鞏朋成 劉 剛 黃 禾 王文欽

①(湖北工業(yè)大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院電子信息工程系 武漢 430068)

②(中國電子科技集團(tuán)公司第二十九研究所電磁空間作戰(zhàn)與應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 成都 610036)

③(電子科技大學(xué)通信與信息工程學(xué)院 成都 611731)

1 引言

目標(biāo)定位廣泛應(yīng)用在雷達(dá)、聲吶、通信和導(dǎo)航中，包括獲取目標(biāo)的距離、位置、速度等信息。本文考慮利用頻控陣MIMO雷達(dá)獲取目標(biāo)的角度、距離和幅度信息。近年來，多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)系統(tǒng)吸引了眾多學(xué)者和科研團(tuán)隊(duì)的廣泛關(guān)注。受最先進(jìn)的通信理論啟發(fā)，特別是MIMO系統(tǒng)和空時(shí)編碼技術(shù)[1,2]，在2003年的第37屆、2004年的第38屆“信號(hào)、系統(tǒng)與計(jì)算機(jī)”的Asilomar會(huì)議以及2004年的IEEE雷達(dá)會(huì)議上專題討論了MIMO雷達(dá)系統(tǒng)及其相關(guān)理論問題[3–5]，從此MIMO雷達(dá)的概念被正式提出。相比相控陣?yán)走_(dá)，MIMO雷達(dá)除了提高了目標(biāo)檢測(cè)的可靠性和探測(cè)隱身目標(biāo)的能力外，MIMO雷達(dá)具有更高的分辨特性、更好的目標(biāo)參數(shù)估計(jì)性能、抗干擾能力以及更好的目標(biāo)識(shí)別能力等等。

此外，在多天線系統(tǒng)中，頻控陣(Frequency Diverse Array, FDA)被認(rèn)為是一種很有潛力的技術(shù)。在2006年的IEEE國際雷達(dá)會(huì)議上，P. Antonik等人首次提出頻控陣?yán)走_(dá)的概念[6]。在FDA中，相鄰陣元存在一個(gè)較小的頻率增量，該頻率增量相對(duì)時(shí)間而言是恒定的，且遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于載頻，于是發(fā)射信號(hào)在頻域上部分重疊。P. Antonik指出FDA波束形成器的波束掃描角隨著距離而變化，結(jié)果頻控陣?yán)走_(dá)的波束具有角度和距離依賴性，這為目標(biāo)的距離和角度參數(shù)聯(lián)合定位提供可能。結(jié)合MIMO雷達(dá)[7,8]，文獻(xiàn)[9]提出了一種基于頻控陣的MIMO 雷達(dá)技術(shù)，該文考慮了將波形復(fù)用和FDA應(yīng)用到了雙站雷達(dá)系統(tǒng)中，通過仿真驗(yàn)證了FDA雷達(dá)獲取目標(biāo)的距離和角度是可能的。為了實(shí)現(xiàn)距離和角度估計(jì)，王文欽博士[10]提出了頻控陣的發(fā)射子孔徑設(shè)計(jì)方案，其本質(zhì)上是將發(fā)射陣列劃分成多個(gè)子陣，并利用凸優(yōu)化理論優(yōu)化發(fā)射方向圖矩陣。結(jié)合空時(shí)自適應(yīng)處理(Space Time Adaptive Processing,STAP)，許京偉博士[11]提出了基于頻率分集陣列STAP雷達(dá)的距離模糊雜波分離與抑制方法，該方法利用頻率分集陣列發(fā)射導(dǎo)向矢量的距離角度2維依賴性，通過空間頻率域子空間投影實(shí)現(xiàn)距離模糊雜波的分離。文獻(xiàn)[12]提出使用兩脈沖的頻控陣估計(jì)目標(biāo)的距離和角度，第1個(gè)脈沖利用傳統(tǒng)的相控陣估計(jì)目標(biāo)的角度信息，再利用第2個(gè)脈沖通過頻率增量估計(jì)出距離信息。

本文在研究FDA-MIMO雷達(dá)基礎(chǔ)上，結(jié)合稀疏迭代技術(shù)，解決FDA-MIMO雷達(dá)中的角度、距離及幅度估計(jì)問題。FDA-MIMO 的發(fā)射波束不僅與目標(biāo)的方位角有關(guān)，同時(shí)也與目標(biāo)的距離有關(guān)。在建立FDA-MIMO系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，首先將迭代自適應(yīng)方法引入到FDA-MIMO雷達(dá)中，研究基于迭代自適應(yīng)方法的FDA-MIMO雷達(dá)參數(shù)估計(jì)；接著提出一種基于稀疏迭代的加權(quán)最小化方法，該方法利用加權(quán)l(xiāng)q范數(shù)(0＜q≤1)做為目標(biāo)函數(shù)，并通過迭代優(yōu)化估計(jì)目標(biāo)的距離、角度及幅度信息。最后仿真驗(yàn)證本文給出的稀疏迭代方法的有效性。

2 頻控陣MIMO雷達(dá)信號(hào)模型

考慮窄帶頻控陣MIMO雷達(dá)系統(tǒng)模型，其陣列由N個(gè)發(fā)射天線和M個(gè)接收天線構(gòu)成。N個(gè)不同的發(fā)射天線上發(fā)射的信號(hào)x(t)表示為：

其中，E是發(fā)射能量，Tn是雷達(dá)脈沖持續(xù)時(shí)間，sn(t)為基帶信號(hào)，fn是第n天線上的載波頻率，其表示為：

其中，f0是第1個(gè)陣元的載頻頻率，Δf是頻率增量，而且Δf?f0。

在頻控陣MIMO雷達(dá)中，發(fā)射信號(hào)s(t)通過頻控陣列，照射到散射體上。假設(shè)某個(gè)散射體位于角度θ、相對(duì)于發(fā)射陣列的第1個(gè)天線為距離r處。則第1個(gè)天線到目標(biāo)的相位為：

其中，λ1表示第1個(gè)發(fā)射陣元上的載波波長。類似地，第n個(gè)天線到目標(biāo)的相位為：

其中，dt表示發(fā)射陣列的陣元間隔，rn表示第n個(gè)天線到目標(biāo)之間的距離。于是，發(fā)射陣列的第n個(gè)天線與第1個(gè)天線之間的相位差可表示為：

以第1個(gè)陣元作為參考陣元，可得頻控陣MIMO雷達(dá)的發(fā)射陣列的導(dǎo)向向量為：

于是，頻控陣MIMO雷達(dá)模型的陣列因子(Array Factor, AF)定義為：

其中，相位項(xiàng)φ0定義為：

當(dāng)雷達(dá)系統(tǒng)發(fā)射的波形信號(hào)照射到L個(gè)散射體上，假設(shè)第l個(gè)散射體位于遠(yuǎn)場、且角度和距離為(θl，rl)處。暫不考慮散射體的多普勒轉(zhuǎn)移，只是對(duì)靜止目標(biāo)而言。在假設(shè)散射體為點(diǎn)目標(biāo)情況下，雷達(dá)接收的基帶信號(hào)為：

其中，(·)T表示轉(zhuǎn)置，(·)H表示共軛轉(zhuǎn)置，α(rl，θl)表示第l個(gè)散射體幅度，e(t)為噪聲和干擾項(xiàng)，表示接收導(dǎo)向向量，本文接收天線采用相控陣列，故定義為：

其中，dr是接收陣列的陣元間隔。

式(9)經(jīng)采樣處理轉(zhuǎn)換成離散信號(hào)，并將感興趣的目標(biāo)場景劃分成P個(gè)距離單元和K個(gè)角度單元，可能的目標(biāo)位置完全與離散單元匹配，則在單次快拍的情況下接收信號(hào)的矩陣形式為：

其中，E為加性噪聲，(其中L表示每個(gè)天線上的數(shù)據(jù)采樣數(shù))。

堆積接收信號(hào)，即將接收信號(hào)表示成向量形式y(tǒng)=vec(Y)，式(11)轉(zhuǎn)化為：

其中，vec表示將矩陣元素按列排成一個(gè)列向量，從而將矩陣向量化。a表示目標(biāo)的距離、角度和幅度信息，V包含了陣列的導(dǎo)向矢量，其分別為：

其中，V的列向量為：

在式(12)，接收信號(hào)y和導(dǎo)向矩陣V是已知的，a是未知的。本文利用式(12)，通過稀疏迭代的方法同時(shí)估計(jì)出目標(biāo)的距離、角度和幅度信息。

3 基于稀疏迭代的多維參數(shù)聯(lián)合估計(jì)方法

正如文獻(xiàn)[13]所述，頻控陣在MIMO雷達(dá)中的一個(gè)重要應(yīng)用潛力是對(duì)目標(biāo)的距離和角度進(jìn)行2 維聯(lián)合估計(jì)。文獻(xiàn)[14]考慮了將迭代自適應(yīng)方法(Iterative Adaptive Approaches, IAA)應(yīng)用在MIMO雷達(dá)成像中，但在文獻(xiàn)[14]中，接收信號(hào)模型中引入了轉(zhuǎn)移矩陣以表示目標(biāo)的距離信息，本文式(9)中沒有引入轉(zhuǎn)移矩陣，通過利用頻控陣MIMO導(dǎo)向向量的距離依賴性，聯(lián)合估計(jì)目標(biāo)的距離、角度和幅度信息。本小節(jié)在介紹IAA的基礎(chǔ)上，將加權(quán)q范數(shù)最小化方法[15]擴(kuò)展至頻控陣MIMO雷達(dá)中進(jìn)行估計(jì)目標(biāo)參數(shù)。

3.1 迭代自適應(yīng)方法

令αp，k為感興趣的目標(biāo)參數(shù)(為了表示方便，使用αp，k代替前文中的α(rp，θk))，將可能的目標(biāo)參數(shù)αp′，k′(其中(p′，k′)/=(p，k))表示干擾信號(hào)，于是，干擾協(xié)方差矩陣定義為：

其中，P表示距離維。同樣，定義數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為：

IAA最小化如下的加權(quán)均方目標(biāo)函數(shù)：

最小化式(18)可得到如下的目標(biāo)參數(shù)估計(jì)：

由于

并利用矩陣的逆特性，可得

由于式(17)中R依賴于｛αp，k｝，故利用迭代方法估計(jì)目標(biāo)的距離和角度信息，并使用時(shí)延求和(Delay-And-Sum, DAS)估計(jì)做為初始估計(jì)。具體過程如下：

Step 1 初始化：

Step 2 根據(jù)式(17)，求解R；

Step 4 增加迭代數(shù)k，重復(fù)迭代Step 2和Step 3，直到滿足一定的停止準(zhǔn)則，或者循環(huán)達(dá)到一定的次數(shù)時(shí)停止迭代。

在實(shí)際中，雷達(dá)系統(tǒng)僅需照射有限的角度區(qū)域(如–30°～30°)[14]，不需要覆蓋整個(gè)區(qū)域(–90°～90°)。但當(dāng)掃描單元數(shù)K減少時(shí)，式(17)中R可能不滿足條件，由于R可逆的條件是P·K≥ML。為了解決該問題，文獻(xiàn)[14]考慮使用對(duì)角矩陣調(diào)整R，使其滿足可逆條件，對(duì)角矩陣的對(duì)角線上的元素利用噪聲功率得到。于是，式(17)中R的一般化形式可表示為：

針對(duì)靜止目標(biāo)，IAA和IAA-R在快拍數(shù)據(jù)比較少的情況下，特別是在單次快拍時(shí)，相比DAS估計(jì)，IAA和IAA-R能獲得較好的目標(biāo)估計(jì)和有效的旁瓣壓縮。但在真實(shí)的目標(biāo)位置附近，IAA和IAAR還是獲得了一些虛假目標(biāo)。針對(duì)該問題，下面給出了一種基于q范數(shù)的多維參數(shù)估計(jì)。

3.2 基于稀疏迭代的加權(quán)q范數(shù)最小化方法

基于稀疏迭代的加權(quán)q范數(shù)最小化方法解決如下的目標(biāo)函數(shù)：

其中，μ是一個(gè)正數(shù)，是一組加權(quán)，表示第(l–1)次迭代。當(dāng)q=1時(shí)，式(26)就是重復(fù)加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)最小化方法[16]。該方法利用稀疏迭代估計(jì)目標(biāo)參數(shù)，其過程如下所示：

首先，對(duì)于優(yōu)化問題式(26)，參數(shù)a通過復(fù)數(shù)求導(dǎo)得到。求導(dǎo)式(26)中的目標(biāo)函數(shù)，并置參數(shù)a的復(fù)數(shù)導(dǎo)數(shù)為零，可得

于是求解式(27)，可得參數(shù)a的估計(jì)值為：

其中，IML表示單位向量。觀測(cè)式(29)可知，估計(jì)項(xiàng)包含未知的加權(quán)項(xiàng)由于是未知的，故應(yīng)用迭代方法求解目標(biāo)參數(shù)。假設(shè)在已知的條件下，式(29)可以求解。

提出的方法利用DAS估計(jì)做為目標(biāo)參數(shù)的初始化估計(jì)，通過迭代方法改進(jìn)DAS估計(jì)，以獲得更高的分辨率。具體步驟如下：

Step 1 初始化：迭代次數(shù)l=1，目標(biāo)參數(shù)為式(23)；

Step 2 計(jì)算加權(quán)和μ，其分別表示如下：

其中，ε2是一個(gè)正數(shù)，其目的是確保中的0值部分不出現(xiàn)在下一次迭代中。

Step 3 利用式(29)更新目標(biāo)參數(shù)；

Step 4 迭代Step 2和Step 3，直到一定的迭代次數(shù)。

本方法求得了未知量的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并通過多次迭代求解，提供了更加精確的估計(jì)，故不需借助內(nèi)點(diǎn)法(如凸優(yōu)化軟件CVX等)求解；文獻(xiàn)[17]證明在沒有噪聲的情況下，lq范數(shù)代替l1范數(shù)時(shí)利用更少的測(cè)量便可重建信號(hào)。后面的仿真中證明，在有噪聲的情況下，迭代加權(quán)的lq范數(shù)方法用更少迭代，也能夠獲得更加精確的估計(jì)。

4 仿真與分析

本小節(jié)通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證提出方法的性能。在仿真中，考慮頻控陣MIMO雷達(dá)系統(tǒng)的發(fā)射天線和接收天線數(shù)分別為N=M=12，天線陣列按均勻線陣布置，且收發(fā)天線間隔為半波長。發(fā)射信號(hào)選用加權(quán)CAN序列[18]，序列長度L=32，接收快拍數(shù)為1。載頻頻率f0=10 GHz，頻率增量Δf=3 MHz。感興趣的目標(biāo)αp，k位于距離-角度平面(rp，θk)噪聲選用均值為零，方差為σ2的圓對(duì)稱、獨(dú)立同分布的加性復(fù)高斯噪聲，SNR=20 dB。

考慮4個(gè)目標(biāo)位于不同距離和角度位置，具體參數(shù)為：r1=30m，θ1=0°;r2=50m，θ2=20°;r3=50m，θ3=-10°;r4=80m，θ4=0°。目標(biāo)1和目標(biāo)2的幅度為5，目標(biāo)3和目標(biāo)4的幅度為10。如圖1所示，給出了4個(gè)目標(biāo)使用不同方法得到估計(jì)的幅度、距離與角度關(guān)系，其中圖1(a)－圖1(c)分別是由IAA, IAA-R和本文提出的方法獲得。由圖1(a)和圖1(b)可知，相比IAA估計(jì)，IAA-R具有較好的距離和角度估計(jì)，但I(xiàn)AA和IAA-R都在真實(shí)的目標(biāo)位置附近獲得了很多虛假目標(biāo)，也沒能準(zhǔn)確地估計(jì)到目標(biāo)幅度。在圖1(c)仿真中，本文提出的方法選取的迭代次數(shù)為8,q=0.3。由圖1(c)可知，本文提出的方法除了獲得了4個(gè)目標(biāo)準(zhǔn)確的距離和角度信息外，也獲得了目標(biāo)的幅度信息。

考慮21個(gè)目標(biāo)位于不同距離和角度的估計(jì)。圖2顯示了不同方法的距離和角度估計(jì)結(jié)果，其中，圖2(a)顯示了真實(shí)目標(biāo)的距離和角度的位置信息，所有目標(biāo)的幅度為10；圖2(b)－圖2(d)分別顯示了DAS, IAA和IAA-R的估計(jì)結(jié)果。IAA和IAA-R的迭代次數(shù)為100次。由仿真結(jié)果可知，IAA和IAAR估計(jì)性能要優(yōu)于DAS估計(jì)，IAA-R估計(jì)性能要優(yōu)于IAA；對(duì)比IAA和IAA-R，目標(biāo)位于–20°時(shí)估計(jì)性能要優(yōu)于其它目標(biāo)位置，但都在真實(shí)的目標(biāo)位置附近獲得了虛假目標(biāo)，也沒能準(zhǔn)確地估計(jì)到目標(biāo)幅度。圖2(e)和圖2(f)分別顯示了本文提出的方法經(jīng)過20次迭代后得到的3維和2維(距離和角度)仿真結(jié)果，其中，q=0.8。如圖顯示，本文提出的方法除了獲得了21個(gè)目標(biāo)準(zhǔn)確的距離和角度信息外，也獲得了目標(biāo)的幅度信息。

圖3顯示了本文提出的方法在不同信噪比情況下，獲得精確的目標(biāo)估計(jì)結(jié)果時(shí)不同q值與迭代次數(shù)之間的關(guān)系圖。由圖3可知，在獲得精確的目標(biāo)估計(jì)結(jié)果時(shí)，本文提出的方法隨著q值增加，相應(yīng)地迭代次數(shù)也增加。當(dāng)SNR=20 dB時(shí)，q=0.1時(shí)獲得精確的目標(biāo)估計(jì)時(shí)所需迭代次數(shù)為7，比q=0.9時(shí)所需迭代次數(shù)28次減少了1/4。這也證明了文獻(xiàn)[17]中提到的lq范數(shù)代替l1范數(shù)時(shí)，可以利用更少的迭代便可重建信號(hào)。

5 結(jié)論

本文給出了一種窄帶頻控陣MIMO雷達(dá)系統(tǒng)的模型，提出了將稀疏迭代的方法應(yīng)用到頻控陣MIMO雷達(dá)中，利用頻控陣的發(fā)射導(dǎo)向矢量的距離和角度依賴性，結(jié)合稀疏迭代方法，在接收端通過單次快拍有效估計(jì)到目標(biāo)的距離、角度以及幅度信息。結(jié)果表明，相比DAS估計(jì)、IAA和IAA-R，本文提出的方法除了獲得了多個(gè)目標(biāo)準(zhǔn)確的距離和角度信息外，也獲得了所有的目標(biāo)幅度信息。

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