周太平 易圣文 陳茂華

（1.江西省測繪成果質量監(jiān)督檢驗測試中心 江西南昌 330209；2.江西省基礎測繪院 江西南昌 330209）

1 引言

測量的目的是為了得到測量結果，但在許多場合下僅給出測量結果往往還不充分，在不同國家和地區(qū)，以及不同測量領域，使用大家相互認可的評價體系對測量結果的質量進行評價就顯得尤為重要，測量不確定度是目前國際上廣泛認可的測量結果評價概念。我國在1998年引進了這一概念，發(fā)布國家計量技術規(guī)范JJF1001—1998《通用計量術語及定義》。隨著不確定度理論的進一步發(fā)展，我國于2011年和2012年對相應的國家計量技術規(guī)范進行了版本更新，即JJF1059.1—2012《測量不確定度評定與表示》和JJF1059.2—2012《用蒙特卡洛法評定測量不確定度》以及JJF1001—2011《通用計量術語及定義》。測繪領域在對測量結果的評價中一直習慣使用“測量誤差”的概念，出于遵從國家的度量衡統(tǒng)一的要求，為測繪與其他學科更好地融合，使用國際國內廣泛認可的“不確定度概念”對“測量誤差”進行等效換算顯得尤為必要。本文通過對兩者概念的聯(lián)系，研究它們相互轉化換算的可能。

2 測量不確定度與誤差

在我國頒布的JJF1001—2011《通用計量術語及定義》中對“測量不確定度”、“測量誤差”做出了明確的定義和解釋，“測量誤差”（measurement error，error of measurement）簡稱“誤差”（error），是測得的量值減去參考量值；“測量不確定度”（measurement uncertainly，uncertainly of measurement） 簡稱不確定度（uncertainly），是根據(jù)所用到的信息，表征賦予被測量量值分散性的非負參數(shù)[1]。根據(jù)JJF1001—2011《通用計量術語及定義》和JJF1059.1—2012《測量不確定評定與表示》中的定義和對定義的解釋，對他們眼中的“測量不確定度”和“測量誤差”異同總結如表1。

表1 測量不確定度與測量誤差的區(qū)別

顯然，測繪領域的誤差理解與國家質檢總局系統(tǒng)發(fā)表文件中定義的測量誤差基本相同，只是符號相反。在《誤差理論與測量平差基礎》中將誤差定義為：

在實際的觀測中，觀測個數(shù)是n個，由于誤差的隨機性，可以肯定的是n個觀測的觀測結果不盡相同，每一次的測量誤差大小也不一樣，單純的用誤差衡量觀測值的精度顯然不夠，在測量領域常用中誤差σ來衡量這n次觀測的精度，這與衡量精度的不確定度U是否存在一定的聯(lián)系，他們是否可以由一定的數(shù)學關系式相互轉化。

3 擴展不確定度U與中誤差σ的關系

在測繪領域，對于觀測結果隨機變量X的中誤差定義式為

式中f(x)為誤差Δ的概率密度函數(shù)，而σ就是中誤差

σ 恒取正號[2]。

由此可見，σ的大小可以反映測量結果精度的高低，即反映誤差分布的密集或離散的程度。同時，測量不確定度是根據(jù)所用到的信息，表征賦予被測量量值分散性的非負參數(shù)。顯然兩者都是表征測量量值的分散性的非負參數(shù)，但是計量領域很多人認為中誤差僅是針對測量結果的統(tǒng)計計算，對測量過程的分析沒有，而認為中誤差的概念不夠全面。其實不然，在公式的定義中，中誤差就是不確定度評定中的合成標準不確定度，兩者是可以畫等號的。

其中 σi為 Xi的標準差（中誤差），σij為 Xi與 Yj的協(xié)方差，又設有X的線性函數(shù)為

式中：

和k0為常數(shù)。

根據(jù)中誤差的定義可知Z的中誤差為

所以

將上式展開成純量形式，得

而對于不確定度評定，當各輸入量之間存在不可忽略的相關性時，合成標準不確定度成為

式中，u（xi，xj）為輸入量 xi和 xj之間的協(xié)方差。

對于式（8）和式（9）是同一個方程的兩種不同的表示形式，兩個的計算結果和過程一樣，只是表示方法不同。即

由此可見，觀測值為線性函數(shù)的擴展不確定度就是k倍的中誤差。對于觀測值為非線性函數(shù)的觀測值，中誤差和不確定度同樣可以在數(shù)學上相互轉化，在中誤差中通過定權完成計算，在不確定度評定中通過解析各觀測值的相關性完成計算，定權和相關性確定數(shù)學原理一樣，最后計算得出的擴展不確定度仍然是k倍的中誤差。

4 實際應用對比

測量儀器望城標準長度檢定場是一個比長基線場。在本次實際對比中，應用一臺檢定有效期內的“Leica TS06power-2”全站儀對其中一段比長基線重復測量10次，獲得測量結果（溫度氣壓改正后的測量結果）如表2，分別使用不確定度評定和中誤差計算方法對測量結果的質量進行評價。

在表格中按照實測基線長與標準基線長之差，計算得△i、△i△i和Σ△i△i。

因為本次測量中的10次觀測相互獨立，應用式（3）計算觀測結果的質量評定指標中誤差有：

表2 Leica TS06power-2″全站儀（編號：1354386）觀測標準基線結果

同樣的，應用公式（9）對觀測結果的不確定度進行評定，這10次觀測結果中，由觀測引入的不確定度分量：

式（12）和（13）相等。在不確定度評定中，式（12）的結果是不確定度評定中的一個分量，還有很多因素會引起觀測結果的誤差，比如標準基線自身引入的不確定分量、儀器和棱鏡安置引起的不確定分量、溫度氣壓測量誤差引起的不確定度分量等等，通過建立合成標準不確定計算的模型，得出測量結果的合成標準不確定度；在測量結果的中誤差計算中，這些分量一樣需要考慮，通過定權建立權陣，應用協(xié)方差傳播理論計算出測量結果的中誤差。不難看出，中誤差和不確定度計算的過程一樣，盡管公式的引用可能有區(qū)別，但只是不同學科在概念上的區(qū)別，只要引入的分量相同，大小相等，最后計算出的結果就相同。但不能講中誤差就是等于合成標準不確定度，必須要看兩者的計算過程，對比兩者的數(shù)學模型，引入誤差或者不確定度分量的大小等，就可以確定兩者的關系。

5 結論

本文從不確定度和誤差的概念出發(fā)，通過比較不確定度評定和中誤差計算的數(shù)學方法，得出了擴展不確定度和中誤差的數(shù)學關系式。這樣，中誤差可以通過一定的數(shù)學轉換，按照不確定度的表示要求，將測量結果完整的表示出來。在計量領域的不確定度評定工作中，首先需要建立數(shù)學模型，而在測繪領域，中誤差的求定中建立數(shù)學關系式和定權也是同樣的工作；在計量領域習慣將不確定度評定分為A類不確定度評定和B類不確定度評定，其實在測繪領域利用協(xié)方差傳播律同樣可以做到。但計量領域往往認為中誤差的計算太過簡單，容易忽視一些對測量結果帶來不確定度的因素，這是由于對中誤差的片面誤解，只要建立的數(shù)學模型和定權合理，兩者是等同的。由此可見，中誤差和不確定度評定如果需要，通過對比兩者的計算過程，可以很方便的相互轉化換算。

參考文獻：

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