劉清楷，陳堅(jiān)，汪立新，秦偉偉

(火箭軍工程大學(xué),陜西 西安 710025)

0 引言

多約束制導(dǎo)問題是提高精確武器打擊效能的一個(gè)重要方面[1]。Kim[2]首次給出滿足末端角度約束的次最優(yōu)制導(dǎo)律方法以來，學(xué)者在帶有約束的制導(dǎo)問題上，取得了豐碩的成果。

文獻(xiàn)[3]將末制導(dǎo)問題轉(zhuǎn)化為帶約束條件的最優(yōu)控制問題，但由于目標(biāo)高機(jī)動(dòng)性和外界擾動(dòng)的影響，建立的模型誤差較大，造成制導(dǎo)精度較低。而滑模變結(jié)構(gòu)控制對(duì)系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)具有不變性和對(duì)外部擾動(dòng)的魯棒性，設(shè)計(jì)滑模面時(shí)加入角度約束約束項(xiàng)，得到帶角度約束的滑模制導(dǎo)律[4-6]。文獻(xiàn)[7-8]采用非奇異終端滑?？刂疲玫搅擞邢迺r(shí)間收斂的制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[9]提出了結(jié)合最優(yōu)制導(dǎo)方法和變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)方法的復(fù)合制導(dǎo)律，但該方法過于復(fù)雜，難以進(jìn)行工程應(yīng)用。文獻(xiàn)[10]研究了利用高增益觀測器進(jìn)行目標(biāo)加速度的估計(jì)方法，取得了較好的效果。

文獻(xiàn)[11]將分?jǐn)?shù)階微積分理論結(jié)合比例導(dǎo)引律得到了分?jǐn)?shù)階微積分比例制導(dǎo)律，但未加入角度約束。屈耀紅[12]等將分?jǐn)?shù)階滑模用于改進(jìn)傳統(tǒng)比例導(dǎo)引，實(shí)現(xiàn)了無人機(jī)空中加油過程的角度約束，但其受限于加油機(jī)為勻速直線飛行的場景。

目前已有的三維制導(dǎo)律大多是直接忽略俯仰通道與偏航通道之間的耦合，本文建立三維彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型，將耦合項(xiàng)作為干擾項(xiàng)，利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(extended state obsrever, ESO)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)，達(dá)到解耦的目的。采用分?jǐn)?shù)階積分器防止積分器飽和現(xiàn)象的出現(xiàn)[13]，引入分?jǐn)?shù)階微分器來增強(qiáng)控制器的魯棒性以及削弱抖振。同時(shí)設(shè)計(jì)一種新的滑模趨近律，保證系統(tǒng)狀態(tài)能夠快速收斂到滑模面上，利用ESO對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)與補(bǔ)償，最終得到本文的自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階滑模導(dǎo)引律(adaptive fractional order sliding mode guidance law, AFOSG)。通過仿真驗(yàn)證，說明本文所設(shè)計(jì)方法能夠削弱抖振，實(shí)現(xiàn)偏移量和角度約束。

1 分?jǐn)?shù)階微積分基本定義

分?jǐn)?shù)階微積分目前常用的3種定義為：Caputo(C)型、Grünwald-Letnikov(GL)型和Riemann-Liouville(RL)型。其中C型定義的拉普拉斯變換式最為簡潔[14]，更為常用。

連續(xù)可積函數(shù)f(t)的C型分?jǐn)?shù)階微積分[15]為

(1)

以上可以看出，分?jǐn)?shù)階微分與過去所有點(diǎn)的信息相關(guān)，即記憶性，將其引入到滑模設(shè)計(jì)中，使其穩(wěn)定性更強(qiáng);其次隨著時(shí)間的增加，權(quán)值不斷減小，即遺忘性，利用這一特性可減小作用到被控系統(tǒng)上的控制量，達(dá)到減小抖振的目的。

2 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

由于導(dǎo)彈飛行過程中只能控制正交于速度方向的加速度大小[16]，故先在彈道坐標(biāo)系建立其動(dòng)力學(xué)方程。如圖1所示，圖中OxIyIzI為參考慣性系，Mxsyszs為視線坐標(biāo)系。假設(shè)導(dǎo)彈和目標(biāo)在飛行過程中保持最大速度飛行不變。

導(dǎo)彈和目標(biāo)在彈道系及航跡系的動(dòng)力學(xué)方程和其在慣性系的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程[17]為

(2)

(3)

式中：vm為導(dǎo)彈飛行速度;θm為導(dǎo)彈彈道傾角;σm為導(dǎo)彈彈道偏角;vt為目標(biāo)逃逸速度;φt為目標(biāo)航跡傾角;ψt為目標(biāo)航跡偏角。

由文獻(xiàn)[18]彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型為

(4)

(5)

(6)

因式(5),(6)形式相近，第3章制導(dǎo)律設(shè)計(jì)先以式(5)為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)。

3 帶ESO的自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階滑模制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

3.1 自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階滑模制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

本文基于零化視線角速率[19]進(jìn)行制導(dǎo)律設(shè)計(jì)。傳統(tǒng)整數(shù)階積分滑模面[20]為

(7)

本文為利用分?jǐn)?shù)階微積分算子的記憶性和遺忘性，設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階滑模面如下：

(8)

式中：0<α1<1為分?jǐn)?shù)階微積分算子的階次;c11,c12,c13,c14>0為待設(shè)計(jì)的增益系數(shù)。

設(shè)計(jì)一種新的自適應(yīng)滑模趨近律如下：

(9)

本文采用誤差向量的2-范數(shù)作為自適應(yīng)參數(shù)，保證系統(tǒng)的趨近速率保持較大，且避免在接近滑模面時(shí)產(chǎn)生抖振。由式(8)和式(9)設(shè)計(jì)帶攻擊角約束的自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階滑模制導(dǎo)律如下：

(10)

式(10)中包含dε總擾動(dòng)項(xiàng)，根據(jù)文獻(xiàn)[20]，設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測器如下：

(11)

式中：z13為dε/r的觀測值;β11，β12，β13為待設(shè)計(jì)參數(shù);

式中：δ為線性段的長度。

綜合式(10)和式(11)得到含ESO的自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階滑模制導(dǎo)律如下：

(12)

3.2 穩(wěn)定性證明

選取Lyapunov函數(shù)：

(13)

對(duì)式(13)求導(dǎo)可得

2S1[c11e12+c12Dα1e12+c13Dα1e11-

將式(12)帶入上式整理得

當(dāng)β11，β12，β13選取合適的值時(shí)，式(11)的觀測誤差趨于0[21]，即觀測值z13以有限時(shí)間收斂于dε/r的鄰域內(nèi)，則有

由文獻(xiàn)[22]可得，系統(tǒng)狀態(tài)是有限時(shí)間收斂的，且收斂到滑模面S1=0的時(shí)間為

(14)

式中：e12≠0;S1(0)為S1的初值。

當(dāng)e12=0的時(shí)，將式(12)代入式(5)整理得：

(15)

由式(15)可得，e12=0不是穩(wěn)定狀態(tài)，故系統(tǒng)狀態(tài)能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到滑模面S1=0。

當(dāng)S1=0時(shí)，得到滑模面動(dòng)力學(xué)方程：

(16)

對(duì)式(16)進(jìn)行Laplace變換[23]得到

c11E(s)+c12sα1E(s)+c13sα1-1E(s)+c14sE(s)=0.

上式可以看作是描述以e11(t)為輸出的閉環(huán)系統(tǒng)的方程，其開環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為

上式中0<1-α1<1;c11，c12，c13，c14>0;開環(huán)傳遞函數(shù)的相位總是大于-π/2，且不含右半平面的極點(diǎn)，由Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可以得到原閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即e11(t)是收斂的。同時(shí)由分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)Laplace變換的終值定理[24]，可以得到

c14s2-α1)/c11s1-α1=0.

綜上，本文自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階滑模導(dǎo)引律能夠使系統(tǒng)狀態(tài)漸進(jìn)收斂到滑模面，彈目視線角誤差e11(t)和視線角速率e12(t)能漸進(jìn)收斂到0。

為減小抖振，將式(12)中的符號(hào)函數(shù)，用飽和函數(shù)替代，得到制導(dǎo)律：

(17)

式中：

ω為邊界層厚度，通過調(diào)節(jié)其值以削減抖振。

同樣由式(6)可以得到：

amzs= -cosε[c21re22+c22rDα2e22+

(18)

(19)

4 仿真驗(yàn)證

為證明本文導(dǎo)引律的可行性，將新型自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階滑模制導(dǎo)律與增強(qiáng)比例導(dǎo)引律(augmented propotional navigation guidance law,APNG)以及非奇異終端滑模導(dǎo)引律(nonsingular terminal sliding mode guidance law，NTSMG)進(jìn)行對(duì)比仿真。導(dǎo)彈初始位置(500,0,-1 500)m，目標(biāo)初始位置(3 000,5 000,1 000)m，導(dǎo)彈速度為vm=800 m/s，目標(biāo)速度為vt=300 m/s，導(dǎo)彈初始彈道傾角為θm0=π/3 rad，初始彈道偏角為σm0=-π/10 rad，目標(biāo)初始航跡傾角為φt0=π/4 rad，初始航跡偏角為ψt0=-π/6 rad。AFOSMG的參數(shù)為簡單起見，2個(gè)方向制導(dǎo)律中同一位置的參數(shù)大小相等，即c11=c21=400，c12=150，c13=300，c14=1，k11=260，k12=200，α1=0.45，β11=100，β12=300，β13=1 000，δ=0.01，ω=0.01。利用文獻(xiàn)[25]的FOMCON工具箱進(jìn)行分?jǐn)?shù)階微積分的計(jì)算。APNG定義為

(20)

(21)

式中：N=4。

由于APNG需要獲取目標(biāo)的精確機(jī)動(dòng)信息，本文在利用此方法仿真時(shí)認(rèn)為該信息為已知。NTSMG定義為

(22)

(23)

導(dǎo)引律在視線系中定義，需要將其轉(zhuǎn)換到彈道坐標(biāo)系中，由于篇幅所限，具體方法見文獻(xiàn)[26]。

4.1 仿真1

目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度為atyd=atzd=5g;期望視線角為εd=π/3 rad，ηd=-2π/9 rad。分別采用3種導(dǎo)引律進(jìn)行仿真，得到結(jié)果如圖2～4所示。

從圖4可以看出，APNG和NTSMG得到的加速度指令均存在一定程度的跳變或振蕩，而AFOSMG的加速度指令則保持平穩(wěn)變化。仿真的脫靶量和末端角度如表1所示。

導(dǎo)引律偏移量/m視線傾角/(°)視線偏角/(°)APNG0．15748．79-49．11NTSMG0．26558．24-41．85AFOSMG0．13359．33-39．97

從表1中可以看出在目標(biāo)進(jìn)行常值機(jī)動(dòng)時(shí)，本文所設(shè)計(jì)的AFOSMG導(dǎo)引律無論是在偏移量還是角度偏差均要小于APNG和 NTSMG，證明本文導(dǎo)引律有較好的效果。

4.2 仿真2

當(dāng)目標(biāo)進(jìn)行正弦機(jī)動(dòng)時(shí)，atyd=80 sin 0.2t，atzd=80cos 0.2t;期望視線角為εd=π/3 rad，ηd=-π/3 rad。同樣進(jìn)行仿真得到結(jié)果如圖5～7所示。

從表2中可以看出，相對(duì)于其他2種導(dǎo)引律,本文方法無論是偏移量還是末端角度都得到了更高的精度。而且從圖7a)和圖7b)導(dǎo)彈加速度指令信號(hào)變化中可以看出，AFOSMG加速度變化更為平穩(wěn)，未出現(xiàn)抖振現(xiàn)象。

導(dǎo)引律偏移量/m視線傾角/(°)視線偏角/(°)APNG0．40448．91-49．05NTSMG0．37759．12-60．75AFOSMG0．16160．42-60．10

5 結(jié)論

本文將分?jǐn)?shù)階微積分算子引入滑模面的設(shè)計(jì)，采用一種自適應(yīng)趨近律得到本文三維AFOSMG，并通過理論證明和仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的有效性。

(1) 采用分?jǐn)?shù)階微積分算子進(jìn)行滑模面的設(shè)計(jì)，利用了其記憶性和遺忘性，有效削弱了滑?？刂频亩墩瘳F(xiàn)象;選取的自適應(yīng)趨近律能夠有效根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)與平衡點(diǎn)的距離，調(diào)節(jié)速率，并通過Lyapunov穩(wěn)定性定理對(duì)本文的導(dǎo)引律的收斂性進(jìn)行了證明。

(2) 通過仿真比較，本文的導(dǎo)引律能使導(dǎo)彈的加速度指令更為平穩(wěn)，降低對(duì)導(dǎo)彈過載的要求。

(3) 分?jǐn)?shù)階微積分的運(yùn)算耗時(shí)較長，但隨著彈載機(jī)的計(jì)算能力增強(qiáng)，其工程應(yīng)用將不再困難。

本文在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)時(shí)，將導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀作為理想環(huán)節(jié)，未考慮其的動(dòng)態(tài)特性，可以在下一步的工作中加以研究;其次本文只是在滑模面的設(shè)計(jì)中引入了分?jǐn)?shù)階微積分算子，可以嘗試將其引入趨近律的設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)一種新的分?jǐn)?shù)階滑模趨近律。

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