張文韜 王震虎 方向東 楊續(xù)躍 李落星 王萬林

1.中南大學材料科學與工程學院，長沙,410083 2.湖南大學汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室，長沙,4100823.重慶長安汽車商用車研究院，重慶,400023

0 引言

白車身的彈性體模態(tài)和靜剛度是衡量汽車基礎(chǔ)性能的兩項重要指標，在很大程度上影響著整車的噪聲、振動與聲振粗糙度(noise, vibration and harshness，NVH)性能,安全性,操縱穩(wěn)定性,耐久性,以及燃油經(jīng)濟性[1]。白車身的低階模態(tài)設(shè)定(一階彎曲、扭轉(zhuǎn)模態(tài)等)要盡量避開發(fā)動機怠速時的激勵頻率，以免汽車行駛時發(fā)生共振；而白車身的彎曲、扭轉(zhuǎn)剛度則分別反映了汽車在承受載荷時的抗彎變形能力以及在凹凸不平路面行駛時的抗扭變形能力。整車性能目標的設(shè)定以及車身結(jié)構(gòu)的設(shè)計開發(fā)中,白車身的靜剛度和低階模態(tài)是兩個非常重要的參數(shù)。

國外在研究線性系統(tǒng)靜剛度與模態(tài)、動剛度的關(guān)聯(lián)性時，一般通過試驗獲取系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)(frequency response function, FRF)，再利用構(gòu)建的柔度矩陣對靜剛度進行計算。GRIFFITHS等[2]研究了簡單結(jié)構(gòu)的彈性體模態(tài)和靜剛度之間的關(guān)系，并通過試驗和有限元仿真對此加以驗證；PASHA等[3-5]通過對自由邊界的頻率響應(yīng)函數(shù)的測定，成功估算了簡單矩形板的彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度；WAHYUNI等[6]通過理論推導，探明了簡單性系統(tǒng)的靜態(tài)剛度與模態(tài)剛度之間的關(guān)系，并通過仿真手段加以驗證。以上研究均是將一些簡單的線性結(jié)構(gòu)(如簡支梁、矩形框架以及矩形板)作為研究對象，并未將其推廣至工程中的大型復雜線性系統(tǒng)。為此，HELSEN等[7]提出只通過單個模態(tài)試驗獲取車身靜態(tài)剛度和動態(tài)剛度的方法，并對此進行了有限元分析驗證；DELEENER等[8]詳細闡述了利用基于子結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)函數(shù)(FRF based on substructuring，F(xiàn)BS)技術(shù)以及模態(tài)測試技術(shù)以獲取白車身靜態(tài)剛度的方法。但這些獲取車身靜剛度的方法較為繁瑣，且耗時費力，在試驗條件尚不完備的情況下，難以將其應(yīng)用于工程實踐。

為研究白車身彈性體模態(tài)與靜剛度的內(nèi)在聯(lián)系，本文以線性系統(tǒng)的模態(tài)理論為基礎(chǔ)，將簡單矩形框架中模態(tài)與靜剛度的關(guān)聯(lián)性推廣到白車身，并通過有限元仿真直接提取白車身的模態(tài)參數(shù)，再以此評估整體的靜態(tài)剛度。然后將該方法獲得的靜剛度與傳統(tǒng)靜力學計算值作對比，以驗證理論的正確性。此方法簡單高效，在車身開發(fā)前期，不僅能在只計算模態(tài)的情況下獲取白車身的靜剛度，而且能定量地反映模態(tài)和靜剛度兩項性能的關(guān)聯(lián)性，這為低階模態(tài)和剛度性能的目標設(shè)定提供了重要依據(jù)。

1 基本理論

1.1 矩形框架的剛度

工程上，一般用一具體的數(shù)值來表達系統(tǒng)的剛度值。例如，汽車工業(yè)上就是用彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度來表征白車身抵抗彎曲和扭轉(zhuǎn)變形能力的量。白車身可以看作一個大型線性系統(tǒng)，其力學特性應(yīng)與簡單線性系統(tǒng)保持一致，因此可以通過研究簡單矩形框架剛度與模態(tài)的關(guān)聯(lián)性來反映車身系統(tǒng)的力學規(guī)律。

圖1所示為矩形框架結(jié)構(gòu)。在位置1、2、3、4約束方向x、y、z的平動自由度，并在左右兩邊的中點上分別施加垂直于矩形框架平面向下且大小為F的力。若記F5=F6=-F，那么根據(jù)靜力平衡，很容易得到F1=F2=F3=F4=F/2。若將框架看作一個離散的線性系統(tǒng)，那么框架系統(tǒng)所受的外力可寫成如下向量形式:

(1)

式中，VB為彎曲工況的外力系數(shù)向量。

圖1 矩形框架的彎曲Fig.1 Frame bending

彎曲剛度KB一般被定義為所施加的載荷與施力點在載荷方向(即垂直于矩形框架方向)偏移量的比值，即

或

(2)

式中，z1～z6分別為點1～點6的垂直方向的位移。

圖2為矩形框架結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)工況圖。在位置1、2施加垂直于矩形平面方向且大小相等(均為F)、方向相反的兩個力，并約束位置3、4、5處方向x、y、z的平動自由度，其中位置5為邊L12的中點。若記F1=F，F(xiàn)2=-F，由靜力平衡，可得到F3=-F，F(xiàn)4=F，在整個框架系統(tǒng)中，寫成向量的形式為

P=(0,1,0,-1,0,-1,0,1,0)TF=VTF

(3)

式中，VT為扭轉(zhuǎn)工況的外力系數(shù)向量。

圖2 矩形框架的扭轉(zhuǎn)Fig.2 Frame torsion

根據(jù)扭轉(zhuǎn)剛度的定義，矩形框架的扭轉(zhuǎn)剛度為施加于L12端的扭矩比上L12與L34相對扭轉(zhuǎn)角，即

或

(4)

式中，L12、L34分別為矩形框架前后邊長。

1.2 模態(tài)與靜剛度的關(guān)系

一般地，對于n自由度線性定常系統(tǒng)的無阻尼自由振動有

(5)

式中，M為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；K為系統(tǒng)的剛度矩陣；x為位移列向量。

對于復雜的線性系統(tǒng)，式(5)是相互耦合的微分方程組，通過一般方法很難求解甚至不能求解，因此可以令x=Φη。從而使式(5)解耦[9]。在等式兩邊乘ΦT，得到

(6)

式中，Φ為系統(tǒng)的模態(tài)矩陣；η為系統(tǒng)的模態(tài)坐標。

由于Φ的各階模態(tài)向量(即各階主振型)關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣兩兩相互正交，因此Mm=ΦTMΦ為對角陣，主對角元素為各階模態(tài)質(zhì)量；Km=ΦTKΦ同樣為對角陣，主對角元素為各階模態(tài)剛度。對于第i階模態(tài)，有

(7)

(8)

式中，ωi為第i階角頻率；fi為自然頻率；Km,i為模態(tài)剛度；Mm,i為模態(tài)質(zhì)量。

根據(jù)結(jié)構(gòu)力學，線性系統(tǒng)的靜力學方程為

Kx=P

(9)

式中，P為外力列向量。

為了將線性系統(tǒng)的靜態(tài)性能與動態(tài)性能聯(lián)系起來，將x=Φη代入式(9)，并同時在等式兩邊左乘ΦT得到

ΦTKΦη=ΦTP

或

(10)

當矩形框架受到靜態(tài)彎曲力的作用時，根據(jù)式(10)，在第i階模態(tài)下有

(11)

式中，φi為第i階模態(tài)向量；χj為彎曲工況下第j個坐標的廣義力系數(shù)。

(12)

再將式(12)代入式(2)得到彎曲剛度KB與各階模態(tài)參量的關(guān)系：

(13)

式中，1/KB為彎曲柔度。

同樣地，在扭轉(zhuǎn)工況下，對于第i階模態(tài)有

(14)

式中，βj為扭轉(zhuǎn)工況下第j個坐標的廣義力系數(shù)。

(15)

將式(15)與式(4)聯(lián)立，得到扭轉(zhuǎn)剛度KT與各階模態(tài)參量的關(guān)系式：

(16)

式中，1/KT為扭轉(zhuǎn)柔度。

1.3 模態(tài)與靜剛度的關(guān)聯(lián)性理論在白車身上的應(yīng)用

白車身類似于矩形框架結(jié)構(gòu)，其相關(guān)參數(shù)應(yīng)當滿足式(13)和式(16)，只是在推導過程中，應(yīng)該注意，白車身靜剛度試驗的測點與加載、約束點的位置并不重合，因此在利用該方法計算靜剛度時，需同時考慮試驗加載、約束位置以及測點位置的模態(tài)變形量。那么，對于白車身，式(13)和式(16)分別改寫為

(17)

(18)

式中，φⅠ，i～φⅥ，i為加載或約束點處第i階z向模態(tài)變形量；φ1,i～φ6,i為測點處第i階z向模態(tài)變形量；Lf為前懸減振器中心之間的距離;L12與L34分別為前測點之間以及后測點之間的距離。

式(13)和式(16)右邊各項即為白車身各階模態(tài)的彎曲(扭轉(zhuǎn))柔度貢獻量，其具體含義為白車身的靜態(tài)柔度等于各階模態(tài)柔度貢獻量之和。通過這一等量關(guān)系，可將白車身模態(tài)性能與靜剛度性能聯(lián)系起來。

2 白車身靜剛度計算

2.1 白車身有限元模型的建立

現(xiàn)將某款商用車的白車身在Hypermesh前處理軟件中劃分成691 735個節(jié)點、673 350個單元的離散結(jié)構(gòu)，網(wǎng)格單元主要包含1D、2D、3D以及0D或rigids幾種類型，其中2D殼單元占主要部分(約90.3%)，主要用于模擬車身的鈑金件結(jié)構(gòu)。2D網(wǎng)格劃分采取CQUAD4及CTRIA3的混合單元形式，網(wǎng)格尺寸為8～15 mm，并注意控制單元的質(zhì)量。膠粘連接采用Adhesives單元進行模擬，鈑金件之間的點焊采用Acm單元模擬，另外利用RBE2單元并保證節(jié)點對齊來模擬縫焊。車身主要材料為鋼材，密度為7.85×103kg/m3，泊松比為0.3，彈性模量為210 GPa。圖3所示為分析用到的白車身有限元模型。

圖3 白車身有限元模型Fig.3 Finite element model of body in white

2.2 基于靜力學有限元分析計算白車身靜剛度

白車身彎曲試驗中，一般在車身前、后減振器座處進行固定，再在前后懸架連線的中垂面上施加一對垂直向下的作用力，施力點位于縱梁中心正上方的地板上。根據(jù)試驗具體情況，施加約束和載荷，建立彎曲工況的有限元模型，并提交計算。在計算彎曲剛度時，選取6個測點：分別為過前后減振器座中心鉛垂面與前后縱梁底面中心的交點(測點1～4)，以及加載點正下方的縱梁底面的中心處(測點5、6)。測量這6個測點的z向位移，分別記作z1～z6，根據(jù)式(2)可以得到車身的彎曲剛度為6 904 N/mm，彎曲柔度即為1.448×10-4mm/N。

在扭轉(zhuǎn)試驗中，一般先將車身的后減振器座或后懸架彈簧座進行固定，然后在左、右前減振器座施加一對垂直且反向的力，以形成力偶。根據(jù)試驗具體情況，建立扭轉(zhuǎn)工況的有限元模型并進行求解。測點選取與彎曲剛度的測點1～4一致，讀取4個測點的z向位移，再根據(jù)式(4)，可以求得扭轉(zhuǎn)剛度為526 535N·m/rad，扭轉(zhuǎn)柔度即為1.899×10-6rad/(N·m)。

2.3 基于模態(tài)理論計算白車身靜剛度

為驗證式(17)和式(18)所描述的靜剛度計算方法，同樣以該白車身模型為例，根據(jù)以上兩式對彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度進行計算。在計算之前，需要知道以下參數(shù)：①白車身的各階模態(tài)頻率與質(zhì)量(或是模態(tài)剛度)；②白車身在各處測點以及加載、約束點的模態(tài)變形量。以上數(shù)據(jù)都可以通過有限元仿真得到。

2.3.1白車身模態(tài)計算

彈性體模態(tài)作為白車身結(jié)構(gòu)的固有屬性，與車身承受的外部載荷無關(guān)，且白車身可以近似看作弱阻尼線性系統(tǒng)(阻尼比通常小于5%)，因此在模態(tài)計算時，無需設(shè)置邊界條件與阻尼系數(shù)，可直接利用MSC. Nastran中的Lanczos法進行求解，輸出時選擇各階模態(tài)最大變形量歸一化。提取各階彈性體模態(tài)參數(shù)，其中前20階模態(tài)系數(shù)的具體數(shù)值見表1。其余各階不作逐一列舉。

由表1可以看出該白車身有限元模型前20階彈性體模態(tài)的頻率、模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度，這三者之間的關(guān)系滿足式(8)。由式(17)與式(18)可知，模態(tài)變形量的測點共有12個，分別為靜剛度試驗時的6處加載或約束點以及6處測點。將加載、約束點記為數(shù)字Ⅰ～Ⅵ，與之對應(yīng)的測點記為數(shù)字1～6，可以得到12個測點各階z向模態(tài)變形量，也就是各階模態(tài)振型在測點處的z向分量，見表2(這里只列出了前10階)。

2.3.2基于模態(tài)理論計算白車身彎曲剛度

根據(jù)1.3節(jié)中提到的通過模態(tài)參數(shù)計算彎曲剛度的方法，將提取的模態(tài)數(shù)據(jù)(模態(tài)頻率、模態(tài)質(zhì)量與測點處的模態(tài)變形量)代入式(17)右邊，可以得到各階模態(tài)的彎曲柔度貢獻量。表3所示為前100階彎曲柔度貢獻量的具體數(shù)值。由表3可以看出，彎曲柔度在低階模態(tài)中分布較為集中，與靜力學方法計算的彎曲柔度相比，第6、7、8、13、15以及40階的柔度貢獻量較大，其中第8階(一階彎曲模態(tài))的柔度貢獻量最大，占靜力學計算值的26.94%。

表1 前20階模態(tài)參數(shù)Tab.1 Parameters of first 20 modes

表2 12處測點的各階模態(tài)變形量Tab.2 Modal deformations at 12 measure points

將各階彎曲柔度貢獻量累加，便可以得到白車身各階彎曲柔度貢獻量之和。由于白車身有限元模型總自由度數(shù)十分龐大，很難對其各階模態(tài)柔度貢獻量逐一求解，因此本文只計算了前10階、前20階、……、前100階的柔度貢獻量之和，具體數(shù)值如表4所示。由表4可以看到，在計算前10階時，彎曲柔度貢獻量之和與2.2節(jié)中的彎曲柔度值相差-63.46%，與前20階相差-36.59%，至前50階，差距減小到-8.89%，且隨著計算階數(shù)的增加，其數(shù)值仍然在不斷接近靜態(tài)彎曲柔度值，考慮前100階時，彎曲柔度貢獻量之和與靜態(tài)彎曲柔度的差距已經(jīng)減小到-4.80%。

由表4可以看出，隨著計算的階數(shù)增加，所得的柔度值越來越逼近某一個固定的數(shù)值，這與前面靜力學計算方法獲得的彎曲柔度十分類似。其中前50階收斂速度較快，而50階之后的收斂速度明顯下降，且柔度變化趨于平緩，這表明白車身彎曲柔度在各階模態(tài)的分布并不是均勻的，而是集中在較低階的模態(tài)，在一些低階彎曲模態(tài)(特別是一階彎曲模態(tài))中，這一現(xiàn)象尤為明顯。由此可以得出結(jié)論，白車身的靜態(tài)彎曲柔度等于各階彎曲柔度貢獻量之和，且低階彎曲模態(tài)與彎曲剛度之間存在著非常緊密的聯(lián)系。在實際應(yīng)用中，考慮到前50階彎曲柔度貢獻量之和已經(jīng)非常接近靜力學計算值了，所以可將前50階貢獻量之和基本作

表3 各階彎曲柔度貢獻量Tab.3 Modal contributions to bending compliance

表4 彎曲柔度貢獻量之和與靜態(tài)彎曲柔度的對比Tab.4 Comparison between the sum of modalcontributions to bending compliance and staticbending compliance

為車身整體的彎曲柔度。所獲得的彎曲柔度約為1.320×10-4mm/N，彎曲剛度為7 578 N/mm，與靜力學方法獲取的剛度值相比，增大了9.76%，這說明式(17)所描述的計算方法具有較高的精度，故在車身開發(fā)前期，可利用這一方法同時獲得白車身的模態(tài)與彎曲剛度。另外，由于低價彎曲模態(tài)與彎曲剛度存在定量關(guān)系，因此在確定合適的低階彎曲模態(tài)頻率后，可由此大致設(shè)定彎曲剛度的目標值，這樣不僅能避免由于剛度目標值設(shè)定過高而造成材料浪費，并且對汽車輕量化有著重要意義。反之在確定彎曲剛度滿足性能需求之后，也可根據(jù)這一關(guān)系合理地規(guī)劃低階彎曲模態(tài)的目標值。

2.3.3基于模態(tài)理論計算白車身扭轉(zhuǎn)剛度

利用模態(tài)理論計算扭轉(zhuǎn)剛度的方法與計算彎曲剛度的方法類似，將各階模態(tài)頻率、模態(tài)質(zhì)量(或模態(tài)剛度)與測點的z向模態(tài)變形量代入式(18)右邊，獲得各階模態(tài)扭轉(zhuǎn)柔度貢獻量，具體數(shù)值見表5。由表5可以看出，相比彎曲柔度分布的情況，扭轉(zhuǎn)柔度在低階模態(tài)的分布更為集中，第3階(白車身背門框扭動)和第4階(一階扭轉(zhuǎn)模態(tài))占據(jù)靜力學計算值的75.06%，其中第4階的柔度貢獻量最大，占總數(shù)的53.79%。

根據(jù)表5中的數(shù)據(jù)求得前10階到前100階的柔度貢獻量之和，其具體數(shù)值見表6。與2.2節(jié)中的靜力學計算值作比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，前10階的扭轉(zhuǎn)柔度貢獻量之和已經(jīng)與靜力學計算值非常接近(達到其80.47%)，根據(jù)前面的分析，這主要是因為一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)的貢獻比非常大，占到靜態(tài)扭轉(zhuǎn)柔度值的一半以上。隨后計算的前20階到前50階的扭轉(zhuǎn)柔度貢獻量之和依然在不斷接近靜態(tài)扭轉(zhuǎn)柔度，計算前20階時，與靜力學計算值相差-14.79%，到前50階時，差值已經(jīng)減小到-5.54%。由表6可知，隨著計算階數(shù)增加，扭轉(zhuǎn)柔度貢獻量之和逐漸逼近一固定值，這個值與前面計算的車身扭轉(zhuǎn)柔度非常接近。前10階曲線增長的速度非常之快，前20階到前50階速度有所放緩，且前50階之后，扭轉(zhuǎn)柔度曲線變化趨于平緩。這一現(xiàn)象同樣說明，扭轉(zhuǎn)柔度在各階模態(tài)的分布也不是均勻的，而且集中情況相較于彎曲柔度更加明顯，低階模態(tài)對于扭轉(zhuǎn)柔度貢獻更大，尤其是一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)對于扭轉(zhuǎn)柔度的貢獻更為突出。由于前50階的扭轉(zhuǎn)柔度貢獻量已經(jīng)與靜力學計算值非常接近，因此車身整體的扭轉(zhuǎn)柔度也可基本用前50階模態(tài)柔度貢獻量之和表示。用模態(tài)方法計算得到的扭轉(zhuǎn)柔度為1.794×10-6rad/(N·m)，與之對應(yīng)的扭轉(zhuǎn)剛度的值近似為557 392 N·m/rad，相比靜力學計算值只增大了5.86%。結(jié)果表明，基于式(18)對扭轉(zhuǎn)剛度進行有限元計算是可行的，且具有很高的精度，在車身開發(fā)前期，可利用這一方法同時獲得白車身的模態(tài)與扭轉(zhuǎn)剛度。另外，根據(jù)低階扭轉(zhuǎn)模態(tài)與扭轉(zhuǎn)剛度之間的定量關(guān)系，可在確定合適的低階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率之后，大致設(shè)定扭轉(zhuǎn)剛度的目標值，這能很好地避免由于剛度過剩而引起的材料浪費。同樣地，在確定扭轉(zhuǎn)剛度滿足性能需求之后，也可根據(jù)這一關(guān)系合理地規(guī)劃低階扭轉(zhuǎn)模態(tài)的目標值。

表5 各階扭轉(zhuǎn)柔度貢獻量

表6 扭轉(zhuǎn)柔度貢獻量之和與靜態(tài)扭轉(zhuǎn)柔度的對比Tab.6 Comparison between the sum of modalcontributions to torsional compliance andstatic torsional compliance

3 白車身靜剛度試驗

為了檢測有限元分析結(jié)果的準確性與可靠性，故對該車型的白車身實施靜剛度臺架試驗。試驗的的儀器主要由兩部分組成：彎曲(圖4)剛度試驗臺、扭轉(zhuǎn)剛度試驗臺(圖5)以及車身數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)。試驗時的約束與加載情況如2.2節(jié)所述，測點布置在前、后縱梁以及門檻梁底面，呈左右兩邊對稱布置，每邊各13個測點，其中縱梁底面為8個，門檻梁底面為5個，彎曲試驗和扭轉(zhuǎn)試驗均采取逐級加載方式，分別讀取不同載荷下測點的z向位移，然后將每個測點在不同載荷下的位移取加權(quán)平均值，并由此繪制梁的變形曲線圖。通過靜剛度計算方法，便可得到白車身的彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度。

圖4 彎曲試驗Fig.4 Bending test

圖5 扭轉(zhuǎn)試驗Fig.5 Torsion test

表7所示為白車身靜剛度的有限元分析值與此次試驗值的對比。由表7可以看出，樣車的彎曲剛度為7 026 N/mm，相比之下，通過有限元分析獲得的彎曲剛度值誤差分別只有-1.74%(靜力學方法)和7.86%(模態(tài)方法)。該樣車的扭轉(zhuǎn)剛度為543 750 N·m/rad；與之相比，通過有限元計算得到的扭轉(zhuǎn)剛度值的誤差分別為-3.17%(靜力學方法)和2.51%(模態(tài)方法)。彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度的仿真誤差均在±8%以內(nèi)，因此可認為此次有限元分析是可靠的。

表7 有限元分析值與試驗值的對比

4 結(jié)論

(1)與簡單的線性系統(tǒng)相似，白車身的彎曲柔度與扭轉(zhuǎn)柔度均等于各階模態(tài)柔度貢獻量之和，計算時使用的階數(shù)越多，結(jié)果越精確。但通常情況下，只考慮前50階模態(tài)參數(shù)，與靜力學計算方法比較，其計算誤差可控制在10%以內(nèi)。

(2)根據(jù)低階模態(tài)與靜剛度的定量關(guān)系，可在車身開發(fā)前期合理設(shè)定模態(tài)與靜剛度性能的目標值，同時也可在車身結(jié)構(gòu)的設(shè)計與優(yōu)化中起到重要作用。

(3)靜態(tài)彎曲柔度與靜態(tài)扭轉(zhuǎn)柔度在各階的分布規(guī)律存在差異，彎曲柔度分布較為離散，而扭轉(zhuǎn)柔度分布較為集中。

(4)低階彎曲(扭轉(zhuǎn))模態(tài)與彎曲(扭轉(zhuǎn))剛度聯(lián)系緊密，通常一階彎曲模態(tài)、扭轉(zhuǎn)模態(tài)所對應(yīng)的彎曲柔度、扭轉(zhuǎn)柔度貢獻比最大，在車身開發(fā)前期，對于難以識別的模態(tài)振型，這一規(guī)律可作為低階模態(tài)識別的重要依據(jù)。

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