劉帥琦，王布宏，李夏，劉新波，曹帥

1.空軍工程大學 信息與導航學院，西安 710077 2.中國人民解放軍93995部隊，西安 710306 3.中國人民解放軍93801部隊，咸陽 712200

混合多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)相控陣雷達[1-5]近幾年引起國內(nèi)外廣泛關(guān)注，通過在傳統(tǒng)相干MIMO雷達[6-7]發(fā)射陣列基礎上進行合理子陣分割，形成的子陣間發(fā)射相互正交信號，子陣內(nèi)發(fā)射相干信號，兼具MIMO雷達[8]波形分集增益和相控陣雷達[9-10]傳輸相干增益優(yōu)勢的工作模式靈活多變的新型雷達系統(tǒng)[11]。相較于傳統(tǒng)MIMO雷達，子陣分割帶來的傳輸相干增益，提高了混合MIMO相控陣雷達接收端信噪比，進而提高了雷達系統(tǒng)波達方向(Direction Of Arrival, DOA)估計性能[12]。

然而發(fā)射端子陣分割帶來一系列優(yōu)勢的同時，卻減少了混合MIMO相控陣雷達所能形成的虛擬陣元數(shù)目。當發(fā)射陣元個數(shù)為M，接收陣元個數(shù)為N，子陣分割數(shù)為K(K≤M)時，MIMO雷達可以形成MN個虛擬陣元，而混合MIMO相控陣雷達只能形成KN個虛擬陣元，這種虛擬陣元數(shù)目的損失會直接造成部分雷達陣列自由度的損失。而自由度大小是影響雷達系統(tǒng)所能探測目標數(shù)目的關(guān)鍵因素，也是評價雷達性能的一項重要指標。相較于MIMO雷達，子陣分割帶來的自由度損失在一定程度上制約了混合MIMO相控陣雷達可辨識目標數(shù)目、抗干擾能力，進而對雷達系統(tǒng)的整體性能造成影響。因而如何在保留二維混合MIMO相控陣雷達優(yōu)勢的基礎上，通過某種措施彌補自由度損失，進一步提高二維混合MIMO相控陣雷達性能是目前亟待解決的關(guān)鍵問題之一。

目前學術(shù)界就如何增加陣列自由度已有大量的相關(guān)研究，文獻[13]采用的最小冗余陣列可以利用較少的物理陣元形成較大的虛擬陣元數(shù)目以增加陣列自由度，然而采用窮舉搜索法優(yōu)化得到陣元位置所帶來的高計算復雜度不利于實際應用。文獻[14]提出的互質(zhì)陣列可以利用M+N個陣元形成O(MN)個自由度，但互質(zhì)陣列稀疏排列帶來的相位模糊對DOA估計精度產(chǎn)生了較大影響。文獻[15]提出的嵌套陣可以在陣元總數(shù)給定的情況下，產(chǎn)生陣元位置相對確定的虛擬陣元數(shù)目擴展，獲得較大的自由度，便于工程實現(xiàn)?；诖?，文獻[16]將二級嵌套陣列應用在了一維陣列的DOA估計中，利用N個陣元形成了N2個自由度，取得了較好的研究成果。文獻[17]針對MIMO雷達，利用近乎一半的陣元構(gòu)造嵌套陣恢復了全陣元的自由度。雖然文獻[13-17]的研究成果顯著，但均只是針對一維陣列進行研究，對于二維陣列這種實用性更廣的陣列沒有進行考慮。

文獻[18]利用互相平行的兩行一維嵌套陣列構(gòu)造二維陣列形式，提高了二維DOA估計精度，但局限在于只是線陣的簡單疊加，對陣元數(shù)目較大的陣列沒有提出較好的設計方案。而文獻[19]提出的二維嵌套陣列利用稀疏陣列和密集陣列構(gòu)成的自由度擴展為研究二維陣列提供了新思路，且文獻[20]已經(jīng)將二維嵌套陣列成功應用于DOA估計中，并取得了較好的研究成果?；谝陨戏治?，本文將二維嵌套陣列引入二維混合MIMO相控陣雷達接收陣列的設計中，以增加二維混合MIMO相控陣雷達陣列自由度，提高DOA估計性能。本文的主要工作有：給出一種由稀疏陣列和密集陣列構(gòu)成的實際接收陣列模型，在此基礎上結(jié)合二維混合MIMO相控陣雷達信號模型，對接收信號的協(xié)方差矩陣進行Khatri-Rao乘積處理并進行詳盡分析，得到陣元數(shù)目虛擬擴展的差異陣列，最后通過空間平滑處理，進行DOA估計驗證本文所提方法的有效性。

1 二維嵌套陣列模型

稀疏陣列中陣元數(shù)目為

Ns=(2Ns1+1)Ns2-1

式中：Ns1和Ns2為任意選定的整數(shù)，陣元位置為Nsns,其中ns=[ab]T為整數(shù)向量，滿足：-Ns1≤a≤Ns1，0≤b≤Ns2-1且[ab]T≠0。

對如圖1所示的二維嵌套陣列中任意兩個陣元位置進行做差處理，并將得到的位置差作為新陣元位置，這樣得到的新陣列較原陣列擁有更多的陣元數(shù)目，本文將其定義為差異陣列，此時陣元位置可以描述為{±(Nsns-Ndnd),Ndnd-Ndnd,Nsns-Nsns}。

實際上，差異陣列是二維嵌套陣列陣元數(shù)目虛擬擴展的本質(zhì)，而為了對差異陣列進行DOA估計，需要選取差異陣列中陣元連續(xù)排列的一部分作為最終的等效陣列，經(jīng)過分析，陣元位置可以描述為{±(Nsns-Ndnd),Ndnd-Ndnd},去掉其中的冗余陣元最終得到的差異陣列所含陣元個數(shù)為F×L，其中F=(2Ns1+1)λ1，L=2Ns2λ2-1,如圖2所示。從圖1和圖2可以看到，通過對特殊排列的二維嵌套陣列中任意兩個陣元位置進行做差處理可以得到比實際陣元數(shù)目更多的虛擬陣列，而如果在實際應用中構(gòu)造出這種差異陣列，就可以使得陣元數(shù)目得到虛擬擴展。

圖1 二維嵌套陣列模型Fig.1 Model of 2D nested array

圖2 差異陣列Fig.2 Difference array

2 二維混合MIMO相控陣雷達信號模型

一個典型的二維混合MIMO相控陣雷達是在收發(fā)陣列共址的MIMO雷達基礎上，對發(fā)射陣列進行合理的子陣劃分形成的，假設目標為遠場目標，發(fā)射端陣元數(shù)目為M×N，相鄰陣元間隔為半波長，子陣分割數(shù)目為K，且K≤MN，K個子陣中陣元的發(fā)射信號集可以表示為φ(t)=[φ1(t)φ2(t) …φK(t)]T，其中子陣間信號滿足兩兩正交。用M×N維由0、1兩種元素構(gòu)成的矩陣Zk來表示第k個子陣包含的陣元位置，0表示陣元不在該子陣內(nèi)，1則表示屬于該子陣。因此，第k個子陣的發(fā)射導向矢量可以表示為

ak(θ,φ)=vec[Zk⊙[μ(θ,φ)υT(θ,φ)]]

k=1,2,…,K

(1)

式中：θ和φ分別為俯仰角和方位角;vec[·]為矩陣矢量化處理；⊙為Hadamand乘積;

μ(θ,φ)=[1 ej2πdmsin θ cos φ… ej2π(Mt-1)dmsin θ cos φ]T

υ(θ,φ)=[1 ej2πdnsin θ sin φ… ej2π(Nt-1)dnsin θ sin φ]T

(2)

其中：dm和dn分別為相鄰行相鄰列的陣元間距;Mt和Nt分別為發(fā)射陣每行和每列的陣元數(shù)。

(3)

式中：β為目標反射系數(shù)；τk(θ,φ)為信號從第k個子陣的第1個單元到發(fā)射陣列第1個單元所需的時間差。假設接收陣列導向矢量為b(θ,φ)，那么此時雷達接收端接收到的信號為

x(t)=r(t,θ,φ)b(θ,φ)+n(t)

(4)

式中：n(t)為零均值的高斯白噪聲矩陣。對接收信號進行匹配濾波之后得到的接收數(shù)據(jù)矩陣為

(5)

(6)

3 基于二維嵌套陣列的接收信號處理

與傳統(tǒng)陣列不同的是，收發(fā)陣列形成的虛擬陣列結(jié)構(gòu)的陣元數(shù)目擴展是相干MIMO雷達自由度較多的本質(zhì)，因而混合MIMO相控陣雷達發(fā)射子陣分割帶來的虛擬陣元數(shù)目減少，是其自有度損失的根本原因。因此，彌補自有度損失的關(guān)鍵應從增加虛擬陣元數(shù)目出發(fā)?；谝陨戏治?，本文著手于在虛擬陣列中引入嵌套陣，構(gòu)造與之對應差異陣列，形成陣元數(shù)目的虛擬擴展，提高陣列自由度。

將由稀疏陣列和密集陣列構(gòu)成的總陣元數(shù)目為Ns+Nd的二維嵌套陣列作為接收陣列，這里假設空間有D個遠場目標，則接收信號進過匹配濾波之后得到的信號矩陣可以表示為

(7)

(8)

式中：β=[β1(θ1,φ1)β2(θ2,φ2) …βD(θD,φD)]T為目標反射系數(shù)向量；U=[u1u2…uD]為面對D個目標的虛擬導向矢量形成的流形矩陣。則接收數(shù)據(jù)矩陣的協(xié)方差矩陣可以表示為

(9)

將式(9)中的協(xié)方差矩陣按列展開為

(10)

式(10)可以看做一個新的信號模型，其中C=U*⊕U可以看做新的陣列流形，p為信號矩陣。下面著重討論如何在接收信號中構(gòu)造出陣元位置差的形式，進而形成差異陣列。定義面向D個目標的二維嵌套陣列流形矩陣為

(11)

式中：Ask為Ns×1維稀疏陣列流形矩陣；Adk(k=1,2,…,D)為Nd×1維密集陣列流形矩陣,且其中元素分別為

(12)

(13)

式中：uk=sinφk[cosθksinθk]T。為簡化計算，假設發(fā)射權(quán)值矩陣采用傳統(tǒng)權(quán)值為

(14)

將其代入c(θk,φk),可得

(15)

用二維矩陣Nk(k=1,2,…,K),表示每個子陣第1個陣元的位置，則

(16)

進而K(Ns+Nd)×1維虛擬導向矢量就可以表示為

(17)

進而可以得到

u*(θk,φk)?u(θk,φk)=

(18)

C=(MN-K+1)×

(19)

可以看到，通過Khatri-Rao乘積處理，形成了K2(Ns+Nd)2×D維新的流形矩陣C，并且在矩陣C中構(gòu)造出了陣元位置差，由此可以形成差異陣列，初步實現(xiàn)了陣元數(shù)目的虛擬擴展。經(jīng)過仿真驗證，這些行向量中存在大量的冗余元素，且形成的差異陣列陣元排列部分不連續(xù)，不能直接對其進行DOA估計，需要選取差異陣列中連續(xù)的一部分，并進行去冗余操作，最終形成的虛擬陣列包含陣元2(2Ns1+1)Ns2λ1λ2-(2Ns1+1)λ1個，定義矩陣C#為由去冗余后形成的差異陣列構(gòu)成的[2(2Ns1+1)Ns2λ1λ2-(2Ns1+1)λ1)]×D維虛擬接收導向矢量矩陣，式(8)就變成了

(20)

(21)

式中：Rss=ppH為目標功率的協(xié)方差矩陣，可以看到，經(jīng)過空間平滑處理的信號協(xié)方差矩陣秩不為一，因而可以對其應用DOA估計算法進行DOA估計，更重要的是僅僅利用O(Ns+Nd)個實際物理陣元，形成了O(NsNd)個虛擬陣元擴展，大大增加了二維混合MIMO相控陣雷達的自由度。

4 計算機仿真實驗

以文獻[21]中均勻重疊分割模式的5×5二維混合MIMO相控陣雷達為例。其中，各天線為全向發(fā)射的發(fā)射陣列中M=N=5，相鄰天線單元間隔設為半波長，子陣分割數(shù)目K=2，且每個子陣包括24個天線單元。接收陣的二維嵌套列中，相關(guān)參數(shù)設置為

取Ns1=1,Ns2=2,則稀疏陣列和密集陣列陣元數(shù)分別Ns=8,Nd=9,實際接收陣元總數(shù)目為17，如圖1所示。而由此形成的差異陣列中F=9，M=17，如圖2所示。經(jīng)過空間平滑處理后最終應用DOA估計的子陣陣元數(shù)目為45，如圖2中實線框內(nèi)所示。實驗均為高斯白噪聲環(huán)境。

4.1 實驗1:虛擬陣元數(shù)目對比

表1對比了MIMO雷達，混合MIMO相控陣雷達以及混合MIMO相控陣嵌套陣雷達，3種雷達在發(fā)射陣列數(shù)相同的情況下采用圖1接收陣列最終得到的自由度數(shù)目。由于混合MIMO相控陣雷達是在MIMO雷達基礎上對發(fā)射陣列進行合理子陣劃分形成的，滿足K≤MN，因此混合MIMO相控陣雷達相較于MIMO損失了一定的自由度。而在混合MIMO相控陣雷達接收端應用嵌套陣形成差異陣列帶來的虛擬陣元擴展可以在一定程度上彌補傳統(tǒng)混合MIMO相控陣雷達自由度的損失，在對發(fā)射陣列數(shù)目MN，子陣分割數(shù)目K，接收端陣元數(shù)目Ns+Nd進行合理取值后，嵌套陣混合MIMO相控陣雷達在自由度上幾乎可以與MIMO雷達相等。

表1 3種接收陣列與自由度關(guān)系表Table 1 Three receiving array vs degrees of freedom

4.2 實驗2：DOA估計精度對比

為了對比利用二維嵌套陣列形成的虛擬陣元數(shù)目擴展對二維混合MIMO相控陣雷達DOA估計精度的影響，在發(fā)射陣列相同的情況下，對3種不同的接收陣列：直接采用圖1的接收陣列，采用圖1陣列并進行Khatri-Rao乘積處理形成的嵌套陣接收陣列，與嵌套陣形成的差異陣列相同的5×9接收陣列，分別利用Unitary ESPRIT算法進行俯仰角和方位角的聯(lián)合DOA估計。蒙特卡羅仿真次數(shù)設為100。

圖3和圖4分別為估計均方誤差(RMSE)與信噪比(SNR)和快拍數(shù)的關(guān)系，這里假設空間存在7個遠場目標，(10i,10i)(i=1,2,…,7)。圖3中，信噪比從-30 dB以5 dB遞增到40 dB，快拍數(shù)為500，由圖可知，3種接收陣列的估計均方根誤差均隨著信噪比的升高而降低，其中17接收陣元表現(xiàn)最差，嵌套陣表現(xiàn)中等，45接收陣元最優(yōu)。圖4中，信噪比設置為0 dB，快拍數(shù)從1以10為間隔遞增到200。從圖中可知3種接收陣列在快拍數(shù)從0增加到10時，估計均方根誤差均呈劇烈下降趨勢，快拍數(shù)從10遞增到200時，估計均方根誤差呈小范圍波動，趨于不變。其中45接收陣元估計精度最高，其次是嵌套陣，17接收陣元精度最低。

圖3 信噪比和估計均方誤差的關(guān)系Fig.3 Relationship between SNR and estimated RMSE

圖4 快拍數(shù)與估計均方根誤差的關(guān)系Fig.4 Relationship between snapshots and estimated RMSE

圖5為對兩個相近目標(10,10)、(11,11)進行DOA估計時，3種不同接收陣列的估計成功率與信噪比變化關(guān)系圖，信噪比從-30 dB以5 dB遞增到40 dB，定義估計成功準則為

從圖5可以看到，在低信噪比時，3種陣列的估計成功率均呈上升趨勢，其中45陣元在信噪比-10 dB時成功率已接近1，其次是嵌套陣在-5 dB時接近1，表現(xiàn)最差是17陣元在5 dB時接近1。

總的來說，由于差異陣列形成的虛擬陣元數(shù)目擴展，使得嵌套陣混合MIMO相控陣雷達較傳統(tǒng)混合MIMO相控陣雷達在對空間相同目標進行DOA估計時顯示出了較高的估計精度，而由于差異陣列形成的只是虛擬陣元數(shù)目的擴展，實際陣元數(shù)目沒有增加，因此嵌套陣混合MIMO相控陣雷達在與虛擬陣元數(shù)目相同的實際物理陣元對比時，估計精度略有下降。但也驗證了在接收陣列中應用嵌套陣可以在一定程度上彌補二維混合MIMO相控陣雷達發(fā)射陣列分割帶來的自由度損失，提高DOA估計精度。

圖5 成功率與信噪比的關(guān)系Fig.5 Relationship between successful probability and SNR

5 結(jié) 論

仿真實驗表明，本文提出的基于二維嵌套陣的二維混合MIMO相控陣雷達接收陣列設計方法有如下結(jié)論：

1) 能夠在不增加實際陣元數(shù)目的情況下，形成更大規(guī)模的虛擬陣元數(shù)目擴展，在一定程度上彌補二維混合MIMO相控陣雷達自由度的損失。

2) 相較于傳統(tǒng)混合MIMO相控陣雷達可以在一定程度上提高DOA估計精度。

本文只是提出一種提高自由度的可行性方法，至于是否存在其他更優(yōu)方案，在下一步工作中將有所體現(xiàn)。

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