澳門大學(xué)教育學(xué)院(999078) 江春蓮 劉付茵

2016年7月24-31日第13屆國際數(shù)學(xué)教育大會(ICME-13)在德國漢堡召開,章勤瓊和譚莉(2016)對整個會議議程作了介紹,而本文則主要介紹來自柏林自由大學(xué)的岡特·齊格勒(Gunter Ziegler)教授的大會報告,報告題目是《什么是數(shù)學(xué):為什么需要問這個問題、在哪里可以體驗到或?qū)W會數(shù)學(xué)、誰可以教數(shù)學(xué)?》,齊格勒教授的報告分為兩大部分,一是回答什么是數(shù)學(xué)?二是如何進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué),體現(xiàn)數(shù)學(xué)的四個特質(zhì).最后我們將結(jié)合我國中小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)實際情況作些反思.

一、什么是數(shù)學(xué)?

齊格勒教授用四種方式來解釋什么是數(shù)學(xué),即描述式的、意象式的、全景式的和人類文化的視角.

1、描述式

他引用不同的資源對“什么是數(shù)學(xué)”的描述說明不同的人對“什么是數(shù)學(xué)”有不同的認(rèn)識.例如:(1)它是一本書的名字,是理查德·柯朗(Richard Courant)和赫伯特·羅賓(Herbert Robbins)寫的.該書自1941年出版以來,經(jīng)過幾次修訂,我國也有多次出版.在該書序言中對什么是數(shù)學(xué)的解釋是:作為人類思維的表達(dá)方式,數(shù)學(xué)反映的是積極的愿望、縝密的思考和對完美的追求,其基本的要素是邏輯和直覺、分析和構(gòu)造、一般性和特殊性……不容置疑,所有數(shù)學(xué)的發(fā)展多少都源自實際應(yīng)用的需要,一旦數(shù)學(xué)在實際中獲得了應(yīng)用,它就獲得了發(fā)展的動力,甚至超出直接使用的范圍.不僅在古代,數(shù)學(xué)源自實際應(yīng)用,而后逐漸發(fā)展成理論科學(xué),現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展很多也是由工程和物理所推動的.幸運(yùn)的是,創(chuàng)造性大腦常常忽視教條的哲學(xué)信仰,因為遵循的話就會妨礙他們完成建構(gòu).無論是對專家還是對外行來說,唯一能回答“什么是數(shù)學(xué)”這個問題的,不是哲學(xué)而是積極的數(shù)學(xué)體驗,也就是說我們只有通過“做數(shù)學(xué)”才能明白數(shù)學(xué)的涵義.(2)維基百科的定義:數(shù)學(xué)以數(shù)量(數(shù))、結(jié)構(gòu)、空間和變化為研究主題,無論是數(shù)學(xué)家還是哲學(xué)家,他們對數(shù)學(xué)的定義和范圍持不同的觀點.這個定義列出了數(shù)學(xué)的組成部分,但沒有定義什么是數(shù)學(xué).(3)德文的維基百科給出的定義:數(shù)學(xué)是一門科學(xué),它起源于對幾何圖形的研究和數(shù)的計算.對數(shù)學(xué),沒有一個通用的被接受的定義.今天,我們常常把它描述成研究抽象結(jié)構(gòu)的科學(xué),它運(yùn)用邏輯的定義創(chuàng)造自身,運(yùn)用邏輯研究其性質(zhì)和模式.齊格勒教授認(rèn)為德國的定義也不合適,因為很多研究數(shù)學(xué)的人其實不一定在研究抽象的結(jié)構(gòu).

齊格勒教授認(rèn)為上述對數(shù)學(xué)的多種定義是非?；?、不正確的,這主要是因為如下的三個原因:(1)“數(shù)學(xué)是什么”這個問題很難;(2)關(guān)于這個問題有許多合乎常理的答案;(3)這個問題可以從三個不同的方面來回答:(a)數(shù)學(xué)是可用于日常生活的工具箱;(b)數(shù)學(xué)是文化的一部分,有著6000多年的歷史;(c)數(shù)學(xué)是現(xiàn)代高科技的基礎(chǔ),這一點很重要.

2、意象式

齊格勒教授引用了多種資料說明,人們對數(shù)學(xué)的意象是很片面的.如(1)2007年英國希瑟·曼迪克等(Heather Mendick)的報告《數(shù)學(xué)的意象與本質(zhì):教育、娛樂和社會公正》,該報告說明學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識僅限于數(shù)和基本的算術(shù),所以他們的數(shù)學(xué)意象是非常狹隘和不正確的.(2)如果在google上輸入“數(shù)學(xué)”搜索圖片,得到的大多是寫在黑板上的數(shù)學(xué)符號(包括公式和演算等).雖然這些都是數(shù)學(xué),但數(shù)學(xué)并不僅僅是這些,所以我們對數(shù)學(xué)的意象不應(yīng)該僅限于此.(3)德國科技部部長訪問一個數(shù)學(xué)研究中心時,應(yīng)別人的邀請在黑板上寫點數(shù)學(xué),她寫下了a2+b2=c2,仍然是數(shù)學(xué)公式!(4)莫斯科游行隊伍中一個人舉著牌子,上面有一幅統(tǒng)計圖的,并宣稱他不相信選舉委員會的主席丘洛夫(Churov),但他相信高斯.這是齊格勒教授喜歡的意象,因為齊教授是做幾何的,所以他很喜歡有圖形的東西.

3、全景式

齊格勒教授以德國在不同年代出版的《數(shù)學(xué)》封面(圖1)為例說明人們對數(shù)學(xué)認(rèn)知的變化.1963年的封面由四幅圖組成,分別是埃及人建造金字塔、中國人打算盤、地理學(xué)家研究地球、開普勒研究天文等,圖片顯示人在做數(shù)學(xué).1983年的封面仍有金字塔、算盤、天體,增加了莫比烏斯帶、楊輝三角、骰子、韋恩圖和火箭等,數(shù)學(xué)的范圍更廣了.但1983年的圖有一些錯誤,如行星繞著太陽運(yùn)轉(zhuǎn),但該圖中行星和太陽的大小比例不合適,太陽也沒在行星軌道的一個焦點處;莫比烏斯帶只有一面,所以不能涂兩種不同的顏色.與1963年版本相比,1983年的版本砍掉了太空旅行的部分,而增加了作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的集合論的內(nèi)容,所以增加了韋恩圖.2001年和2010年的封面保留了骰子、幾何、數(shù)字等,添加了分形圖形和作為計算機(jī)基礎(chǔ)的二進(jìn)制數(shù)字等,數(shù)學(xué)逐步走向現(xiàn)代化.

圖1

4、人類文化的視角

最后,齊格勒教授通過兩種做數(shù)學(xué)的人引入數(shù)學(xué)的文化視角.一種是數(shù)學(xué)家.在前面提到的希瑟·曼迪等人的報告中還指出,許多學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)家的形象是:中產(chǎn)階級的白種老男人,癡迷于自己的研究領(lǐng)域,缺乏社交能力而且除數(shù)學(xué)以外沒有任何個人生活.造成學(xué)生對數(shù)學(xué)家形成這一刻板印象的原因是多方面的,其中包括大眾文化中的數(shù)學(xué)家,如美麗心靈中的約翰·納什等.試想想,如果學(xué)生對數(shù)學(xué)家的印象是這樣的,他的夢想會是成為數(shù)學(xué)家嗎?答案恐怕是否定的.因此,齊格勒教授認(rèn)為“數(shù)學(xué)是什么”這個問題還應(yīng)該涵蓋了第四個方面的內(nèi)容,即數(shù)學(xué)是一種人類活動,而且這四個方面的內(nèi)容均應(yīng)在學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)中呈現(xiàn)出來.

另一個故事是關(guān)于媒體對數(shù)學(xué)的意象,講的是普通的人.2010年,媒體報道女孩能夠和男孩一樣學(xué)好數(shù)學(xué),配的圖片是一個小女孩在玩計算器.齊格勒教授覺得該圖片似曾相識,通過查看照片信息,得知照片是1998年拍的,主角名叫莎拉·雪莉(Sarah Sherry),于是他通過各種方式尋找莎拉現(xiàn)今的狀態(tài).最終,他得到莎拉的親自回復(fù),說她當(dāng)時在讀幼兒園,那天她做完了數(shù)學(xué)作業(yè),接著玩計算器.莎拉畢業(yè)于曼徹斯特大學(xué)材料科學(xué)專業(yè),從事一個需要很多數(shù)學(xué)的工作,愛玩社交軟件,熱愛舞蹈,所以莎拉確實是一個很好的媒體對象,因為她的事跡說明女性也可以從事數(shù)學(xué)或與數(shù)學(xué)相關(guān)的工作,而且也可以是生動活潑的、社交能力好、有自己私人生活的人.

二、如何進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué),體現(xiàn)數(shù)學(xué)的四個特質(zhì)

1、突破克萊茵講的雙重不連續(xù)性

1908年,著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家菲利克斯·克萊因在其名著《高觀點下的初等數(shù)學(xué)》里引進(jìn)數(shù)學(xué)的雙重不連續(xù)性概念(Klein’s Double Discontinuity).一是中學(xué)數(shù)學(xué)到大學(xué)高等數(shù)學(xué)的不連續(xù)性.大一新生入學(xué)之初發(fā)現(xiàn)他面對的數(shù)學(xué)問題跟中學(xué)里學(xué)過的東西好像完全沒有聯(lián)系,自然地,他很快就忘記了中學(xué)里學(xué)過的東西.二是從大學(xué)數(shù)學(xué)到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的不連續(xù)性.學(xué)生大學(xué)畢業(yè)后,當(dāng)了數(shù)學(xué)教師,要教授傳統(tǒng)的初等數(shù)學(xué).由于他難以將當(dāng)前的教學(xué)內(nèi)容和他在大學(xué)學(xué)到的高等數(shù)學(xué)聯(lián)系起來,于是很快就回到了傳統(tǒng)的教學(xué)方式,大學(xué)學(xué)習(xí)至多成為一種愉快的回憶,但對他的中學(xué)教學(xué)毫無影響.雙重不連續(xù)性是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重大問題.克萊因試圖解決,但一直沒有徹底解決,齊格勒教授介紹了三個他參與的試圖解決這一問題的項目,并坦承,每一個項目都不能真正解決這個問題.

2、數(shù)學(xué)概論

第一個項目是《數(shù)學(xué)概論》,它是一門本科課程,該課程試圖給學(xué)生展示數(shù)學(xué)的全貌,其成果就是齊格勒教授與安德魯·盧斯(Andreas Loos)共同撰寫的《數(shù)學(xué)概論》一書.該書分為如下三個部分:(1)什么是數(shù)學(xué)?介紹數(shù)學(xué)的涵義,數(shù)學(xué)研究,數(shù)學(xué)公式、圖像和證明,以及數(shù)學(xué)哲學(xué);(2)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵概念,包括無窮、維度、質(zhì)數(shù)、數(shù)、函數(shù)和概率;(3)數(shù)學(xué)實踐,包括計算、算法、應(yīng)用和大眾數(shù)學(xué).該書每一章均有2-4頁的總結(jié),說明讀者應(yīng)當(dāng)知道的內(nèi)容.

齊格勒教授以一問一答的形式列出了該書的部分精彩內(nèi)容.如數(shù)學(xué)從哪里來?數(shù)和幾何圖形起源于石器時代.數(shù)學(xué)有多大?全世界有多少數(shù)學(xué)家?前面一個問題他沒有回答,對后一個問題的回答則取決于對數(shù)學(xué)家的定義.如果只是考慮有數(shù)學(xué)博士學(xué)位的人,那么截止至2016年11月26日,來自數(shù)學(xué)家譜計劃(Mathematics Genealogy Project)統(tǒng)計的數(shù)據(jù)顯示,約20多萬.如何做數(shù)學(xué)?數(shù)學(xué)研究是怎樣的?了解數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)研究的方法之一是收集數(shù)學(xué)家的生平.當(dāng)代的數(shù)學(xué)研究在做什么?有什么巨大的挑戰(zhàn)?當(dāng)代部分?jǐn)?shù)學(xué)研究是在解決克雷數(shù)學(xué)研究所提出的千禧年(2000年)數(shù)學(xué)問題.數(shù)學(xué)有多少分支?根據(jù)美國數(shù)學(xué)學(xué)會給出的數(shù)學(xué)學(xué)科分類標(biāo)準(zhǔn),數(shù)學(xué)分支有5020個.化學(xué)有化學(xué)工業(yè),為什么數(shù)學(xué)沒有自己的產(chǎn)業(yè)?其實,數(shù)學(xué)也有自己的產(chǎn)業(yè),如金融、電信等.什么是數(shù)學(xué)的核心概念?它們?nèi)酝苿訑?shù)學(xué)研究的發(fā)展嗎?第一個問題的答案在《數(shù)學(xué)概論》第二部分已列明,后一個問題的答案也是肯定的.數(shù)學(xué)有什么用?數(shù)學(xué)是理解世界的基礎(chǔ),同時也是科學(xué)技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ).日常生活中,我們什么時候會用到數(shù)學(xué)知識?我們不僅在計算時運(yùn)用數(shù)學(xué),在查地圖和計劃旅行等各種活動中都會用到數(shù)學(xué).日常生活中,我們在什么地方可以看到數(shù)學(xué)?在每臺智能手機(jī)中看到的數(shù)學(xué)比單個人在學(xué)校里學(xué)到的數(shù)學(xué)多得多!

3、數(shù)學(xué)意象

第二個項目是數(shù)學(xué)意象,其作品是《數(shù)學(xué)—這不是藝術(shù)嗎!》一書,該書每章的開篇是2-4頁的介紹,其余頁面則是對那2-4頁內(nèi)容的詳細(xì)說明.齊格勒教授收集了24個圖片,如:《艾美·諾瑟:現(xiàn)代代數(shù)之母》一書的封面(圖2),該封面上的女子卻不是艾美·諾瑟(Emmy Noether)本人;德國《數(shù)學(xué)》的封面(圖1);解決了千禧年數(shù)學(xué)問題中的龐加萊猜想的數(shù)學(xué)奇才格里戈里·雅科夫列維奇·佩雷爾曼(Grigori Yakovlevich Perelman)的照片,佩雷爾曼因拒絕了兩個數(shù)學(xué)大獎,即菲爾茲獎和千禧年大獎而出名;5歲的莎拉·雪利玩計算器的照片等.這些圖片背后都有故事.

圖2

4、數(shù)學(xué)故事

第三個項目是故事.齊格勒教授指出,盡管在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,我們沒有那么多的時間去講故事,但是我們?nèi)匀恍枰@些內(nèi)容,讓學(xué)生懂得數(shù)學(xué)是如何解決問題的,數(shù)學(xué)是如何發(fā)展的及其對社會和科技的影響.這個項目的成果是《我在數(shù)數(shù)嗎?數(shù)學(xué)中的故事》,書中分享了許多趣味數(shù)學(xué)故事,特別是數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的地方的故事,如桌上、咖啡室、床上、教堂里等等.此外,該書還介紹了數(shù)學(xué)的三大傳奇,包括數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)家之間的爭論、因為柯瓦列夫斯卡婭(Kovalevskay)的錯誤導(dǎo)致數(shù)學(xué)沒有諾貝爾獎,和亞歷山大(Alexander Grothendieck)的失蹤.

三、啟示

齊格勒教授的報告給我們的啟示有:(1)我們在教數(shù)學(xué)的時候,需要向?qū)W生展示數(shù)學(xué)的不同方面.我們不僅需要介紹數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想和方法,還需要介紹這些東西是如何發(fā)展而來的,如何應(yīng)用的,如何促進(jìn)社會和科技的發(fā)展等數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)思想史的知識;(2)多用來自現(xiàn)實世界中的例子來教數(shù)學(xué),幫助學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)知識解決生活中的問題,讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)源自生活,應(yīng)用于生活;(3)為讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的趣味性,可以介紹數(shù)學(xué)家的趣事、開展數(shù)學(xué)活動或者解趣味數(shù)學(xué)謎題等,反映數(shù)學(xué)作為人類的一種文化活動的特點.

[1]Mendick,Heather(2007).Mathematical images and identities:education,entertainment,social justice:Full Research Report ESRC End of Award Report.RES-000-23-1454.Swindon:ESRC.

[2]章勤瓊,譚莉(2016)第13屆國際數(shù)學(xué)教育大會綜述.小學(xué)教學(xué)(數(shù)學(xué)版),4-6.