付瑋，丁鎮(zhèn)軍，邊學鵬

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多自由度振動環(huán)境下慣組非線性傳遞特性研究

付瑋，丁鎮(zhèn)軍，邊學鵬

（北京強度環(huán)境研究所，北京 100076）

慣組作為飛行器姿控系統(tǒng)的傳感器，其局部安裝結構的傳遞特性的測量精度直接關系到導航精度。目前，慣組普遍使用減振器進行隔振，而減振器都呈現(xiàn)出較強的非線性特征。為了考察慣組在不同工況下的傳遞特性，將慣組簡化為六自由度Duffing模型，推導了基礎激勵下系統(tǒng)的運動微分方程，并用龍格?庫塔法對方程進行求解，分析了自由衰減振動和強迫振動下不同工況的系統(tǒng)傳遞特性。結果表明，多自由度激勵比單自由度激勵工況得到的系統(tǒng)傳遞特性的頻率和幅值都低?？紤]到慣組真實的使用環(huán)境，應當在多自由度振動環(huán)境下進行傳遞特性試驗。

多自由度；慣組；非線性；傳遞特性

0 引言

慣組導航系統(tǒng)用于測量飛行器運動姿態(tài)。為了提高慣組的力學環(huán)境適應性，通常在慣組敏感本體與安裝基礎之間采取減振措施。而減振環(huán)節(jié)的插入改變了慣組小系統(tǒng)原有的剛性傳遞特性。傳遞特性是姿控系統(tǒng)設計的重要參數(shù)，工程上一般通過傳遞特性試驗獲取。慣組由3個角速度陀螺和3個加速度計構成，從而獲得反映慣組安裝處的6個自由度的運動量，通過傳遞特性矩陣可以得知飛行器的姿態(tài)。目前測量慣組小系統(tǒng)傳遞特性的方法是通過單自由度激勵試驗，分別獲取每個自由度的傳遞特性，這個過程沒有考慮到慣組多自由度間的耦合現(xiàn)象。文獻[1-3]將多點減振慣組簡化為線性多自由度模型，并進行了仿真分析，針對各自由度間可能出現(xiàn)的耦合現(xiàn)象，通過合理的減振器布局實現(xiàn)解耦。但試驗與研究結果表明，減振器都呈現(xiàn)較強的非線性特征[4]，線性多自由度系統(tǒng)已經不能準確描述慣組小系統(tǒng)各自由度間的耦合特性。

為了研究慣組在多自由度振動環(huán)境下的非線性傳遞特性，本文將慣組小系統(tǒng)簡化為六自由度非線性彈簧?質量系統(tǒng)。根據非線性系統(tǒng)建模的研究經驗[5]，選擇Duffing模型可較好地表征其非線性特性[6-7]?？紤]慣組真實使用環(huán)境，建立了多自由度振動環(huán)境下的動力學方程。使用數(shù)值積分方法，分別對慣組在自由衰減振動和強迫振動環(huán)境下的結構動力學響應特性和傳遞特性進行分析，以獲得各自由度振動環(huán)境及減振器非線性特性對慣組的結構動力學響應和傳遞特性的影響規(guī)律。

1 六自由度運動微分方程的建立

本文選取比較常見的四減振器外減振模型，4組完全相同的橡膠減振器安裝在慣組敏感本體的4個角且位于同一平面，慣組質心位于該平面。減振器兩端分別連接慣組本體和慣組安裝基礎。橡膠減振器具有立方剛度和黏性阻尼的特性。通過上下2個減振器夾緊慣組本體的支耳，減振器外沿和凸起分別提供垂直和平行于減振器安裝平面的剛度。由于這2個方向的減振器剛度不同，將4組減振器轉化為8個彈簧阻尼系統(tǒng)，如圖1所示，其中：立方體是慣組本體；虛線框內是彈簧阻尼系統(tǒng)；1～4號提供軸方向的剛度，5～8號提供平面的剛度。將各彈簧阻尼系統(tǒng)的變形量投影到坐標軸上，如圖2所示，可對慣組本體建立幾何方程和平衡方程。

圖1 六自由度基礎激勵模型

圖2 減振器變形示意

1.1 幾何方程

假設相鄰減振器之間距離為2，慣組本體質量為，重心與幾何中心重合，繞3個軸的轉動慣量都為。在基礎處施加運動激勵，其中沿、、軸的線運動分別為01、02、03，繞、、軸的角運動分別為01、02、03，慣組本體響應對應的線/角運動分別是1、2、3、1、2、3，令慣組本體對安裝基礎的相對運動分別為r1、r2、r3、r1、r2、r3，有：

ri= y–0i,riθ–0i，=1, 2, 3。 (1)

令慣組本體與安裝基礎在8處彈簧阻尼系統(tǒng)的相對位移分別為1～8，則幾何方程為

1.2 平衡方程

各處彈簧阻尼系統(tǒng)的彈性恢復力為

式中：1、2分別為向和向的減振器黏性阻尼；11、21分別為向和向的減振器線性剛度；13、23分別為向和向的減振器立方剛度。

對慣組本體進行受力分析，其平衡方程為

此處模仿線性系統(tǒng)定義，1～6分別為系統(tǒng)6個自由度的固有頻率，1～6分別為系統(tǒng)6個自由度的阻尼比，令12=411/，22=32=421/，42=4212/，52=62=4112/，211=41/，222=233=42/，244=422/，255=266=412/，1=13/11，2=23/21。對于Duffing模型，此處增加了系數(shù)1和2，分別表示減振器向和向立方剛度系數(shù)與線性剛度系數(shù)的比值。聯(lián)立式(2)～(4)，得到慣組小系統(tǒng)六自由度運動微分方程為

其中：0={010203010203}T；r={r1r2r3r1r2r3}T；=diag(122232425262)；=diag(211222233244255266)；=diag(122211)；

由式(5)可知：對于線性系統(tǒng)，1=2=0，方程退化為完全解耦的6個自由度的線振動方程與角振動方程，此時各自由度之間相互獨立，這與文獻[3]的結論一致；對于非線性系統(tǒng)，1,2≠0，矩陣的非對角元素不全為0，即不同自由度之間出現(xiàn)了耦合，此時各自由度之間不再獨立。目前慣組的傳遞特性試驗采用單自由度激勵的方式，并沒有考慮耦合項的影響，這與多自由度振動環(huán)境下獲取的傳遞特性必然有所差別。為了評估2種激勵方式造成的差別，需要對系統(tǒng)進行仿真分析。

進一步觀察矩陣，發(fā)生耦合的是向線運動和繞、軸角運動，以及、向線運動和繞軸角運動，但這2組耦合之間是獨立的。原因是減振器在垂直于安裝平面的剛度影響1、2、3這3個自由度，平行于安裝平面的剛度影響2、3、1這3個自由度，而這2個方向的剛度之間是正交的，相互獨立。

2 不同工況下傳遞特性的仿真計算

式(5)是一個二階微分方程組，可以變換為一階微分方程組

使用龍格?庫塔法對式(6)的初值問題進行求解，進一步計算獲取慣組本體的加速度響應。根據慣組小系統(tǒng)傳遞特性試驗的經驗，本文取線振動1=2=3=503rad/s，角振動4=5=6=754rad/s，阻尼比1=2=3=4=5=6=0.01，=0.01。由于橡膠減振器幾乎都表現(xiàn)出“軟特性”，所以這里假設1=2=-100。

2.1 自由衰減振動

圖3 3個自由度自由衰減時域曲線

為了進一步研究多自由度和非線性對各自由度響應的影響，利用Hilbert變換來構建解析信號[8]，獲取系統(tǒng)幅值?頻率特性，如圖4所示?？梢钥闯觯弘S著振動幅值的衰減，振動頻率都逐漸升高，這是典型的“軟彈簧”的非線性特性；相同幅值水平下，多自由度振動的頻率明顯低于單自由度振動的，可見多自由度振動的非線性特性更加明顯，說明不同自由度之間的相互耦合會增強系統(tǒng)的非線性特性。

圖4 3個自由度幅值?頻率曲線

2.2 強迫振動

為了獲取系統(tǒng)在單自由度和多自由度振動環(huán)境下的傳遞特性，在慣組安裝基礎上施加隨機運動輸入。使用輸入響應信號的自功率譜和互功率譜來估計系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

()=RE()EE()-1。 (7)

式中：EE()是輸入信號的自功率譜；RE()是響應與輸入的互功率譜。

隨機振動輸入信號功率譜選取40～150Hz的平譜，通過控制均方根值來確定激勵的量級水平。計算了單獨加載向線振動，繞、軸角振動以及同時加載多個自由度工況下的強迫振動，包括同時激勵3個自由度、激勵其中2個自由度以及單獨激勵1個自由度共7種工況。其中線加速度均方根值為400，角加速度均方根值為90000。利用式(7)對輸入和響應的時域信號進行分析可以計算各工況下系統(tǒng)的傳遞特性，結果見圖5，諧振頻率與放大倍數(shù)統(tǒng)計值見表1。

圖5 隨機振動傳遞特性幅值曲線

表1 傳遞特性諧振頻率與放大倍數(shù)

從結果可以看出，相同量級水平下，隨著激勵自由度的增加，各自由度傳遞特性的諧振頻率和諧振峰幅值都會降低，即激振自由度越多，相互之間耦合的影響越大，系統(tǒng)非線性特性越強。

傳遞特性的結果是姿控系統(tǒng)設計改進的重要依據，而姿控系統(tǒng)對慣組低頻的諧振峰更加敏感，相同試驗量級下，單自由度振動環(huán)境獲取的慣組傳遞特性頻率較高，這對姿控系統(tǒng)的設計不利。而多自由度振動環(huán)境更加接近真實的使用環(huán)境，獲取的傳遞特性更加趨向“保守”。

3 結束語

將典型的四減振器慣組系統(tǒng)簡化為六自由度Duffing模型，建立了基礎激勵下系統(tǒng)的運動微分方程；利用龍格?庫塔法對慣組的非線性傳遞特性進行了仿真分析。結論如下：

1）剛度非線性造成了不同自由度之間的耦合，且發(fā)生耦合的是1、2、3這3個自由度以及2、3、1這3個自由度，這2組耦合之間是相互獨立的；

2）多自由度工況相對于單自由度工況，加強了各自由度的非線性特征，且加載自由度越多，獲得的非線性特性越明顯；

3）慣組減振器幾乎都表現(xiàn)出“軟特性”，多自由度振動環(huán)境下的慣組傳遞特性頻率更低，其結果用于姿控系統(tǒng)設計更加“保守”。

多自由度之間的耦合普遍存在。單自由度試驗通過人為的方法實現(xiàn)了不同自由度之間的解耦，其結果必然會失真?？紤]到傳遞特性是姿控網絡設計的重要依據，且慣組真實工況更接近于多自由度振動環(huán)境，為獲得更高的試驗精度，建議在多自由度振動環(huán)境下對慣組進行傳遞特性試驗。

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（編輯：許京媛）

Nonlinear transfer characteristics of inertial measurement unit in vibration environment of multi-degrees of freedom

FU Wei, DING Zhenjun, BIAN Xuepeng

(Beijing Institute of Structure and Environment Engineering, Beijing 100076, China)

The inertial measurement unit (IMU) is the sensor of the attitude control system. The measurement precision of the transfer characteristics of the IMU directly affects its navigation accuracy. A damper is commonly used for the vibration isolation of the IMU, obviously with nonlinear characteristics. In order to analyze the transfer characteristics of the IMU under various working conditions, this paper simplifies the IMU as a Duffing cubic stiffness model with six degrees of freedom. The differential equations of motion under the base excitation is deduced, and solved by the Runge-Kutta method. The transfer characteristics of the system under free and forced vibration conditions are analyzed. It is shown that the frequency and the amplitude of the system under the working excitation condition of multi-degrees of freedom are lower than that under the excitation of single-degree of freedom. In the working environment of the IMU, the actual test should be carried out in the vibration environment of multi-degrees of freedom.

multi-degrees of freedom; IMU; nonlinearity; transfer characteristics

V241.6

A

1673-1379(2018)02-0123-05

10.3969/j.issn.1673-1379.2018.02.004

付瑋（1986—），男，碩士學位，主要從事結構動力學的試驗與仿真技術研究。E-mail: yuzhoufw@163.com。

2017-11-10；

2018-03-15