沈鳳臣，王一舒，張龍輝(西安電子科技大學(xué),陜西 西安 710071)

0 引 言

信號波達(dá)方向(DOA)估計(jì)是陣列信號處理的重要研究內(nèi)容，在電子對抗、雷達(dá)、通信等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-5]。常規(guī)的子空間類估計(jì)方法(如MUSIC算法[6]、ESPRIT算法[7])突破了瑞利限，具有很好的估計(jì)性能和譜分辨力，但此類算法需要較多的陣元數(shù)和快拍數(shù)據(jù)以構(gòu)成較精確的陣列協(xié)方差估計(jì)矩陣。

近年來，稀疏表示和低秩重構(gòu)理論不斷發(fā)展，并成功應(yīng)用到信號處理領(lǐng)域，突破了傳統(tǒng)信息理論的局限。如矩陣填充(MC)理論[8-9]，針對低秩矩陣，該理論可以通過部分觀測元素來重構(gòu)未知元素，從而恢復(fù)出完整的矩陣，是壓縮感知理論[10-11]從稀疏向量向低秩矩陣的推廣。目前，矩陣填充理論已逐步應(yīng)用到陣列信號處理領(lǐng)域中。Zhiyuan Weng等人在文獻(xiàn)[12]針對陣列信號處理提出了均勻空間采樣模型(USS)，并證明了接收數(shù)據(jù)矩陣滿足矩陣填充的低秩性和強(qiáng)非相干性條件，可以利用矩陣填充直接恢復(fù)采樣數(shù)據(jù)矩陣，從而減少了采樣通道數(shù)目，降低了硬件資源消耗。

本文將陣列信號的均勻空間采樣模型應(yīng)用到DOA估計(jì)中，結(jié)合經(jīng)典子空間分解類算法，給出基于均勻空間采樣模型的矩陣填充DOA估計(jì)方法，該方法在均勻線陣的基礎(chǔ)上進(jìn)行壓縮采樣，減少了采樣通道數(shù)目，然后利用矩陣填充重構(gòu)算法對缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行補(bǔ)全，從而得到完整的陣列接收數(shù)據(jù)矩陣，再結(jié)合MUSIC等傳統(tǒng)DOA估計(jì)算法，得到信號入射角度。此方法能夠減少前端采樣通道數(shù)目，降低系統(tǒng)硬件實(shí)現(xiàn)成本。

1 信號模型和矩陣填充基本原理

1.1 信號模型

假設(shè)一均勻線陣的陣元個數(shù)為M，陣元間距d為入射信號半波長，空間有P個遠(yuǎn)場窄帶信號(P

(1)

(2)

式中：τmi為信號入射到第m個陣元與參考陣元間的時(shí)延；si(t)為第i個信號的復(fù)包絡(luò)；nm(t)為第m個陣元中的加性高斯白噪聲，m=1,2,…,M，i=1,2,…,P。

則該均勻線陣的接收數(shù)據(jù)可以表示為：

x(t)= [x1(t),x2(t),…,xM(t)]T=

A(θ)s(t)+n(t)

(3)

式中：A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θP)]，為陣列流型矩陣，a(θi)為對應(yīng)的導(dǎo)向矢量，且對于均勻線陣，有：

(4)

式中：s(t)為入射信號矢量，s(t)=[s1(t),s2(t),…,sP(t)]T；n(t)為陣列噪聲矢量，n(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T，且滿足：

E[n(t)nH(t)]=σ2I

(5)

E[n(t)nT(t)]=0

(6)

1.2 矩陣填充基本理論

當(dāng)?shù)椭惹也煌暾木仃嚌M足一定條件時(shí)，就可以通過矩陣填充來重構(gòu)其未知元素，從而得到完整矩陣。

設(shè)一待填充的低秩或近似低秩矩陣M∈Cn1×n2滿足矩陣填充條件，已知元素為Mij,(i,j)∈Ω，其中Ω為已知元素下標(biāo)集合。當(dāng)矩陣滿足強(qiáng)非相干性時(shí)，矩陣填充可以通過已知的元素重構(gòu)出完整矩陣。矩陣填充可以用下面的秩最小化模型[9]來表示:

(7)

然而，矩陣秩函數(shù)是一個非凸函數(shù)，所以上述最小化是一個NP-hard問題。因此，Recht等人在文獻(xiàn)[13]中提出了用下述核范數(shù)最小化代替秩函數(shù)最小化的方法來恢復(fù)低秩矩陣，并證明了兩者的等價(jià)行。

(8)

上式便是矩陣填充的核范數(shù)最小化模型。

為了求解式(2)，許多學(xué)者紛紛提出了一些有效的重構(gòu)算法法，如奇異值閾值法(SVT)[14]、不動點(diǎn)迭代法(FPC)[15]、OptSpace算法[16]等等。

2 基于均勻空間采樣模型的DOA估計(jì)算法

陣列的均勻空間采樣模型，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。該模型采用固定的采樣通道數(shù)目且小于陣列天線個數(shù)，采樣通道可以隨機(jī)選擇天線陣列進(jìn)行數(shù)據(jù)采樣，從而在每次快拍時(shí)得到相等數(shù)量的隨機(jī)降采樣數(shù)據(jù)，進(jìn)行N次快拍便可得到均勻空間降采樣數(shù)據(jù)矩陣。

圖1 均勻空間采樣模型

設(shè)接收天線陣列為均勻線陣，陣元數(shù)目為M，陣元間距為d，采樣通道數(shù)目為m，均勻空間采樣進(jìn)行N次快拍。

在進(jìn)行矩陣填充時(shí)，觀測的矩陣元素要在矩陣的每一行和每一列都有分布，否則無法對缺失的行或列進(jìn)行填充。設(shè)事件F表示采樣數(shù)據(jù)矩陣中缺失一整行，在Bernoulli模型下，事件F發(fā)生的概率為PBer(F)=(1-p)N，由于采樣的獨(dú)立性,故有p=m/M，則:

(9)

在均勻空間采樣方式下，事件F發(fā)生的概率為：

(10)

文獻(xiàn)[11]中證明了兩者滿足：PUSS(F)<(1-ε)PBer(F)，其中ε為極小值。這表明，均勻空間采樣模型與Bernoulli模型具有類似的效果。因此，均勻空間采樣模型可以有效地減少采樣通道數(shù)目，并保證矩陣填充理論可以成功地應(yīng)用在陣列信號降采樣數(shù)據(jù)矩陣的重構(gòu)中。

根據(jù)上述分析，針對陣列接收天線，采用均勻空間采樣方法，結(jié)合矩陣填充重構(gòu)算法和子空間分解類DOA估計(jì)算法，可以得到基于均勻空間采樣模型的矩陣填充DOA估計(jì)算法：

(1) 基于均勻線陣，根據(jù)陣列信號降采樣模型，進(jìn)行多次快拍，得到含有缺失元素的低秩數(shù)據(jù)矩陣X；

(3) 結(jié)合經(jīng)典子空間分解類DOA估計(jì)算法，進(jìn)行DOA估計(jì)，從而得到信號入射角度估計(jì)值θi，i=1,2,…,P。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本節(jié)主要通過仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證基于矩陣填充的降采樣DOA估計(jì)算法的有效性和可靠性。

實(shí)驗(yàn)1:基于均勻空間采樣的DOA估計(jì)效果

參數(shù)設(shè)置：空間信源個數(shù)P=2，信號入射角度分別為：-10°、15°，接收天線陣元個數(shù)M=8，采樣通道數(shù)目m=4(即采樣數(shù)據(jù)比例為50%)，快拍數(shù)N=100。

基于均勻空間采樣模型，利用FPC算法結(jié)合子空間類DOA估計(jì)算法(MUSIC、ESPRIT)進(jìn)行角度估計(jì)的效果如圖2和圖3所示。

圖2 基于USS模型和MUSIC算法的DOA估計(jì)

圖3 基于USS模型和ESPRIT算法的DOA估計(jì)

由上述結(jié)果可以看出，基于均勻空間采樣的DOA估計(jì)算法能夠準(zhǔn)確地估計(jì)出信號入射角度，從而驗(yàn)證了均勻空間采樣模型以及矩陣填充理論在DOA估計(jì)領(lǐng)域中應(yīng)用的可行性。

實(shí)驗(yàn)2：不同采樣比例下的DOA估計(jì)性能

首先定義DOA估計(jì)的角度均方根誤差(RMSE)如下：

(11)

參數(shù)設(shè)置：空間信源個數(shù)P=2，信號入射角度分別為：-10°、15°，接收天線陣元個數(shù)M=32，采樣通道數(shù)目m分別取8、16、24(即采樣比例分別為25%、50%、75%)，快拍數(shù)N=100，信噪比變化范圍為-10～ 20 dB，步進(jìn)為2 dB，每次估計(jì)均做 次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)。

基于均勻空間采樣模型，利用現(xiàn)場可編程門陣列(FPGA)重構(gòu)算法和MUSIC算法進(jìn)行DOA估計(jì)，在不同采樣通道數(shù)目(采樣比例)下的DOA估計(jì)均方根誤差與信噪比的關(guān)系如圖4所示。

圖4 不同采樣通道數(shù)目下的DOA估計(jì)均方根誤差

由仿真結(jié)果可以看出，基于均勻空間采樣模型的壓縮采樣DOA估計(jì)方法，對于同一采樣通道數(shù)目下的DOA估計(jì)均方根誤差會隨信噪比的提高而降低，符合DOA估計(jì)的一般規(guī)律?？梢钥闯?，對于該實(shí)驗(yàn)設(shè)置的條件，當(dāng)采樣通告數(shù)目設(shè)置為16及以上時(shí)，DOA估計(jì)的性能已比較理想。

在采樣通道數(shù)目較多(即采樣數(shù)據(jù)比例較高)時(shí)估計(jì)性能明顯提高，因?yàn)椴蓸油ǖ罃?shù)目增加(采樣數(shù)據(jù)比例提高)，可利用的信息增多，對缺失數(shù)據(jù)補(bǔ)全的精度會提高，重構(gòu)的陣列接收數(shù)據(jù)矩陣誤差更小，從而DOA估計(jì)的均方根誤差會更小。在采樣通道數(shù)目大于或等于16(即觀測數(shù)據(jù)比例大于或等于50%)的情況下，該方法能夠準(zhǔn)確地估計(jì)出入射信號的DOA，尤其在信噪比大于0 dB時(shí)，其估計(jì)精度較高。

4 結(jié)束語

本文基于均勻空間采樣模型，結(jié)合經(jīng)典的子空間分解類DOA估計(jì)算法，給出了基于均勻空間采樣模型的矩陣填充DOA估計(jì)算法，并仿真分析了其估計(jì)的有效性和可靠性。該算法有效減少了采樣通道數(shù)目，并且能夠精確地估計(jì)出信號入射角度。

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