劉念斯 蔡永周 顧紀超 鄭 顥

廣州汽車集團股份有限公司汽車工程研究院，廣州， 511434

0 引言

減少排放、節(jié)省燃料是汽車工業(yè)目前的重要課題。研究表明，每減輕10%的重量，汽車可節(jié)省燃油6%～8%[1-2]，降低排放4%[3]，因此，汽車輕量化設計成為汽車企業(yè)的重要研究內容。

在目前的優(yōu)化方法中，基于元模型的優(yōu)化方法以其計算快速的特點引起了眾多學者的關注。在過去的幾十年中，人們開發(fā)了很多優(yōu)秀的基于元模型的全局最優(yōu)化方法，如高效全局最優(yōu)化方法(EGO)[4]、模式搜索采樣方法(MPS)[5]等。這些方法應用單一或多個元模型進行搜索，取得了很大的成功。然而，工程師通常為實際工程中的問題定義足夠大的設計空間、盡量多的設計變量來得到滿意的結果，而元模型在擬合這類大規(guī)模問題時精度較差。由此，人們試圖通過移除不需要的設計空間來提高算法的性能。WANG等[6]開發(fā)了自適應響應面法(ARSM)，此方法可移除部分不需要的空間來提高算法的性能。但是，當樣本點較少、元模型精度較差時，空間移除方法可能將全局最優(yōu)一并移除而導致算法無法找到全局最優(yōu)?；旌献赃m應元模型方法(HAM)[7]采用多個元模型同時搜索，每隔兩次迭代在構建的重點空間內搜索一次的方法，似乎能夠解決大規(guī)模問題，然而，在HAM法中每三次迭代僅在重點空間內搜索一次，其效率仍有待提高。HAM法每隔兩次迭代才使用固定數(shù)目的10個函數(shù)值最小的昂貴點構建重點空間，會導致重點空間縮小過快而降低效率和精度。ZHOU等[8]改進了HAM方法，將自移動和縮放策略應用于更新重點空間并改進搜索策略，提出了一種增強的混合自適應方法(E-HAM)，取得了很好的效果。JIE等[9]提出了一種自適應元模型優(yōu)化方法(AMGO)，通過增加子優(yōu)化問題來平衡全局和局部搜索，也取得了一定的效果。

本文提出一種設計空間差別處理方法來對實際工程中具有多變量、大設計空間的問題進行優(yōu)化設計。

1 設計空間差別處理優(yōu)化方法

基于元模型的迭代優(yōu)化方法通常起源于少量樣本點構造的粗糙元模型。如果根據從這些元模型得到的信息移除部分設計空間，則全局最優(yōu)也極有可能隨移除的空間被一同刪除。

本文提出一種設計空間差別處理(design space differentiation,DSD)方法，此方法首先利用部分昂貴點構造一個重點空間，然后采取在重點空間和其他空間內應用不同的搜索策略進行搜索的方式來代替移除空間,在整個迭代過程中不移除任何涉及空間，可有效避免設計空間移除方法會移除全局最優(yōu)的弱點，其優(yōu)化流程如圖1所示。

圖1 優(yōu)化流程Fig.1 Procedures of the method

DSD方法主要用于解決耗時的大規(guī)模問題，其主要步驟如下。

(1)應用拉丁方設計方法生成10個初始樣本點x1、x2、…、x10，計算其函數(shù)值f(x1)、f(x2)、…、f(x10)，構造二階多項式響應面。拉丁方設計是一種空間填充設計，實現(xiàn)簡單，能夠消除仿真分析中的確定性誤差[10-12]，而二階多項式響應面能夠準確擬合任何平滑曲面的任意局部空間[5]。經過大量的測試發(fā)現(xiàn)，10個初始點能夠滿足算法的需要，更多的初始點并不能顯著提高算法的性能。

(2)構建重點空間。重點空間的構造決定了該算法的性能。初始重點空間要盡量包含足夠大的空間，以保證包含全局最優(yōu)，并且隨著迭代的進行要逐漸縮小到全局最優(yōu)附近。本文提出的DSD方法采用一定數(shù)目的具有真實解的昂貴點來構建重點空間，其數(shù)目ne隨著迭代的進行不斷變化，以保證得到合適的重點空間，其數(shù)目的定義如下：

(1)

其中，me是當前昂貴點的數(shù)目，wi是構建重點空間的昂貴點占當前昂貴點的比例，i為迭代次數(shù)。由于初始點以及每一次迭代所選取的昂貴點的數(shù)目都為10，根據式(1)，所選擇的構建重點空間的樣本點的數(shù)目依次為10、18、24、28、30、30、28、24、18、10。初始樣本點由拉丁方設計直接得到，能夠保證初始重點空間盡可能布滿整個設計空間，如圖2所示。構造重點空間的樣本點的數(shù)目逐漸增大然后減小，既能保證在優(yōu)化前幾次迭代中包含足夠的空間，又能使重點空間快速縮小，圖

圖2 某優(yōu)化問題第1次迭代得到的重點空間示意圖Fig.2 The first important region in a design optimization

3所示是某優(yōu)化問題第4次迭代得到的重點空間，與第1次迭代相比，重點空間包含全局最小值，而且減小明顯。

圖3 某優(yōu)化問題第4次迭代得到的重點空間示意圖Fig.3 The fourth important region in a design optimization

(3)分別在重點空間和其他空間內選取新的昂貴點，其策略如下：

①在重點空間內選擇昂貴點。a)應用拉丁方設計在重點空間生成大量樣本點(推薦為104個)[5]，這些點使用元模型計算，稱為廉價點；b)使用二階多項式計算這些樣本點的函數(shù)值；c)選取6個函數(shù)值最小的樣本點作為新的昂貴點。

②在其他空間內選擇昂貴點。a)應用拉丁方設計在其他空間生成大量樣本點(推薦為104個);b)使用二階多項式計算這些樣本點的函數(shù)值;c)選取4個函數(shù)值最小的樣本點作為新的昂貴點。

(4)應用原始模型計算新的昂貴點的值并檢查收斂條件。如果滿足收斂條件，算法終止，否則重復步驟(2)至步驟(3)直到結束。算法采取HAM法中提出的收斂條件[7]:

(2)

式中，ε為設計者給定的一個較小的數(shù)值；fj為第j個最小的函數(shù)值。

2 算法驗證

本文利用4個應用廣泛的標準數(shù)學函數(shù)算例對DSD方法進行驗證，這4個函數(shù)分別是10個變量的Pavinai函數(shù)(PF)和Trid函數(shù)(TF)，以及16個變量的F16函數(shù)和20個變量的Sum Squares函數(shù)(SSF)。

(1)Pavinai 函數(shù)(N=10):

(3)

xi∈[2.1,9.9]

(2)Trid函數(shù)(N=10):

(4)

xi∈[-100,100]

(3)F16函數(shù)(N=16):

(5)

xi,xj∈[-5,5]

(4)Sum Squares函數(shù)(N=20):

(6)

這4個函數(shù)中PF是對數(shù)函數(shù)， F16是高階函數(shù)，而TF和SSF是二階多項式函數(shù)，TF具有較大的設計空間。這4個函數(shù)各具特點，能夠全面地測試所提出方法的有效性，而且所得到的結果將與同類算法HAM和遺傳算法(GA)進行對比(比較搜索精度和搜索效率)。優(yōu)化對比結果見表1。每個函數(shù)都運算100次以避免不具代表性的結果，表中min表示算法得到的平均最小值，nit表示所用的平均迭代次數(shù)，nfe表示算法所用的昂貴點的平均數(shù)目。其中min和nit保留一位小數(shù)，nfe只保留整數(shù)部分。

從表1中可以看出，GA在優(yōu)化PF和TF時精度較高，在優(yōu)化F16和SSF時精度較低，最小平均迭代次數(shù)為64，調用原始模型最小平均次數(shù)為1298次。即如果每次迭代所產生的20個優(yōu)化方案能夠同時計算，對于優(yōu)化一個單個模型計算需要1 h的問題，所用最短時間為64 h，最長為239.8 h。如果不能夠同時計算，則最少需要1298 h。對于HAM，其所得結果的精度較低，在優(yōu)化TF時則完全找不到最小值，在優(yōu)化PF和F16時所得結果的精度也難以滿足要求。DSD法在精度和效率上達到很好的平衡，能夠以很高的效率得到精度

表1 數(shù)學函數(shù)優(yōu)化結果(平均值)Tab.1 Results of math functions (mean values)

較高的結果，對于所優(yōu)化的4個問題，所得到的最小值都接近各自理論最小值。如果單個模型計算時間仍為1 h，則能夠同時計算每次迭代所得到的方案和每次僅能計算一個方案所需的最長時間分別為20.9 h和219 h，與GA相比，節(jié)省了80%以上的計算時間。

3 初始點數(shù)目的討論

為確定初始點的數(shù)目，DSD方法分別應用10個和30個初始點對以上4個函數(shù)進行優(yōu)化，結果見表2。從表2中可以看出，初始樣本點從10個增加到30個，其綜合性能并沒有顯著變化?？梢?，較多的初始樣本點并不能大幅度提高算法性能,因此，初始樣本點的數(shù)目定為10。

4 汽車輕量化設計

某款車的后車架質量為73.65 kg，在設計過程中已經進行過一次輕量化設計，為降低成本，需要對其進行進一步減重，而公司標準規(guī)定，在放置200 kg貨物時所產生的最大位移d不能超過2.0 mm。優(yōu)化模型為

表2 不同數(shù)目初始點所得到的結果比較Tab.2 Comparison of the results with different number of initial points

(7)

式中，m為整個系統(tǒng)的質量，kg；t1～18為選擇的18個具有減重價值的部件的厚度，在優(yōu)化分析中作為設計變量。

圖4和圖5是有限模型的加載和約束示意圖。此結構的有限元模型包含43個部件、161 656個單元。

圖4 某款車后車架載荷示意圖Fig.4 An illustration of the Load on the vehicle rear frame

圖5 某款車后車架約束示意圖Fig.5 An illustration of the constraints on the vehicle rear frame

應用商業(yè)軟件Nastran對該模型進行計算。該模型雖是一個線性問題，但是包含18個設計變量，具有較大設計空間，應用目前已經發(fā)布的基于元模型的優(yōu)化方法計算困難，因此應用DSD方法對其進行輕量化設計。優(yōu)化結果見表3。同時給出應用HAM法所得到的結果，與DSD法進行比較。表3中所有結果均保留兩位小數(shù)。

從表3中可以看出，這個優(yōu)化過程經過8次迭代，包括初始點在內一共需要90個昂貴點，即調用有限元模型計算90次，后車架系統(tǒng)的質量從73.65 kg減小到65.98 kg，減小了7.67 kg，即整個系統(tǒng)質量減小10.4%，施加力所產生的最大位移從2.046 mm減小到1.997 mm，系統(tǒng)的剛度有所增大。而HAM法應用35次迭代，調用仿真模型243次，質量減小了3.14 kg，比DSD法少4.53 kg。比較了優(yōu)化前后施加力產生的最大位移，見圖6。

表3 輕量化結果Tab.3 Results of the lightweight design

(a)優(yōu)化前

(b)HAM法結果

(c)DSD法結果圖6 優(yōu)化前后施加力產生的最大位移比較Fig.6 The max. displacement by the load before and after optimization

5 結論

本文提出一種設計空間差別處理優(yōu)化方法，此方法對不同的空間采用不同的處理方式，并不移除任何設計空間，具有傳統(tǒng)的設計空間移除方法高效的優(yōu)點，同時在一定程度上避免了傳統(tǒng)方法會移除全局最優(yōu)的弱點，是傳統(tǒng)的設計空間移除方法的改進方法。通過4個高維標準函數(shù)算例的驗證以及在汽車輕量化設計中的應用，證明了算法的有效性以及在實際工程中應用的潛力。

下一階段的工作將致力于研究基于不同元模型的設計空間差別處理方法的性能，同時研究將混合元模型策略與設計空間差別處理策略相結合，開發(fā)效率更高、應用更廣泛的方法。

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