蘇長青,郭凡逸,潘廣權(quán),藺鵬禹

(1.沈陽航空航天大學(xué) 安全工程學(xué)院,沈陽 110136; 2.華晨寶馬汽車有限公司 鐵西工廠,沈陽 110143;3.沈陽新松機器人自動化股份有限公司,沈陽 110168)

一般工廠中常見的機器都裝有旋轉(zhuǎn)部件即轉(zhuǎn)子,轉(zhuǎn)子連同它的軸承和支座等統(tǒng)稱為轉(zhuǎn)子系統(tǒng).隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的提高,轉(zhuǎn)子本身具有不平衡質(zhì)量,所以常常會發(fā)生強迫振動.轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由于強迫振動會產(chǎn)生噪聲,降低工作效率,嚴重的振動會造成機器的損壞,發(fā)生事故.由于轉(zhuǎn)子有“自對中”的特點,所以轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在工作過程中，振動最劇烈的情況常常發(fā)生在啟動的時刻.

傳統(tǒng)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)多是采用確定性分析的方法,即在結(jié)構(gòu)分析中涉及的參量都是確定值.實際上,加工轉(zhuǎn)子零件產(chǎn)生的誤差與材料的性能，具有一定的隨機性及分布規(guī)律.轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)受到了很多學(xué)者的重視,包括分析質(zhì)量不平衡及油膜失穩(wěn)條件下的動力學(xué)特性[1]、轉(zhuǎn)子質(zhì)量不平衡響應(yīng)[2-3]、汽輪機轉(zhuǎn)子的隨機動態(tài)響應(yīng)[4]、航空發(fā)動機雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨機響應(yīng)[5]等.由于各參數(shù)對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響程度不同,隨機參數(shù)的靈敏度值越大,表明該參數(shù)對于系統(tǒng)的影響越大;反之,隨機參數(shù)的靈敏度值越小,則該參數(shù)對系統(tǒng)的影響越小.因此，研究轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)靈敏度具有重要的意義與價值.

本文以三盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象,建立了轉(zhuǎn)子的位移響應(yīng)方程,設(shè)置圓盤質(zhì)量、偏心距、轉(zhuǎn)軸彈性模量、軸承剛度和阻尼為隨機變量,得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)徑向位移的均值與標準差,分析了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)徑向位移對隨機參數(shù)的響應(yīng)靈敏度.

1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的隨機響應(yīng)

1.1 剛性圓盤響應(yīng)方程

該圓盤的質(zhì)量為m,轉(zhuǎn)動慣量和極轉(zhuǎn)動慣量分別為Jd和Jp，偏心距為e,角速度為Ω,其軸心節(jié)點的位移向量為

其運動的微分方程為

(3)

(4)

式中:[Md]為圓盤的質(zhì)量矩陣;Ω[J]為回轉(zhuǎn)矩陣.

由于圓盤具有偏心質(zhì)量,所以轉(zhuǎn)軸在轉(zhuǎn)動時會產(chǎn)生不平衡力.圓盤的偏心距為eξ(動坐標系下e在ξ軸的分量)和eη(動坐標系下e在η軸的分量),則不平衡力可表示為

1.2 彈性軸段響應(yīng)方程

設(shè)軸段兩端節(jié)點分別為A與B,則單元的兩端節(jié)點位移向量為

(7)

(8)

其運動微分方程為

(9)

(10)

式中:[Ms]為考慮了慣性矩Jd與極慣性矩Jp的一致質(zhì)量矩陣;Ω[Js]為回轉(zhuǎn)矩陣.

當(dāng)軸段單元存在偏心距eξ(s)與eη(s)時,其廣義力可表示為

eη(s)sinΩt]ds

(11)

eξ(s)sinΩt]ds

(12)

(13)

式中：[N]T為4×1階位移插值函數(shù)矩陣.

1.3 系統(tǒng)響應(yīng)方程

對于轉(zhuǎn)軸具有n個節(jié)點,其間用n-1個軸段連接而成的轉(zhuǎn)子系統(tǒng),忽略軸承座的等效質(zhì)量,則系統(tǒng)的位移向量為

{U1}=[x1,θy1,x2,θy2,…,xyn-1,θyn-1]

(14)

{U2}= [y1,-θx1,y2,-θx2， …,yyn-1,-θxn-1]

(15)

由于滑動軸承的剛度系數(shù)相等,則系統(tǒng)的運動方程為

(16)

式中:[M1]為整體質(zhì)量矩陣;Ω[J1]為回轉(zhuǎn)矩陣；剛度矩陣[K1]為n-1階的對稱稀疏陣.

2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)靈敏度

設(shè)隨機變量X1,X2,…,Xn是一組影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)功能的相互獨立的隨機變量,對于多元函數(shù)S=f(X1,X2,…,Xn),其某一組隨機變量的改變量引起的函數(shù)改變量可表達為

(17)

式中:?f/?Xi為隨機變量Xi對函數(shù)f(X1,X2,…，Xn)的靈敏度.如要分析某一個隨機變量對于多元函數(shù)的影響程度,則需將其余的變量固定.如想探究Xk對函數(shù)的影響,則式(17)中除了dXk外,其余的變量均為0,則

式中：ξk為Xk對多元函數(shù)f(X1,X2,…,Xn)的靈敏度.當(dāng)隨機變量為單位改變量時,則

ξk=dS

(20)

在工程分析中利用有限元法求解靈敏度時,先計算Xk時多元函數(shù)的改變量v1,再計算Xk增加一個單位時多元函數(shù)的改變量v2,則

ξk=v2-v1

(21)

3 數(shù)值算例

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示,滑動軸承用彈簧阻尼器表示.軸承1與軸承3分別位于轉(zhuǎn)軸的兩端,軸承2位于圓盤2與圓盤3之間.轉(zhuǎn)子系統(tǒng)幾何參數(shù)如表1所示.

由于制造環(huán)境、技術(shù)條件、制造和安裝誤差及材料的多相特征等因素,使得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的材料屬性和幾何尺寸帶有一定的隨機特性.考慮到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的參數(shù)較多,在本文中把轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的主要參數(shù)作為隨機參數(shù),3個圓盤的徑向位移為隨機輸出參數(shù).具體的分布如表2所示.

抽樣方法本文選用拉丁超立方抽樣法(LHS).在本文中,轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的各個隨機變量被分為幾個區(qū)間,從一個隨機變量的每個區(qū)間內(nèi)選取一個數(shù)值,這些數(shù)值就組成了隨機變量的樣本.

圖1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Rotor system structure diagram

幾何參數(shù)數(shù)值主軸長度/m1．474主軸半徑/m0．045圓盤1偏心質(zhì)量/kg1．0×10-4圓盤2偏心質(zhì)量/kg1．5×10-4圓盤3偏心質(zhì)量/kg1．0×10-4

表2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)分布Tab.2 Rotor system parameter distribution

為了使Monte Carlo法的計算結(jié)果達到較高的精度要求,本文取抽樣次數(shù)為450次進行循環(huán)仿真分析.

3.1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨機響應(yīng)結(jié)果

本文用Monte Carlo法與有限單元法相結(jié)合計算，得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的隨機響應(yīng)結(jié)果.經(jīng)過450次循環(huán)抽樣，得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)3個圓盤的徑向位移均值與標準差曲線，如圖2～圖7所示.

圖2 圓盤1徑向位移均值曲線Fig.2 The mean value of radial displacementcurve of plate 1

圖3 圓盤1徑向位移標準差曲線Fig.3 The standard deviation radial displacementcurve of plate 1

圖4 圓盤2徑向位移均值曲線Fig.4 The mean value of radial displacementcurve of plate 2

圖5 圓盤2徑向位移標準差曲線Fig.5 The standard deviation radial displacementcurve of plate 2

3.2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)靈敏度結(jié)果分析

圖8～圖19為本文三盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的3個圓盤徑向位移對11個隨機輸入?yún)?shù)的響應(yīng)靈敏度.彈性模量這一參數(shù)對3個圓盤徑向位移影響較小,暫不考慮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)對其響應(yīng)靈敏度.

圖6 圓盤3徑向位移均值曲線Fig.6 The mean value of radial displacementcurve of plate 3

圖7 圓盤3徑向位移標準差曲線Fig.7 The standard deviation radial displacementcurve of plate 3

圖8 圓盤1質(zhì)量響應(yīng)靈敏度Fig.8 Quality response sensitivity of plate 1

圖9 圓盤2質(zhì)量響應(yīng)靈敏度Fig.9 Quality response sensitivity of plate 2

圖10 圓盤3質(zhì)量響應(yīng)靈敏度Fig.10 Quality response sensitivity of plate 3

圖11 圓盤1偏心距響應(yīng)靈敏度Fig.11 Eccentricity response sensitivity of plate 1

圖12 圓盤2偏心距響應(yīng)靈敏度Fig.12 Eccentricity response sensitivity of plate 2

圖13 圓盤3偏心距響應(yīng)靈敏度Fig.13 Eccentricity response sensitivity of plate 3

圖14 軸承1 x方向剛度響應(yīng)靈敏度Fig.14 x-direction stiffness response sensitivity of bearing 1

圖15 軸承1 y方向剛度響應(yīng)靈敏度Fig.15 y-direction stiffness responsesensitivity of bearing 1

圖16 軸承2 x方向剛度響應(yīng)靈敏度Fig.16 x-direction stiffness response sensitivity of bearing 2

圖17 軸承2 y方向剛度響應(yīng)靈敏度Fig.17 y-direction stiffness responsesensitivity of bearing 2

圖18 軸承3 x方向剛度響應(yīng)靈敏度Fig.18 x-direction stiffness responsesensitivity of bearing 3

圖19 軸承3 y方向剛度響應(yīng)靈敏度Fig.19 y-direction stiffness responsesensitivity of bearing 3

靈敏度為正值,表明圓盤徑向位移隨著隨機參數(shù)的增加而增加;靈敏度為負值,表明圓盤徑向位移隨著隨機參數(shù)的減小而減小.由圖8可知,圓盤1質(zhì)量的響應(yīng)靈敏度最高;由圖9可知,圓盤2質(zhì)量的響應(yīng)靈敏度最高;由圖10可知,圓盤2質(zhì)量與圓盤3質(zhì)量的響應(yīng)靈敏度都較高,其原因是圓盤2的質(zhì)量較大,對圓盤3的徑向位移影響也較大;同理,3個圓盤的偏心距分別對其自身的徑向位移響應(yīng)靈敏度較高.而相對于前面的參數(shù)而言,軸承的剛度對于轉(zhuǎn)子徑向位移影響較小.因此,想要控制轉(zhuǎn)子的徑向位移，應(yīng)控制好圓盤的質(zhì)量與偏心距這兩個重要因素.

4 結(jié)論

(1) 本文通過考慮圓盤質(zhì)量、圓盤偏心距、軸承剛度與主軸彈性模量的隨機特性,建立三盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)方程.采用Monte Carlo法獲得了3個圓盤質(zhì)心徑向位移的均值與方差曲線,得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)徑向位移響應(yīng)峰值的位置與時刻.

(2) 將響應(yīng)靈敏度理論應(yīng)用于三盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)徑向位移響應(yīng)問題分析中,研究了隨機參數(shù)對于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)圓盤質(zhì)心的徑向位移的響應(yīng)靈敏度問題,并繪制了各參數(shù)響應(yīng)靈敏度曲線,獲得了隨機參數(shù)對于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)徑向位移的影響規(guī)律.

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