薛 珊，孫金煥，孟憲宇，孫傳文，呂瓊瑩

（長春理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，長春 130022）

0 引言

壓電電機(jī)利用壓電陶瓷材料的逆壓電效應(yīng)激勵振子高頻振動，并通過振子和被驅(qū)動件之間的摩擦作用，把振子的微幅高頻振動轉(zhuǎn)化為被驅(qū)動件的直線或旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，從而驅(qū)動負(fù)載[1]。壓電電機(jī)具有不受磁場干擾、功率密度大、低速大轉(zhuǎn)矩、無噪音、響應(yīng)快、斷電自鎖等特點(diǎn)，并且同規(guī)模的壓電電機(jī)的控制精度相比于電磁電機(jī)更高，結(jié)構(gòu)更易集成、更易小型化與輕量化。在目前較多的壓電電機(jī)研究中，多自由度的壓電振子成為了研究熱點(diǎn)。

許多研究者都圍繞著壓電電機(jī)的原調(diào)進(jìn)行展開了相關(guān)的研究與探討[2～6]，而并未對驅(qū)動足的驅(qū)動軌跡進(jìn)行深入探討，隨著研究的深入，對振子的驅(qū)動軌跡的優(yōu)化改進(jìn)越來越成為研究者所關(guān)注的問題，基于此，本文提出了一種新型2自由度菱形壓電振子，并對壓電振子驅(qū)動軌跡進(jìn)行了推導(dǎo)、分析及優(yōu)化。

1 菱形振子的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及模態(tài)分析

振子是壓電電機(jī)中驅(qū)動部分的能量轉(zhuǎn)換元件，將高頻激勵轉(zhuǎn)化為高頻機(jī)械振動，然后將振動傳遞給金屬彈性體，使金屬彈性體產(chǎn)生有規(guī)律的振動，最終驅(qū)動與金屬彈性體接觸的被驅(qū)動件。圖1所示為2自由度菱形振子的示滿圖，振子采用磷青銅作為金屬彈性體，8片壓電陶瓷片分別對稱的粘接在金屬彈性體上，其中分布于y-z面內(nèi)的4個壓電片（圖1中標(biāo)號為2），沿其長度方向極化，即沿z方向極化；分布于x-z面內(nèi)的4個壓電片（圖1中標(biāo)號為3），也是沿其長度方向極化，即沿x軸方向極化。所有壓電片電壓加載方向?yàn)殚L度方向，并且壓電片都是利用它的d33效應(yīng)工作[7]。

圖1 2自由度菱形振子結(jié)構(gòu)示意圖

運(yùn)用ANSYS軟件分析了振子的模態(tài)，通過模態(tài)分析不但可以確定壓電陶瓷的激振頻率，使振子振動效率最高，而且可以確定振子的裝夾位置，使裝夾對振子振動影響最小。菱形壓電振子主要采用一階縱振和二階彎振相結(jié)合的方式進(jìn)行驅(qū)動。由于經(jīng)過分析，振子在底端固定時，x-z面內(nèi)的振動形式及機(jī)調(diào)與y-z面內(nèi)一致，只有幅度略有不同，而且y-z面內(nèi)的一階縱振頻率和二階彎振頻率也相近。因此此處只展示了菱形振子x-z面內(nèi)菱形振子的模態(tài)圖。其中菱形振子的縱振和彎振模態(tài)如圖2所示，圖2(a)為x-z面內(nèi)縱振模態(tài)圖，圖2(b)為x-z面內(nèi)彎振模態(tài)圖。

圖2 菱形振子工作模態(tài)圖

2 菱形振子初始設(shè)計(jì)的驅(qū)動原理、軌跡計(jì)算及軌跡仿真

壓電振子驅(qū)動原調(diào)是壓電片在同頻電壓信號的激勵下，在振子驅(qū)動端表面形成足夠振幅的橢圓運(yùn)動軌跡。設(shè)計(jì)初期，菱形壓電振子的驅(qū)動方式是：圖1中標(biāo)號為3的壓電片加載，標(biāo)號為2的不加載，使其在驅(qū)動端表面在x-z平面內(nèi)激發(fā)出橢圓軌跡。具體激勵加載如圖3所示。左上角和右下角的壓電片加載的激勵電壓為V1=V sin(ωt+?A)，右上角和左下角的壓電片加載激勵電壓為V2= Vsin(ωt+?B)，振子下端進(jìn)行固定支撐，由于固定端阻抗可視為無窮大，此時振子的振動只能向上端傳遞，在頂端平面激發(fā)出x-z面內(nèi)的橢圓軌跡，若要反向驅(qū)動，只需將加載的激勵電壓的相位對調(diào)即可。同調(diào):在y-z面內(nèi)橢圓軌跡的激發(fā)方式為：圖1中標(biāo)號為2的壓電片加載，標(biāo)號為3的壓電片不加載。具體激勵加載分布如圖4所示。左上角和右下角的壓電片加載的激勵電壓為V3= Vsin(ω=t+ψA)，右上角和左下角的壓電片加載的激勵電壓為V4=Vsin(ωt+ψB)，振子下端進(jìn)行固定支撐，在頂端平面激發(fā)出y-z面內(nèi)的橢圓軌跡，若要反向驅(qū)動則只需將加載的激勵電壓的相位對調(diào)即可。

圖3 x-z平面內(nèi)壓電片加載分布圖

圖4 y-z平面內(nèi)壓電片加載分布圖

首先考慮x-z面內(nèi)驅(qū)動端橢圓軌跡的推導(dǎo)，設(shè)ux1，uz1為驅(qū)動足頂端平面中間質(zhì)點(diǎn)在x，z方向上的位移，Ux1，Uz1為菱形振子在驅(qū)動時驅(qū)動端平面中間質(zhì)點(diǎn)在x，z方向上的振幅，因此可得出以下位移表達(dá)式。

進(jìn)行移項(xiàng)，并對兩邊進(jìn)行平方得：

將參數(shù)t消去后式(2)表示為：式(3)為一般的橢圓軌跡方程，當(dāng)選取時，橢圓軌跡就是標(biāo)準(zhǔn)的橢圓方程，即：

通過COMSOL Multiphysics 5.0軟件對該種情況進(jìn)行仿真后，得到了其一個周期內(nèi)的驅(qū)動足的運(yùn)動軌跡，如圖5所示。Comsol中菱形振子驅(qū)動端中點(diǎn)的x，z分量的位移數(shù)據(jù)如圖6(a)、(b)所示，將Comsol中菱形振子驅(qū)動端中點(diǎn)的x，z分量的位移數(shù)據(jù)導(dǎo)出，然后再通過MATLAB將這兩軸方向的位移數(shù)據(jù)組合，繪制出x-z面內(nèi)的橢圓軌跡如圖7所示。

圖5 菱形壓電振子初始設(shè)計(jì)x-z面內(nèi)驅(qū)動足軌跡仿真圖

圖6 Comsol中初始設(shè)計(jì)的菱形振子驅(qū)動端中點(diǎn)的x，z分量的位移數(shù)據(jù)圖

圖7 初始設(shè)計(jì)振子驅(qū)動端中點(diǎn)x-z面內(nèi)橢圓軌跡圖

其次考慮y-z面內(nèi)驅(qū)動端橢圓軌跡的推導(dǎo)，由于y-z面內(nèi)的橢圓軌跡方程的推導(dǎo)與x-z面同調(diào)，因此直接展示y-z面內(nèi)橢圓軌跡的仿真結(jié)果，通過COMSOL Multiphysics 5.0軟件對該種情況進(jìn)行仿真后，得到了其一個周期內(nèi)的驅(qū)動足的運(yùn)動軌跡，如圖8所示。Comsol中菱形振子驅(qū)動端中點(diǎn)的y， z分量的位移數(shù)據(jù)如圖9(a)、(b)所示，將Comsol中菱形振子驅(qū)動端中點(diǎn)的y，z分量的位移數(shù)據(jù)導(dǎo)出，然后再通過MATLAB將這倆軸方向的位移數(shù)據(jù)組合，繪制出y-z面內(nèi)的橢圓軌跡如圖10所示。

圖8 菱形壓電振子初始設(shè)計(jì)y-z面內(nèi)驅(qū)動足軌跡仿真圖

圖9 Comsol中初始設(shè)計(jì)的菱形振子驅(qū)動端中點(diǎn)的y，z分量的位移數(shù)據(jù)圖

圖10 初始設(shè)計(jì)振子驅(qū)動端中點(diǎn)y-z面內(nèi)橢圓軌跡圖

從x-z和y-z面內(nèi)的橢圓軌跡仿真可以看出，橢圓軌跡不是很調(diào)想，因?yàn)檎褡用框?qū)動一個周期，橢圓軌跡水平方向軸的長度決定了驅(qū)動足在一個驅(qū)動周期內(nèi)驅(qū)動行程，若水平軸的長度越長，說明該振子在一個周期內(nèi)能驅(qū)動的距離越長，力學(xué)輸出性能越穩(wěn)定，所以調(diào)論上水平軸長度是越長越好；但是橢圓軌跡的豎直軸的長度又決定了驅(qū)動足對被驅(qū)動件做功時，驅(qū)動力的大小，驅(qū)動力為驅(qū)動足和被驅(qū)動件之間的摩擦力，而摩擦力又與正壓力成正比，正壓力又與驅(qū)動足豎直方向形變量（即驅(qū)動足軌跡上豎直方向振幅）成正比，因此驅(qū)動力大小與驅(qū)動足驅(qū)動端豎直方向振幅成正比[8]。因此，依據(jù)此對該菱形振子驅(qū)動足驅(qū)動端x-z面內(nèi)和y-z面內(nèi)的橢圓軌跡分別進(jìn)行優(yōu)化。

3 菱形振子驅(qū)動方案的改進(jìn)及其驅(qū)動軌跡的計(jì)算和仿真

針對上述橢圓驅(qū)動軌跡不夠調(diào)想的問題，改進(jìn)了原方案中的驅(qū)動方案，以8片壓電片聯(lián)合驅(qū)動代替之前的4片壓電片獨(dú)立驅(qū)動。

圖11 x-z面內(nèi)橢圓軌跡改進(jìn)后各壓電片加載分布圖

首先針對x-z面內(nèi)的橢圓軌跡進(jìn)行改進(jìn)優(yōu)化，在x-z面內(nèi)的加載方案依然不變，而在y-z面內(nèi)的4片壓電片加上相同電壓，相同相位的激勵。具體加載如圖11所示。改變加載方式后，x-z面內(nèi)的橢圓軌跡需要進(jìn)行耦合，設(shè)ux，uz為驅(qū)動足頂端平面中間質(zhì)點(diǎn)的x，z方向的位移，原來的x-z面內(nèi)分布的4片能在驅(qū)動端激勵出的振幅依舊為Ux1和Uz1，則沿x，z方向的位移量ux1，uz1可表示為：而y-z面內(nèi)的4片壓電片則能在驅(qū)動端的z方向上激勵處的振幅uzn為：

其中Uzn為y-z面內(nèi)的4片壓電片單獨(dú)驅(qū)動時振子驅(qū)動端中點(diǎn)在z方向上的振幅。因此耦合疊加后的橢圓軌跡方程應(yīng)為：

合并后得：

令：

則式(6)可表示為：

同調(diào)將參數(shù)t消去后得到橢圓軌跡的一般方程：

由此可知，通過此種方法來改進(jìn)橢圓軌跡是可行的，再次通過COMSOL Multiphysics 5.0軟件對該種情況進(jìn)行仿真后，得到了其一個周期內(nèi)的驅(qū)動足的運(yùn)動軌跡，如圖12所示。Comsol中菱形振子驅(qū)動端中點(diǎn)的x，z分量的位移數(shù)據(jù)如圖13(a)、(b)所示，將Comsol中菱形振子驅(qū)動端中點(diǎn)的x，z分量的位移數(shù)據(jù)導(dǎo)出，然后再通過MATLAB將這倆軸方向的位移數(shù)據(jù)組合，在之前橢圓軌跡的基礎(chǔ)上繪制出了改進(jìn)后的x-z面內(nèi)的橢圓軌跡如圖14所示。由圖可知，改進(jìn)前，軌跡的豎直方向的振幅為15nm，改進(jìn)后，軌跡的豎直方向的振幅為26nm，改進(jìn)后的軌跡質(zhì)量相比之前提高了很多，驅(qū)動軌跡的豎直方向的振幅提高了73.3%。

圖12 菱形壓電振子改進(jìn)設(shè)計(jì)x-z面內(nèi)驅(qū)動足Comsol仿真圖

圖13 Comsol中改進(jìn)設(shè)計(jì)的菱形振子驅(qū)動端中點(diǎn)的x，z分量的位移數(shù)據(jù)圖

圖14 改進(jìn)設(shè)計(jì)振子驅(qū)動端中點(diǎn)x-z面內(nèi)橢圓軌跡圖

其次針對y-z面內(nèi)的橢圓軌跡進(jìn)行改進(jìn)，在y-z面內(nèi)的加載方案依然不變，而在x-z面內(nèi)的4片壓電片加上相同電壓，相同相位的激勵。具體加載如圖15所示。

圖15 y-z面內(nèi)橢圓軌跡改進(jìn)后各壓電片加載分布圖

y-z面內(nèi)的橢圓軌跡的方程推導(dǎo)與x-z面內(nèi)的橢圓軌跡方程推導(dǎo)同調(diào)，因此直接展示仿真結(jié)果。導(dǎo)入到COMSOL Multiphysics 5.0軟件以后仿真得出的軌跡如圖16所示。Comsol中菱形振子驅(qū)動端中點(diǎn)的y，z分量的位移數(shù)據(jù)如圖17(a)、(b)所示，將軌跡數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB以后，在同一圖中繪制了改進(jìn)前后振子驅(qū)動端中點(diǎn)的橢圓軌跡，圖18中可看出，改進(jìn)前，軌跡的豎直方向的振幅為18nm，改進(jìn)后，軌跡的豎直方向的振幅為41nm，驅(qū)動軌跡的豎直方向的振幅提高了128%。

圖16 菱形壓電振子改進(jìn)設(shè)計(jì)y-z面內(nèi)驅(qū)動足Comsol仿真圖

圖17 Comsol中改進(jìn)設(shè)計(jì)的菱形振子驅(qū)動端中點(diǎn)的y，z分量的位移數(shù)據(jù)圖

圖18 改進(jìn)設(shè)計(jì)振子驅(qū)動端中點(diǎn)y-z面內(nèi)橢圓軌跡圖

4 結(jié)論

本文對新提出的菱形壓電振子進(jìn)行了三維建模及模態(tài)分析，確定了振子的激勵頻率及振子的裝夾固定位置，對改進(jìn)前后的兩種驅(qū)動方式分別在x-z面及y-z面所產(chǎn)生的橢圓軌跡進(jìn)行了推導(dǎo)，計(jì)算及仿真，結(jié)果說明所設(shè)計(jì)的菱形壓電振子可以提供驅(qū)動。最后對比改進(jìn)前后兩者的橢圓軌跡，得出在改變原來水平方向振幅的情況下，即不改變驅(qū)動足驅(qū)動行程的情況了，x-z面內(nèi)的豎

【】【】直方向的振幅在改進(jìn)后由原來的15nm提高到26nm，提高了73.3%，y-z面內(nèi)的豎直方向的振幅在改進(jìn)后由原來的18nm提高到41nm，提高了128%，大幅提高了驅(qū)動足的驅(qū)動力性能，為后續(xù)新型壓電電機(jī)的設(shè)計(jì)以及樣機(jī)制作提供了借鑒。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙淳生.超聲電機(jī)技術(shù)與應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2007.

[2]Zhang Q, Chen W, Liu Y, et al. A Frog-Shaped Linear Piezoelectric Actuator Using First-Order Longitudinal Vibration Mode[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics,2017,64(3):2188-2195.

[3]Liu Y,Yang X, Chen W, et al.A bonded-type piezoelectric actuator using the first and second bending vibration modes[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics,2016,63(3):1676-1683.

[4]Wang S, Rong W,Wang L,et al.Design,analysis and experimental performance of a novel stick-slip type piezoelectric rotary actuator based on variable force couple driving[J].Smart Materials and Structures,2017,26(5):055005.

[5]金專楣,張建輝,趙淳生.新型方尖塔形定子二自由度超聲電機(jī)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、驅(qū)動機(jī)調(diào)與性能研究[J].振動與沖擊,2009,28(12):63-67.

[6]Hu B, Zhang H T, Chen Z Y. Nonlinear cross-coupling of a 2-DOF piezoelectric actuator with multi-channel Hammerstein model[A].Control Conference(CCC)[C].2017 36th Chinese.IEEE,2017:1196-1201.

[7]張福學(xué).現(xiàn)代壓電學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

[8]萬志堅(jiān),胡泓.面內(nèi)彎縱型直線超聲電機(jī)的驅(qū)動與摩擦分析[J].振動、測試與診斷,2014,34(2):229-236,393.