福建省寧德市第十中學(352100) 彭光清

章節(jié)復習課的主要任務是知識系統(tǒng)化,提高解決問題的能力.全等三角形復習課基本由兩大環(huán)節(jié)構成:(1)系統(tǒng)梳理,理清全等三角形知識脈絡;(2)能力提升,提高學生綜合運用全等三角形解決問題的能力.

1.搭建恰當?shù)摹澳_手架”理清知識脈絡

全等三角形是在學生已學過了線段、角、相交線、平行線以及三角形的有關知識之后來學習.全等三角形是研究圖形的重要工具,通過學習幫助學生從分析視角把握基本圖形.本章復習課,就是要通過復習理清知識脈絡,進一步理解全等三角形性質(zhì)、判定和運用,熟練掌握幾何證明的基本程序.

如何更好地完成知識梳理與體系構建,我們來看以下的兩則案例.

案例1

問題1請同學們回答下列問題:

(1)什么叫全等三角形?全等三角形有什么性質(zhì)?

(2)判定兩個三角形全等有哪些方法?兩個直角三角形全等的條件是什么?

(3)角平分線的性質(zhì)和判定是什么?怎么證明角平分線的性質(zhì)和判定定理?

(4)你能舉例說明證明一個幾何命題的一般過程嗎?

評析通過問題串,對所學的知識進行系統(tǒng)整理.為下一步建立本章的知識結(jié)構體系做好鋪墊.關注圖形語言或符號語言的描述,體會文字語言與數(shù)學符號語言的互化,應該抓住本章復習要點.但案例1通過直接的問題串讓學生回憶并復述出這些知識,實踐證明這種知識回顧方法的效果很差.

問題2請同學們整理一下本章所學的主要知識,畫出知識結(jié)構圖.

師生活動:教師組織學生畫出本章知識結(jié)構圖,分小組進行交流.然后,師生共同完善本章的知識結(jié)構.明確本章主要是研究全等三角形的性質(zhì)、判定,利用全等三角形解決問題.

評析通過構建結(jié)構圖,對所學的知識進行系統(tǒng)整理,有助于學生理解本章知識間的聯(lián)系,使之“豎成線”、“橫成片”,達到提綱挈領的目的.

反思在數(shù)學復習課中,回顧整理知識是復習的起點.學生已掌握一些簡單的概念和單一的解題技巧等松散的點狀知識,但不具備獨立整理知識的能力.教師需要搭建“腳手架”支持,喚起他們對已學過松散知識的記憶,幫助其進行梳理和系統(tǒng)化.

支撐學生回顧松散知識的腳手架如何設計,我們來看以下案例.

案例2

師:我們知道,全等三角形是研究幾何性質(zhì)的重要工具.溫故知新,先看一個問題.

問題1如圖1,D,E分別在線段AB,AC上,BE,CD相交于O,AD=AE,要使△ABE△ACD,可以添加一個條件是___.并給予證明.

圖1

生1:可以添加AB=AC.利用“SAS”可以證明△ABE△ACD.

師:很好,還有沒有其它不同方法?

生2:可以添加∠B=∠C.利用“AAS”可以證明△ABE△ACD.

生3(搶著舉手):可以添加∠AEB=∠ADC.利用“ASA”可以證明△ABE△ACD.

生 4:可以添加DC=BE.可以證明△ABE△ACD.

師(反問):添加DC=BE,證明△ABE△ACD的理由是什么?

生4遲疑

生5:我認為添加DC=BE,不能證明△ABE△ACD.因為“SSA”不能判定兩個三角形全等.

師(追問):哪就沒有其它方法了嗎?

生5:我認為添加DO=OE,也能證明△ABE△ACD.理由如下:如圖2,連接AO,根據(jù)“SSS”先證△AOE△AOD,得到∠AEB=∠ADC,再利用“ASA”可以證明△ABE△ACD.

圖2

師:非常棒!(大家給予掌聲鼓勵)

生 6:我想添加BO=OC,也能證明△ABE△ACD.可我沒有想出為什么.

師(思考片刻):添加BO=OC的確可以證明△ABE△ACD,但根據(jù)目前我們所學的知識還無法予以證明.有興趣的同學課后再去研究.下面,我們對全等三角形相關知識進行一番回顧(師生一起回顧,總結(jié)全等三角形有關內(nèi)容).

問題2請嘗試回答以下問題.

(1)全等三角形的概念?

(2)全等三角形的性質(zhì)有那些?

(3)判定兩個三角形全等的方法有那些?

(4)角平分線的性質(zhì)定理是什么?

(5)如果用運動的觀點看,全等三角形可以由那些變換產(chǎn)生?

(學生回答略)

評析全等三角形這章的知識點雖然不多,但系統(tǒng)性較強,案例2教師用開放性“問題1”激活學生對相關舊知識回顧,通過問題解決的多樣性給學生概括知識、建構知識體系提供足夠的條件支撐.復習課采用這種方式回顧知識,能夠讓學生在問題解決中,親身經(jīng)歷知識梳理建構過程,收到良好的教學效果.

反思案例2搭建的“腳手架”通過解決問題引導學生高效地對全等三角形四種判定方法進行知識梳理,形成了良好的知識網(wǎng)絡.探索時也有效地培養(yǎng)了學生思維的靈活性和縝密性.在知識結(jié)構的呈現(xiàn)方面,案例1框圖式的呈現(xiàn)方式可以比較好的體現(xiàn)知識之間的關系,如果再將具體條件、拓展問題等添加在結(jié)構圖中,就形成更為詳細的結(jié)構框圖.

2.滲透變換思想提高學生分析問題能力

新課程“圖形與幾何”反映現(xiàn)代數(shù)學觀點,認為有關圖形的性質(zhì),諸如平行、垂直、全等、相似,在幾何變換(指反射、平移、旋轉(zhuǎn)、位似等)下能保持不變.因此,復習過程著重引導學生運用平移、旋轉(zhuǎn)、對折變換總結(jié)全等三角形解題套路.

案例3

問題1已知:如圖3,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分別為D、E,BE、CD相交于O點,∠1=∠2,圖中全等的三角形共有多少對?請選擇一對進行證明.

圖3

師:圖中共有多少對全等三角形?看看誰能找得最快.

生1:圖中共3對全等三角形.分別是△ADO△AEO,△BOD△COE,△ADC△AEB.

生2:還有1對,是△AOB△AOC.

師:共有4對三角形全等.你們是怎樣判定他們?nèi)鹊哪?請你選擇一對進行證明.

(板 書:△ADO△AEO,△BOD△COE,△ADC△AEB,△AOB△AOC)

生1:我認為,這個圖形是軸對稱圖形,沿著AO所在直線對折,左右兩邊的三角形能夠重疊,所以它們是全等三角形.我選擇證明△ADO△AEO.因為CD⊥AB,BE⊥AC,所以∠ADO=∠AEO=90°;因為∠1=∠2,AO=AO,所以△ADO△AEO(AAS).

師:對,通過對折變換可以得到全等三角形.生1是直接根據(jù)題目給定的條件,證明△ADO～=△AEO.那么,其他全等三角形如何證明?

生3:我選擇證明△ADC△AEB.和生1一樣,先用“AAS”證明△ADO△AEO.所以AD=AE,因為∠DAC=∠EAB,∠ADO=∠AEO,所以△ADC△AEB(ASA).

生4:我選擇證明△BOD△COE.和生1一樣,先用“AAS”證明△ADO△AEO.所以OD=OE,因為∠BDO=∠CEO,∠BOD=∠COE,所以△BOD△COE(ASA).

師:好,剛才兩位同學都是根據(jù)全等三角形性質(zhì),獲得證明所需的條件,再證明三角形全等.就是要兩次全等才能解決問題.

生5:我也是選擇證明△BOD△COE,但不用兩次全等也可以證明.

師:好,你把證明方法告訴大家.

生5:因為∠1=∠2,OD⊥AB,OE⊥AC,所以OD=OE,因為∠BDO=∠CEO,∠BOD=∠COE,所以△BOD△COE(ASA).

師:根據(jù)角平分線性質(zhì)另辟蹊徑,值得肯定.

生 6:我選擇證明△AOB△AOC.由△ADC△AEB.所以AB=AC,因為∠1=∠2,AO=AO,所以△AOB△AOC(SAS).

師:通過上面證明兩個三角形全等,大家掌握了如何證明三角形全等了嗎?

師(歸納板書結(jié)構圖):證明兩個三角形的全等,通過對問題的分析,根據(jù)給定的條件(或隱含條件),可以按以下思路進行分析.

評析開放性問題,訓練學生靈活運用三角形全等判定定理與性質(zhì)定理的能力,也兼顧了不同層次學生的能力.小結(jié)教給了學生證明三角形全等的思路.

案例3續(xù)

問題5如圖4-(1),一張矩形紙片沿著對角線剪開,得到如圖4-(2)兩張三角形紙片ABC、DEF,再將這兩張三角形紙片擺成如圖4-(3)的形式,使點B、F、C、D處在同一條直線上,P、M、N為其他直線的交點.

(1)求證:AB⊥ED.

(2)若PB=BC,請找出圖(3)中全等三角形,并給予證明.

圖4

(用多媒體演示圖形的變化過程,問題隨教學過程逐步呈現(xiàn).)

師:圖4-(3)中AB與ED有怎樣的位置關系?同學生猜想一下結(jié)果.

生7:AB⊥ED.

師:為什么?可以從哪方面來考慮?

生8:可以將圖4-(3)中△ABC看做是圖4-(2)中△ABC,繞著某一點旋轉(zhuǎn)90°得到.所以AB⊥ED.

生9:可以從全等進行考慮.在已知條件下,顯然有△ABC△DEF,故∠A=∠D,又∠ANP=∠DNC,所以,∠APN=∠DCN=90°,即AB⊥ED.

師:若PB=BC,找出圖4-(3)中全等三角形.

生10:△PBD△CBA(ASA).

師:由AB⊥ED,可得到∠BPD=90°,∠BPD=∠CBA,∠A=∠D,PB=BC, 故有△PBD△CBA(ASA).

師:還有其他三角形全等嗎?

生11:有,我連接BN,由勾股定理得PN=CN,就不難得到△APN△DCN.

評析復雜圖形的識圖是學生的難點.能在復雜圖形中分離出目標子圖形,是構建證明思路的關鍵.展示復雜圖形的形成過程,是訓練學生識圖能力的主要手段之一.題目以矩形裁剪兩個全等三角形為背景,通過平移、旋轉(zhuǎn)等圖形變化,讓學生在復雜的圖形中尋找全等三角形,培養(yǎng)學生空間觀念和推理論證能力.開放的形式,既復習鞏固全等三角形性質(zhì)與判定定理,又提高運用全等三角形解決問題能力.

反思運用開放性問題,能夠集中學生注意力、引發(fā)學生的學習思考,誘導學生積極主動地探索知識.在圖形變換下探究問題解決過程中,把全等三角形所涉及的內(nèi)容貫穿起來,并及時總結(jié)歸類,既重新復習構建基礎知識網(wǎng)絡,培養(yǎng)學生空間觀念和推理能力,又提高學生綜合運用全等三角形解決問題能力.

3.采用變式題提高學生綜合運用知識能力

案例4

引例已知:在銳角△ABC中,點O是BC邊的中點,OE⊥AB,交于點E,OF⊥AC交于點F.

問題1請你根據(jù)題目的描述畫出符合題意的圖形.

師:過一點如何畫已知直線的垂線?可以用哪些工具?

生:用三角板畫或尺規(guī)作圖.

師:請同學們選擇一種方法畫出圖形.

(學生獨立畫圖,如圖5)

圖5

問題2在你所畫的圖形中是否一定存在全等的兩個三角形?若存在,請寫出全等的兩個三角形;若不存在,請你添加恰當?shù)臈l件,使得圖中有全等的三角形,并說明全等判定的依據(jù).

圖6

(學生思考,教師巡視)

師:可以先直觀觀察,然后仔細分析,記著兩三角形全等需要三個條件哦!

生1:從直觀看沒有三角形全等,但△BEO和△CFO有兩個現(xiàn)成條件:∠BEO=∠CFO,OB=OC.

師(追問):還差一個條件.如何添加條件,使得圖中有全等的三角形呢?

生1:添加∠B=∠C,根據(jù)AAS,就可以得到△OBE△OCF.

生2:也可以添加∠EOB=∠FOC.

生3:因為△OBE與△OCF是直角三角形,可以根據(jù)HL添加OE=OF,或BE=CF.

師:非常棒!能夠充分利用已知條件和圖形的特殊性,想到了這么多種添加條件的方法.

師(反問):這些辦法都是直接添加條件使兩個三角形全等,想想能不能添加間接的條件讓兩個三角形全等呢?

生4:我認為可以添加AB=AC,因為由AB=AC,可得∠B=∠C,滿足AAS.

生5:我感覺添加AE=AF也可以,就是不知如何證明?

師(轉(zhuǎn)問):大家?guī)椭?想一想,添加AE=AF可以嗎?

生6:可以添加AE=AF.連接AO,先根據(jù)HL得到△AOE△AOF,于是OE=OF,接下可證.

師:(掌聲鼓勵)生5、6配合,添加條件運用兩次全等解決問題.

生7:連接AO,∠BAO=∠CAO,利用角平分線的性質(zhì)可得OE=OF,根據(jù)HL,兩個三角形全等.

師(故作驚訝):你真厲害,這么隱蔽的方法都被你發(fā)現(xiàn)了.

生8:可以添加“△ABC是等腰三角形”.

師(轉(zhuǎn)問):有不同意見嗎?

生9:我認為不可以.因為AB=AC可以得出△ABC是等腰三角形,但△ABC是等腰三角形不能肯定AB=AC,也有可能是AB=BC,因此添加△ABC是等腰三角形不行.

師:分析的非常到位,給你點個“贊”.

師:誰總結(jié)一下判定兩個三角形全等的方法.從上面例題學到添加條件的方法是什么?

生9:兩三角形全等的判定有SSS,SAS,AAS,ASA,兩個直角三角形全等還有HL.添加條件使兩三角形全等,可以直接添加條件,也可以間接添加條件.但添加的條件是否可行,需要證明.

師:總結(jié)得很到位!同學們想一想,添上一個條件以后,△ABC發(fā)生了怎樣的變化?

生:△ABC是一個等腰三角形,讓整個圖形變得“對稱”.

評析問題1要求學生將文字(符號)語言轉(zhuǎn)化為圖形語言,加深對幾何基本概念的理解,有效地培養(yǎng)學生空間觀念.問題2在探求三角形全等的條件過程中,既梳理、鞏固已學的全等三角形概念、判定與性質(zhì),又將三角形全等與特殊三角形有機的聯(lián)系在一起,促進知識系統(tǒng)化,提高學生運用所學知識解決問題的能力.

案例4續(xù)

變式一(在復雜圖形中尋找全等三角形來解決問題)若將“O是BC邊的中點”改為“OB=OC”,且AB=AC,你能證明OE=OF嗎?試試看.

圖7

生10:如圖7,可以通過證明△OBE與△OCF全等得到OE=OF.

師:△OBE與△OCF全等根據(jù)是什么?你是怎么想的?

生10:因為AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.因為OB=OC,所以∠OBC=∠OCB.所以∠OBE=∠OCF.因為OB=OC,∠OEB=∠OFC=90°,根據(jù) AAS,所以△OBE△OCF(OE=OF).

師:真棒!敘述簡練,條理清楚.利用三角形全等證明線段或角相等是我們常用的方法.

生6:連接AO,根據(jù)SSS得到△OBA△OCA,由于OE與OF是對應邊上高,所以OE=OF.

師:很好,生6利用課外學到的“全等三角形對應邊上高相等”證明.雖然定理現(xiàn)在還沒有學,但思路是正確的.

師:同學們想一想,根據(jù)題意還能不能畫出滿足條件的其它的圖形呢?

生11:題目中沒有規(guī)定點O一定在△ABC內(nèi),那么還有一種情形是點O在△ABC外.

師:如果點O在△ABC外,結(jié)論成立嗎?

生11:可以.

(學生動手嘗試)

生12:成立.如圖8,仍然可以通過證明兩個三角形全等得到OE=OF.

圖8

師:請你分析一下證明思路.

生 12(分析思路):···

師:解決問題時,發(fā)現(xiàn)O可在三角形的內(nèi)部,也可能在三角形的外部.故需分類討論.

變式二(添加輔助線,構造全等三角形來解決問題)若將“O是BC邊的中點”改為“O在∠BAC的平分線上”,且AB/=AC.試探究:當點O在什么位置時,BE=CF?

生13:當OB=OC時,BE=CF.如圖9,要證明BE=CF,只要△OBE△OCF即可.由“O在∠BAC的平分線上”,且OE⊥AB,OF⊥AC,我們可以得到OE=OF,故當點O滿足“OB=OC”時,由HL得△OBE△OCF,所以BE=CF.

圖9

師:生13分析的非常到位(掌聲鼓勵).這個問題實質(zhì)是利用三角形全等來證明線段相等,當出現(xiàn)沒有三角形時,要經(jīng)過添加輔助線構造三角形.解決問題的關鍵是用好條件“O在∠BAC的平分線上”.

師(反問):點O的位置會在△ABC的邊上或內(nèi)部嗎?畫一畫,想一想.

生8:△ABC的邊上或內(nèi)部不存在點O.因為AB/=AC,如果點O在BC上,△OBE△OCF不會全等,因此BE與CF不相等;如果點O在△ABC內(nèi),易得△AOE△AOF,所以AE=AF,因為AB/=AC,所以BE與CF不相等.

師:非常精彩的分析!

評析變式題組可使學生窺視到一類題的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別,看到題目演變的全部過程,培養(yǎng)學生提出問題和解決問題的能力.教師的發(fā)展性理答,引領學生走出理解誤區(qū),促使學生對問題全面、深刻而正確的認識,給課堂帶來精彩的生成,促進了學生積極參與課堂活動.

反思復習課問題的選擇要符合學生的認知規(guī)律,例題要有典型性、針對性、層次性.切不可隨意選題,更不能搞題海戰(zhàn)術,要針對學生的薄弱環(huán)節(jié)、易錯點及本章節(jié)的重難點進行優(yōu)化設計.所選問題要能引發(fā)學生思考,通過對問題的探討、解決,從中既能復習舊知識體系,又能體驗數(shù)學思想和方法,更能促進學生遇到相關問題時就能自覺地運用有關的數(shù)學經(jīng)驗去思考、解決問題,達到“講一題,明一類”.

4.教學建議

明確章節(jié)復習的目標.《全等三角形》是人教社八年級上冊第12章內(nèi)容,本章教材安排了全等三角形、全等三角形判定、角平分線性質(zhì)等3節(jié)內(nèi)容.教學中要明確章節(jié)復習課目的與形式:章節(jié)復習課的主要目的是梳理知識結(jié)構、提升數(shù)學能力.題組是實現(xiàn)這一目的的主要手段.題目要典型,具有針對性.以題目帶知識點,以知識點歸類題型,以題型挖掘解題規(guī)律和數(shù)學思想方法,達成章節(jié)復習課的目的.

精心設置問題.《全等三角形》這部分的教學要求是:①理解全等三角形的概念,能識別全等三角形中的對應邊、對應角.②掌握基本事實:“SAS”,“ASA”,“SSS”.③證明定理:“AAS”.④探索并掌握判定直角三角形全等的“HL”定理.⑤探索并證明角平分線的性質(zhì)定理.因此,教學中問題設置要圍繞所學的主要知識與典型方法,問題要適合學生的實際.問題要設計成有層次的題組,有利于引導不同層次學生思維.問題要有變式設計,引導學生掌握一類題.問題要有開放性,引導學生用多種方法解決,積累數(shù)學活動經(jīng)驗.

注重推理論證能力的培養(yǎng).利用全等三角形證明問題,關鍵在于引導學生運用變換思想從復雜的圖形中找到一對基礎的三角形,這對基礎的三角形從實質(zhì)上來說,是由三角形全等判定定理中的一對三角形變換而來,也可能是由幾對三角形組成,其間的關系互相傳遞,應熟悉涉及有公共邊、公共角的以下兩類基本圖形.教學中,要精心選擇全等三角形的證明問題.開始階段的例題,證明方向明確、主要讓學生體會證明思路.最后安排的問題,重點培養(yǎng)學生分析問題,選擇推理途徑的證明能力.復習過程,始終注重分析思路,讓學生學會思考問題,學會清楚地表達思考的過程.

[1]顧繼玲.中學數(shù)學教學設計[M].北京:北京師范大學出版社,2015.

[2]張宏政.一節(jié)“全等三角形復習課”的課例與說明[J].中學數(shù)學教學參考,2011(3):14-17.

[3]鄭毓信.努力培養(yǎng)學生提出問題的能力[J].數(shù)學教學通訊:中教版,2000(6):1-4.

[4]焦鈺.挖掘源題,編聯(lián)成串[J].中學數(shù)學研究,2014(10):19-20.