江蘇省蘇州學(xué)府中學(xué)校(215009) 蔣惠麗

新課程改革后,與原課本相比,圓的內(nèi)容雖然刪幅較大,但是圓仍然是初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容[1].筆者結(jié)合《標準》中對圓的學(xué)習(xí)內(nèi)容的要求,圓的定義和有關(guān)性質(zhì),以及平時練習(xí)中學(xué)生的易錯點,設(shè)計了一節(jié)圓的相關(guān)知識的復(fù)習(xí)課,主要研究一類與動點有關(guān)的最值問題.

1 基本情況分析

1.1 學(xué)情分析

本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了圓的基礎(chǔ)上的一節(jié)復(fù)習(xí)課,既能幫助學(xué)生解決學(xué)習(xí)過程中遇到的難點,又能培養(yǎng)學(xué)生自主探究,勤于思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣,體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中轉(zhuǎn)化的妙不可言.

1.2 教學(xué)目標

(1)經(jīng)歷探索在圓上尋找一點到定點的距離是最值的過程,并能夠運用所學(xué)的知識論證自己的猜想;(2)熟練運用圓的基本知識解決問題;(3)在解決問題的過程中,提高學(xué)生的想象能力和構(gòu)圖能力,滲透類比、轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學(xué)思想.

教學(xué)重點:在圓上尋找一點到定點的距離是最值以及動點軌跡的確定.

教學(xué)難點:動點軌跡的確定.

2 教學(xué)實錄

2.1 發(fā)現(xiàn)模型

2.1.1 問題發(fā)現(xiàn)與解決

在練習(xí)中發(fā)現(xiàn),學(xué)生有一題的錯誤率非常高,經(jīng)統(tǒng)計錯誤點主要是漏解和不會.原題如下:點P是⊙O所在平面上的點,點P到⊙O最大距離為10,最小距離為2,則半徑為____.

師:你們當時是怎么思考的?

生1:(畫出圖1)構(gòu)造直線OP,與圓有兩個交點M、N,從而PN=10,PM=2,那么MN=8,則半徑為4.

圖1

師:很好,還有同學(xué)要補充的嗎?

生2:還有一種情況(畫出圖2),構(gòu)造構(gòu)造直線OP,與圓有兩個交點M、N,從而PN=10,PM=2,那么MN=12,則半徑為6.

圖2

師:不錯哦!還有同學(xué)要補充的嗎?

生3:既然點P是⊙O所在平面上的點,那就應(yīng)該分三種情況才對:點P在圓上、點P在圓外及點P在圓內(nèi),只不過點P在圓上是不可能的.

師:恩,補充的非常好,同學(xué)們,我們只要抓住點與圓的三種位置關(guān)系,分別畫出圖形,我們就能夠避免漏解了.那么大家還有什么問題嗎?

生4:老師,我還是沒明白,為什么點P到⊙O最大距離就是PN,最小距離就是PM?

師:對哦,誰能幫助他解決這個疑問呢?(全班沉默,陷入思考)我們可以小組內(nèi)討論一下.(1分鐘后,討論無果,學(xué)生坦言:無從下手!)同學(xué)們,我們以圖1為例,如果PM不是最小距離,在⊙O上任取一點Q(異于點M),PQ會不會比PM短?(學(xué)生再次討論,陸續(xù)有學(xué)生舉手)

生5:不會的,PQ肯定比PM大!

師:恩,講講你的理由.

生5:連接OQ、PQ,因為三角形兩邊之和大于第三邊,而OQ=OM,所以PQ大于PM.

師:太贊了!根據(jù)點Q的任意性,我們發(fā)現(xiàn)對于任意一點Q,都有PQ＞PM,那么PM就是點P到⊙O的最小距離.

(板書)已知:如圖1,點P是⊙O外任意一點,連接OP交⊙O于點M,延長PO交⊙O于點N.求證:點M是圓上到點P距離最小的點,點N是圓上到點P距離最大的點.

圖3

證明 如圖3,在⊙O上任取異于點M、N的點Q,連接PQ、OQ.一方面,由于PQ+OQ＞OP,即PQ+OQ＞OM+PM,又OM=OQ,則PQ＞PM,根據(jù)點Q的任意性,可知點M是圓上到點P距離最小的點;另一方面,不妨設(shè)PQ＞OQ,類似地,由于PQ-OQ＜OP,則PQ＜OQ+OP,又ON=OQ,則PQ＜ON+OP,因此PQ＜PN,根據(jù)點Q的任意性,可知點N是圓上到點P距離最大的點.

師:當點P在圓上時,根據(jù)圓的定義易知結(jié)論成立.對于點P在圓內(nèi)的情況,類比點P在圓外的情況,課后同學(xué)們自己再獨立的書寫一遍!到此我們就解決了大家的疑惑了,我們一起找到了這種方法的依據(jù),這么美的結(jié)論,如何用一句話總結(jié)?

2.1.2 精彩生成

學(xué)生討論的很熱烈,最終的結(jié)論是:圓上到平面內(nèi)一點距離取得最值的點是該點與圓心確定的直線與圓的兩個交點.一般地,平面上一點是定點,圓上的點是動點,我們共同約定把這個模型記為“定點動圓”模型,把這個精彩的命題稱為最值定理.

2.1.3 簡單應(yīng)用

如圖4,點A(3,4)、B(0,-2),⊙A的半徑為1,點P是⊙A上一點,則BP的最大值為___,最小值為___.

解析本題的點B是個定點在⊙A外,點P是⊙A上動點,符合“定點動圓”模型,要在⊙A上尋找點P使得BP取得最值,根據(jù)定理,點P就是直線AB與⊙A的交點,因此BP的最大值為BA+1,最小值為BA-1.

圖4

在直角坐標系的背景下,本題能夠幫助學(xué)生強化對“定點動圓”模型的認識,引導(dǎo)學(xué)生直接使用最值定理來解決問題.

2.2 兩個基本模型

前面涉及的問題中有一個共同特點,就是圓都是題目中已知的,我們可以直接利用最值定理很快的解決問題.然而很多時候,題目的條件和圖形中并未出現(xiàn)圓,需要我們根據(jù)題目中的條件構(gòu)造出“定點動圓”模型.

(一)“半徑”模型

2.2.1 建構(gòu)模型

例1如圖5,菱形ABCD邊長為 2,∠BAD=120°,點E是AB中點,點F是BC上動點,沿EF翻折點B落到B‘處,則DB′的最小值為____.

圖5

師:大家先熟悉一下題目,有什么想法可以交流.(很安靜,無人交流)

師:我們看看題目中的點D和點B′各是什么類型的點?

生6:點D是定點,點B′是個動點.

師:那我們再觀察一下,點B′是怎么動的,你能不能畫出它的運動軌跡?不妨拿張紙折一折.(學(xué)生紛紛動手操作)

生7:我感覺點B′的運動軌跡是個圓.(學(xué)生贊同)

師:很好,大家是通過操作發(fā)現(xiàn)的,那接下來該如何證明我們的猜想呢?如果真的是圓,那這個圓又是如何確定的呢?

生8:根據(jù)翻折的性質(zhì),BE=B′E,BF=B′F,而點E是定點,點F是BC上動點,比較下來我選擇BE=B′E,這個式子里只有點B′是動點,也就是說點B′到定點E的距離等于BE的長度1,也就是說點B′在一個半徑為1的圓上運動.

師:把你思考的過程也和大家分享了,非常好!其實,由于點F運動范圍的限制,點B′的運動軌跡只是以點E為圓心,半徑為1的圓的一部分.那接下來DB′的最小值該怎么求?

生9:雖然是一部分,但是還是可以用“定點動圓”模型和最值定理求出DB′的最小值.連接DE,DB′的最小值為DE-1.

2.2.2 精彩生成

本題的特點是動點在運動的過程中,始終保持到某一定點的距離為定值,結(jié)合圓的定義,我們發(fā)現(xiàn)該動點的軌跡為一定圓,從而可以化歸為“定點動圓”模型,利用最值定理不難找到解決問題的方法,我們發(fā)現(xiàn)點B′的運動過程可以看作線段BE的端點B′繞著點E旋轉(zhuǎn),而線段BE的長度就是圓的半徑,為方便記憶和使用,我們把這種模型簡稱為“半徑”模型.

2.2.3 應(yīng)用模型

1. 如圖 6,∠ABC=90°,BC=5,AB=13,點P是邊AB上的動點,沿CP翻折點B落到點B′處,則AB′的最小值為____.

圖6

2.如圖7,菱形ABCD的邊AB=8,∠B=60°,點P是AB上一點,BP=3,點Q是CD邊上一動點,將梯形APQD沿直線PQ折疊,點A的對應(yīng)點為A′,當CA′的長度最小時,CQ的長為()

圖7

(二)“直徑”模型

2.2.4 建構(gòu)模型

如圖 8,∠ABC=90°,AB=6,BC=4,點P是動點,∠BAP=∠PBC,則CP的最小值為___.

圖8

師:同學(xué)們讀完這道題有什么想法?

生10:點C是定點,點P是動點,一定一動,感覺可以用“定點動圓”模型,但是有沒有發(fā)現(xiàn)圓.

師:嗯,你的想法很有見地,本題中動點P的運動軌跡到底是不是圓呢?

生(自由回答):肯定是的,可能是的,應(yīng)該是的,不一定吧……

師:沒關(guān)系,如果我們暫時解決不了這個問題,我們不妨從條件出發(fā),看看還有那些發(fā)現(xiàn)?

生 11:∠P=90°.

師:為什么?

生 11:因為∠BAP=∠PBC,所以∠P=180°-(∠BAP+∠ABP)=180°-(∠PBC+∠ABP)=90°.

師:很好,因為你的發(fā)現(xiàn),我們解決這道題就有了突破口.點P是不是到某個定點的距離相等呢?這90°的角又該怎么用?

生12:取AB的中點O,連接PO,點P到點O的距離保持不變等于AB長的一半.

師:理由是······

生12:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

師:很厲害!也就是說點P在以AB為直徑的圓(部分)上運動.我們構(gòu)造了一個“定點動圓”模型,根據(jù)最值定理,CP的最小值也就迎刃而解.

2.2.5 精彩生成

本題的特征是動點在運動的過程中,始終保持與兩定點的張角是90°,此時動點的運動軌跡是以兩定點確定的線段為直徑的圓上,同樣的可以化歸為“定點動圓”模型,我們把這種模型簡稱為“直徑”模型.

2.2.6 應(yīng)用模型

1.如圖9,正方形邊長為2,點E、F是BC、CD上動點,BE=CF,則CG的最小值為____.

2.如圖10,正方形邊長為2,點E、F是AD上的動點,AE=DF,則DH的最小值為____.

圖9

圖10

2.3 總結(jié)模型

在初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,解決與動點相關(guān)的最值問題,我們首先要認清誰是動點,誰是定點.處理一動一定的情況,主要研究動點的運動軌跡,一般地,在兩點間距離的最值問題中,遇到的動點軌跡往往是直線(的部分)或圓(的部分),我們往往都可以通過垂線段最短或是文中的最值定理來解決問題.如此,我們找到解決此類最值問題的通法.當然,如果兩點都是動點,我們往往可以借助題目中給出的已知條件,轉(zhuǎn)化成一定一動的情形.

3 教學(xué)反思

這節(jié)課除了幫助學(xué)生強化了習(xí)題中的易錯點,并在此基礎(chǔ)上通過建構(gòu)模型解決了學(xué)生面臨的一大難點,更多的收獲來源于課堂教學(xué)的過程中數(shù)學(xué)思想方法的滲透.通過分析點與圓的位置關(guān)系,讓學(xué)生感受分類和類比的思想,從而做到不漏解;在例題解決的過程中,引導(dǎo)學(xué)生利用最值定理,讓學(xué)生體會轉(zhuǎn)化的魅力,用數(shù)學(xué)的思維來解決問題;整節(jié)課中,多次讓學(xué)生感知模型建立的過程,體會數(shù)學(xué)模型帶來的簡潔與便利.

當然在教學(xué)的過程中也發(fā)現(xiàn)了不少問題,問題引入本身就是易錯題,比較難,沒有形成一定的梯度,導(dǎo)致少數(shù)同學(xué)不能夠順利的參與到課堂中來;過于追求課堂節(jié)奏,追求所謂的高效課堂,留給學(xué)生獨立思考的時間以及小組討論的時間不夠充足;在整節(jié)課中,我更多的關(guān)注思想和方法的傳授,而忽略了書寫的示范,板書設(shè)計不美觀.在今后的教學(xué)中,當揚長避短,鉆研教材,勤思多想,讓學(xué)生在解題的路上能夠得到更多的思想的引領(lǐng)和方法的指導(dǎo).

[1]楊裕前,董林偉.義務(wù)教育教科書?數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書(九年級上).南京:江蘇科學(xué)技術(shù)出版社,2014.8.