件。然而，制造過程中由于加工工藝和裝配技術(shù)的限制，電機在出廠前就可能存在不同程度的氣隙偏心。復(fù)雜惡劣環(huán)境下長時間運行，軸承磨損也會導(dǎo)致氣隙偏心發(fā)生[3-4]。氣隙偏心對電機的影響屬于不良性質(zhì)，在精密應(yīng)用場合有必要預(yù)先對這些不良影響進行研究。

氣隙偏心會影響電機的內(nèi)部磁場分布和動態(tài)特性[5-6]，尤其是徑向的不平衡磁拉力和切向的齒槽轉(zhuǎn)矩[7-8]，導(dǎo)致振動加劇和噪音、轉(zhuǎn)矩脈動的增大。根據(jù)研究內(nèi)容不同，可以將電機氣隙偏心研究領(lǐng)域的文獻分為2類：（a）在電機前期設(shè)計階段，采用解析法或有限元方法預(yù)測電機偏心狀態(tài)下的運行特性；（b）電機偏心故障下運行，通過檢測電流、電壓、磁場等特征信號，精確且無損地診斷偏心故障類型[9-11]。本文的研究內(nèi)容屬于（a）類。

目前查閱到的文獻中，直槽電機氣隙偏心的研究較多，但有關(guān)斜槽電機的研究極少，而斜槽是設(shè)計無刷直流電機時廣泛采用的、抑制齒槽轉(zhuǎn)矩的有效手段，因此有必要針對斜槽電機進行研究。本文針對氣隙偏心的定子斜槽表貼式稀土永磁無刷直流電機，基于多層分段思路[12-13]，采用一種由二維場分析數(shù)據(jù)合成三維場計算結(jié)果的算法，建立了電機的等效計算模型，研究了氣隙偏心對氣隙磁場分布和繞組元件感應(yīng)電勢的影響。

1 氣隙偏心分析

電機氣隙偏心可以分為兩種基本情況：靜態(tài)偏心、動態(tài)偏心，其他偏心類型都是這兩種情況的不同組合。電機偏心示意圖如圖1所示。為突出氣隙偏心的效果，轉(zhuǎn)子部分尺寸被縮小，而氣隙厚度以及偏心距離被夸大了。圖1中，Os為定子幾何中心；Or為轉(zhuǎn)子幾何中心；α為轉(zhuǎn)子偏心方向角度；θ為轉(zhuǎn)子位置角；e為偏心距離；g為氣隙長度；Rin為定子內(nèi)徑；rout為轉(zhuǎn)子外徑；xsys為以O(shè)s為原點的定子參考坐標系；xryr以O(shè)r為原點的定子參考坐標系。

圖1 電機偏心示意圖Fig.1 A sketch map of the eccentric motor

理想情況下，Os和Or重合，轉(zhuǎn)子圍繞自身幾何中心Or旋轉(zhuǎn)。電機發(fā)生偏心后，Os和Or不再重合，轉(zhuǎn)子仍然圍繞Or旋轉(zhuǎn)。動態(tài)偏心發(fā)生時，轉(zhuǎn)子圍繞Os旋轉(zhuǎn)，而靜態(tài)偏心發(fā)生時，轉(zhuǎn)子圍繞Or旋轉(zhuǎn)，氣隙長度不會因轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)而發(fā)生變化。本文針對靜態(tài)偏心展開研究。氣隙長度可以表示為

由式（1）可知：發(fā)生靜態(tài)偏心后，電機定、轉(zhuǎn)子之間所夾氣隙不再處處等厚?？紤]到磁通路徑中氣隙磁導(dǎo)率遠小于鐵心，與不偏心時的均勻氣隙處相比，偏心后氣隙變厚處的氣隙磁感應(yīng)強度會減小，而氣隙變薄處的氣隙磁感應(yīng)強度會增大。

用偏心率κ表征電機靜態(tài)偏心的程度：

其中，g0為理想情況下的均勻氣隙長度。

2 基于二維場的斜槽等效算法

傳統(tǒng)電機設(shè)計方法中的磁路法可以核算斜槽電機的性能，但誤差較大。為進一步提高計算精度，一般采用有限元方法?？紤]到斜槽結(jié)構(gòu)導(dǎo)致電機沿軸向截面存在差異，計算斜槽電機時不能直接采用建模容易且計算量小的二維有限元方法，往往只能采用建模復(fù)雜且計算量大的三維有限元方法。

為兼顧計算時長和計算精度，文獻[12，13]采用多層分段等效算法。該算法的思路是：將斜槽電機沿軸向分成若干段，每段用直槽電機代替，采用二維有限元方法計算直槽電機，最后將計算所得數(shù)據(jù)序列按照規(guī)律進行數(shù)值處理即可得到該斜槽電機的性能。該算法的計算精度能夠滿足一般工程需要，并具有二維場分析求解速度快的優(yōu)點。

不考慮端部磁場的影響，采用多層分段方法計算電磁力的相對誤差為：

同樣思路，計算感應(yīng)電勢的相對誤差為：

圖2 等效計算精度Fig.2 Computational accuracy of the equivalent algorithm

通過對比式（3）和（4）可知：多層分段方法計算電磁力和感應(yīng)電勢的相對誤差表達式是一致的，以下在描述計算精度時不再做區(qū)分；在諧波次數(shù)給定時，多層分段方法的計算精度不僅取決于分段數(shù)、斜槽角度、諧波次數(shù)，而且與截面位置、導(dǎo)體首端位置等變量相關(guān)。

當(dāng)且僅當(dāng)截面位置取在每段被等效斜導(dǎo)體的中點位置時，計算精度僅與斜槽角度、諧波次數(shù)和分段數(shù)有關(guān)。相對誤差的表達式可以簡化為：εk=kβ/(2n)/sin[kβ/(2n)]。

為分析影響多層分段等效算法計算精度的因素，針對樣機斜槽一個齒距角的情況，分段數(shù)依次取2～20段，計算1～20次諧波磁場內(nèi)的相對誤差，結(jié)果如圖2所示。

分析圖2中數(shù)據(jù)序列，可得如下結(jié)論：增加分段數(shù)能夠顯著改善任意次諧波磁場內(nèi)的等效計算精度；分段數(shù)相等時，等效算法在高次諧波磁場內(nèi)的計算精度明顯低于低次諧波磁場。

3 樣機的建模和計算

3.1 幾何研究域

樣機方案主要參數(shù)見表1，根據(jù)數(shù)據(jù)繪制的樣機定、轉(zhuǎn)子的徑向截面圖如圖3所示。其中，A、B、C表示三相繞組區(qū)域；+和-表示規(guī)定電流的正方向不同；N和S表示不同充磁方向的永磁體區(qū)域。定子采取二十四槽，每相繞組由四個元件串聯(lián)構(gòu)成。比如，A1+和A1-、A2+和A2-、A3+和A3-、A4+和A4-分別構(gòu)成A1、A2、A3、A4四個元件，它們依次串聯(lián)構(gòu)成A相繞組。因此，可以把二十四個槽分成I、II、III和IV四個組。轉(zhuǎn)子采用八個磁極，相鄰兩個磁極構(gòu)成一對，可以把八塊磁鋼分成四對。

表1 樣機主要參數(shù)Table 1 Main parameters of the model machine

圖3 樣機的幾何研究域Fig.3 Research physical region of model machine

3.2 氣隙偏心對磁場分布的影響

理想情況下的電機定、轉(zhuǎn)子中心完全重合，而靜態(tài)偏心發(fā)生后，轉(zhuǎn)子中心會偏離定子中心一定距離。理想情況下樣機的氣隙厚度為0.5 mm，轉(zhuǎn)子水平向右平移0.2 mm，使偏心率達到40%，以新的轉(zhuǎn)子中心作為旋轉(zhuǎn)中心，對樣機模型進行磁場仿真。

圖4 偏心對氣隙法向磁密的影響Fig.4 Effects of rotor eccentricity on normal flux density in air gap

氣隙中心位置附近的閉合路徑上，氣隙法向磁密的數(shù)據(jù)如圖4所示。定子坐標系下，圓周0°位置，偏心后氣隙厚度最小，僅為0.3 mm；圓周90°和270°位置，偏心后氣隙厚度變化不大；圓周180°位置，偏心后氣隙厚度最大，為0.7 mm。由圖4可知：（1）氣隙厚度變薄處，氣隙磁密增大。第一對磁極的N1附近，氣隙變薄幅度最大，磁密增強幅度也最大；（2）氣隙厚度變厚處，氣隙磁密減小。第三對磁極的N3附近，氣隙變厚幅度最大，磁密減弱幅度也最大；（3）第二對磁極的N3和第四對磁極的N4附近，氣隙厚度幾乎不變，氣隙磁密變化不明顯。

圖5 偏心對氣隙法向磁密諧波成分的影響Fig.5 Effects of rotor eccentricity on the harmonic components of normal flux density in air gap

以整個氣隙圓周路徑為周期，對氣隙法向磁密數(shù)據(jù)序列進行諧波分析，結(jié)果如圖5所示。高次諧波分量幅值極小，圖5中僅列出20次以內(nèi)諧波成分。由其中數(shù)據(jù)可知：（1）定、轉(zhuǎn)子中心理想重合時，氣隙法向磁密的分布以兩個極距為周期，在整個圓周路徑上分布有四個周期；（2）靜態(tài)偏心發(fā)生后，氣隙法向磁密的諧波成分發(fā)生改變，引入了幅值較小的低次諧波，導(dǎo)致氣隙法向磁密分布以整個圓周為周期。

3.3 氣隙偏心對感應(yīng)電勢的影響

采取恒速驅(qū)動方式使電機保持勻速轉(zhuǎn)動。三相繞組感應(yīng)電勢的變化規(guī)律相同，僅以A相繞組為例進行分析。斜槽前，電機旋轉(zhuǎn)一周，A相繞組的A1、A2、A3和A4四個元件的感應(yīng)電勢數(shù)據(jù)如圖6所示。由圖可知：（1）元件A1和A4的軸線位置靠近氣隙厚度變薄方向，感應(yīng)電勢較偏心前增大反映了所處位置氣隙磁密較偏心前增大；（2）相反地，元件A2和A3的軸線位置靠近氣隙厚度變厚方向，感應(yīng)電勢較偏心前減小則反映了所處位置氣隙磁密較偏心前減小。

斜槽前，A相繞組的感應(yīng)電勢如圖7所示。由其中波形可知：偏心對繞組感應(yīng)電勢的影響微弱。原因在于，與偏心前相比，雖然A相繞組的四個元件感應(yīng)電勢幅值變化的規(guī)律不同，但是它們串聯(lián)組成A相繞組后，增減量基本抵消。

以旋轉(zhuǎn)一周為周期，對A相繞組四個元件的感應(yīng)電勢進行諧波分析，數(shù)據(jù)如圖8所示。高次諧波分量的幅值極小，僅列舉50次以內(nèi)諧波數(shù)據(jù)。偏心前氣隙均勻，四個元件感應(yīng)電勢數(shù)據(jù)諧波成分一致，僅以元件A1數(shù)據(jù)為代表。由其中數(shù)據(jù)可知：偏心導(dǎo)致繞組各個元件感應(yīng)電勢各次諧波分量的幅值有增有減，但并未改變?nèi)魏卧袘?yīng)電勢的周期性，電機勻速旋轉(zhuǎn)一周，繞組每個元件的感應(yīng)電勢變化均經(jīng)歷四個周期。

圖6 斜槽前繞組元件的感應(yīng)電勢Fig.6 Induced electromotive forces of winding elements in straight slot motor

圖7 斜槽前繞組的感應(yīng)電勢Fig.7 Induced electromotive forces of one phase winding in straight slot motor

圖8 斜槽前繞組元件感應(yīng)電勢的諧波成分Fig.8 Harmonic components of induced electromotive forces of one phase winding in straight slot motor

采用多層分段方法等效計算斜槽電機繞組各元件的感應(yīng)電勢，A相繞組四個元件的數(shù)據(jù)如圖9所示。由圖9可知：（1）無論是否偏心，斜槽后每個元件的感應(yīng)電勢波形均接近光滑的平頂波；（2）斜槽沒有改變偏心所導(dǎo)致的元件感應(yīng)電勢變化規(guī)律，A1和A4的感應(yīng)電勢依然增大，而A2和A3的感應(yīng)電勢依然減小。

斜槽后A相繞組的感應(yīng)電勢如圖10所示。由圖10中波形可知：斜槽后，偏心對繞組感應(yīng)電勢的影響依然微弱。原因在于，斜槽后，組成A相繞組的四個元件的感應(yīng)電勢雖然波形改變，但各自幅值增減的規(guī)律沒有變化，串聯(lián)組成A相繞組后，增減量依然基本抵消。

同樣以旋轉(zhuǎn)一周為周期，對A相繞組的感應(yīng)電勢進行諧波分析，結(jié)果如圖11所示。高次諧波分量幅值依然極小，圖11中僅列舉50次以內(nèi)諧波數(shù)據(jù)。由圖11中數(shù)據(jù)，并與圖8數(shù)據(jù)對比，可知：（1）無論是否發(fā)生偏心，斜槽結(jié)構(gòu)均能有效削弱感應(yīng)電勢的高次諧波成分，而對低次諧波分量影響較小，樣機的20及28次諧波分量幾乎被削弱至零，而低次諧波分量幅值幾乎沒有變化，4及12次諧波分量的幅值僅有微量減?。唬?）偏心沒有為斜槽電機感應(yīng)電勢引入新的諧波成分，也沒有改變感應(yīng)電勢的周期性，僅輕微削弱了低次諧波分量的幅值。

4 結(jié)論

圖9 斜槽后繞組元件的感應(yīng)電勢Fig.9 Induced electromotive forces of winding elements in skewed slot motor

圖10 斜槽后繞組的感應(yīng)電勢Fig.10 Induced electromotive forces of one phase winding in skewed slot motor

圖11 斜槽后繞組感應(yīng)電勢的諧波成分Fig.11 Harmonic components of induced electromotive forces of one phase winding in skewed slot motor

采用了一種由二維場分析數(shù)據(jù)合成三維場計算結(jié)果的多層分段等效算法，建立了氣隙偏心的表貼式無刷直流電機的計算模型，分析了偏心對電機的氣隙磁場分布以及繞組感應(yīng)電勢的影響。

研究結(jié)果表明：（1）氣隙偏心對電機磁場分布會產(chǎn)生影響，靠近偏心方向處氣隙磁密增大，而偏離偏心方向處氣隙磁密減??；（2）軸線靠近偏心方向處繞組元件感應(yīng)電勢的幅值會有所增大，而偏離的則會減小，但一相繞組的感應(yīng)電勢變化極?。唬?）氣隙偏心沒有影響斜槽結(jié)構(gòu)對感應(yīng)電勢高次諧波成分的削弱作用。

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