駱長(zhǎng)鑫，張東洋，雷虎民，卜祥偉，葉繼坤

1.空軍工程大學(xué) 研究生院，西安 710051 2.空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院，西安 710051

吸氣式高超聲速飛行器(AHV)已成為21世紀(jì)世界航空航天技術(shù)發(fā)展新的制高點(diǎn)，必將在未來國(guó)防裝備發(fā)展和民用空天技術(shù)應(yīng)用中發(fā)揮極其重要的戰(zhàn)略作用。然而，AHV在動(dòng)力學(xué)特性上表現(xiàn)出比傳統(tǒng)飛行器更加顯著的強(qiáng)耦合、強(qiáng)非線性、非最小相位行為和模型不確定性，且對(duì)飛行姿態(tài)異常敏感，這使得AHV的飛行控制成為當(dāng)今控制領(lǐng)域的前沿問題[1-4]。

因?yàn)锳HV動(dòng)力學(xué)特性十分復(fù)雜且缺少建模所需的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在現(xiàn)有的國(guó)內(nèi)外研究成果中，大多集中于對(duì)AHV縱向運(yùn)動(dòng)模型的研究[5]，相關(guān)的控制工作也在縱向平面內(nèi)展開。同時(shí)，考慮到其對(duì)姿態(tài)的敏感以及燃料消耗等因素，在飛行任務(wù)中，應(yīng)盡量避免橫向機(jī)動(dòng)，因此對(duì)其縱向運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究有其合理性和實(shí)際意義[6]。

AHV以升降舵作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)來控制縱向運(yùn)動(dòng)的高度和姿態(tài)，隨著飛行高度的增加，升降舵的執(zhí)行效率會(huì)顯著下降，例如，AHV以5馬赫速度飛行時(shí)，在10 km高空處的升降舵執(zhí)行效率相對(duì)100 m處將下降1/3以上[5]。同時(shí)，AHV在飛行過程中會(huì)受到諸如陣風(fēng)、湍流以及未知?dú)饬鞯母蓴_，因此，AHV在高空飛行時(shí)極易出現(xiàn)升降舵飽和現(xiàn)象。而一旦執(zhí)行器達(dá)到飽和，理想控制律就無法得到有效的執(zhí)行，閉環(huán)控制系統(tǒng)將不再穩(wěn)定，極有可能造成控制系統(tǒng)的失效，這就迫切要求開展AHV的抗飽和控制研究。文獻(xiàn)[7]只考慮發(fā)動(dòng)機(jī)的節(jié)流閥飽和現(xiàn)象，提出了一種基于時(shí)標(biāo)分離的神經(jīng)控制方法。文獻(xiàn)[8-9]設(shè)計(jì)了一種魯棒控制策略，采用輔助線性矩陣不等式解決了執(zhí)行器的飽和問題。文獻(xiàn)[10]通過一個(gè)輔助系統(tǒng)對(duì)跟蹤誤差進(jìn)行了修正，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了修正誤差的有界性，雖然仿真結(jié)果表明該方法在處理執(zhí)行器飽和問題上具有一定的可行性，但無法從理論上保證跟蹤誤差的有界。文獻(xiàn)[11]進(jìn)一步將文獻(xiàn)[10]的方法拓展到控制輸入與狀態(tài)(飛行姿態(tài))都受限的AHV飛行控制中，但在工程實(shí)際中，AHV并沒有相應(yīng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)對(duì)飛行姿態(tài)進(jìn)行限制。文獻(xiàn)[12]采用多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近控制律的飽和特性，有效地處理了控制輸入飽和受限的約束，但是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值調(diào)節(jié)參數(shù)對(duì)模型依賴性強(qiáng)，選取困難。針對(duì)AHV彈性體模型的控制輸入受限問題，文獻(xiàn)[13]引入文獻(xiàn)[14]所提出的輔助系統(tǒng)對(duì)理想控制律進(jìn)行了補(bǔ)償，雖然仿真結(jié)果證明了在執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和時(shí)控制方法依然有效，但輔助系統(tǒng)過于復(fù)雜。文獻(xiàn)[15]提出了一種新型補(bǔ)償策略，通過設(shè)計(jì)一種新型輔助系統(tǒng)對(duì)理想控制律進(jìn)行了有界補(bǔ)償，不僅保證了閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且在理論上確保了跟蹤誤差的有界性，較文獻(xiàn)[16]的補(bǔ)償策略具有一定的優(yōu)勢(shì)，但其對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的速率受限問題未作討論。基于文獻(xiàn)[15]的補(bǔ)償思想，文獻(xiàn)[17]將AHV的高度子系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的純反饋形式，通過設(shè)計(jì)一種新型高階輔助系統(tǒng)對(duì)理想控制律進(jìn)行了補(bǔ)償，保證了所有閉環(huán)信號(hào)的有界性，仿真結(jié)果表明該方法具有一定的可行性與有效性。

上述文獻(xiàn)的研究更多地集中在幅值飽和問題上，而未對(duì)速率飽和采取任何應(yīng)對(duì)措施，這極有可能導(dǎo)致控制方法在輸入幅值和速率均受限的情況下失效。

本文將研究控制輸入受限情況下高超聲速飛行器彈性體模型的魯棒反演控制問題?；谳o助誤差補(bǔ)償策略設(shè)計(jì)反演控制器，保證了執(zhí)行機(jī)構(gòu)在幅值和速率同時(shí)達(dá)到飽和時(shí)閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和跟蹤誤差的有界性。通過引入有限時(shí)間收斂微分器(FD)，解決了傳統(tǒng)反演控制的“微分項(xiàng)膨脹”問題，并在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種非線性干擾觀測(cè)器(NDO)，用以精確估計(jì)模型的不確定項(xiàng)，進(jìn)一步提高了控制精度。最后，通過仿真對(duì)所設(shè)計(jì)控制方法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 高超聲速飛行器運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

美國(guó)空軍研究實(shí)驗(yàn)室的一位學(xué)者Parker[18]在Bolender與Doman[19]的研究基礎(chǔ)上，建立了AHV縱向運(yùn)動(dòng)參數(shù)擬合模型:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：

(8)

AHV受力情況如圖1所示(G為所受重力)，T、D、L、M、N1與N2的參數(shù)擬合形式可表示為[18]

圖1 AHV模型受力示意圖Fig.1 Force map of a AHV model

(9)

2 控制目標(biāo)和模型轉(zhuǎn)換

AHV的控制目標(biāo)是：通過不斷調(diào)整控制輸入Φ和δe,實(shí)現(xiàn)飛行器的速度V和飛行高度h對(duì)其參考輸入Vref和href的魯棒跟蹤，并保持飛行器姿態(tài)的穩(wěn)定和抑制彈性振動(dòng)。由式(1)～式(5)可以看出，由于Φ直接影響推力，所以速度的變化主要受燃料-空氣比Φ控制。高度變化則主要由舵偏角δe控制，這是因?yàn)棣膃直接影響俯仰角速度Q,進(jìn)而影響俯仰角θ與航跡角γ的變化，最后控制高度h的變化[15,17]。因此，為了便于控制律的設(shè)計(jì)，通常情況下，在形式上先將AHV模型分解成速度子系統(tǒng)(式(1))和高度子系統(tǒng)(式(2)～式(5))，然后分別對(duì)其進(jìn)行控制律的設(shè)計(jì)[20-23]。

對(duì)于速度子系統(tǒng)，控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)控制律Φ,實(shí)現(xiàn)速度V對(duì)其參考輸入Vref的穩(wěn)定跟蹤。將速度子系統(tǒng)改寫為

(10)

式中：

其中：dV0為外部擾動(dòng)；ΔfV、ΔgV分別為氣動(dòng)參數(shù)攝動(dòng)量；dV為總不確定項(xiàng)。

對(duì)于高度子系統(tǒng)，控制目標(biāo)是：采用反演控制策略，設(shè)計(jì)一系列虛擬控制律和最終的實(shí)際控制律δe,使得h穩(wěn)定跟蹤href。

將高度跟蹤誤差定義為

(11)

對(duì)式(11)求一階導(dǎo)數(shù)并將式(2)代入可得

(12)

由式(12)可知，將航跡角指令設(shè)計(jì)為

(13)

(14)

對(duì)式(14)兩側(cè)進(jìn)行拉氏變換，可得其特征方程為

s2+kh1s+kh2=0

(15)

因此，只要保證航跡角γ趨于γcmd,就能實(shí)現(xiàn)h對(duì)href的穩(wěn)定跟蹤。這樣，高度子系統(tǒng)的控制任務(wù)就變?yōu)榇_保航跡角γ穩(wěn)定跟蹤γcmd。為了反演控制律設(shè)計(jì)上的方便，將高度子系統(tǒng)的其他部分(式(3)～式(5))改寫為

(16)

式中：

其中：dγ 0和dQ 0為外部擾動(dòng)；Δgγ、Δfγ、ΔgQ和ΔfQ為氣動(dòng)參數(shù)攝動(dòng)量；dγ與dQ為總不確定項(xiàng)。

注1 由于彈性狀態(tài)不能被直接測(cè)量，并且缺少相應(yīng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)對(duì)其進(jìn)行主動(dòng)抑制，參考文獻(xiàn)[13,15]的做法，在式(16)中，把彈性狀態(tài)視為總不確定項(xiàng)dγ和dQ的一部分。

3 控制器設(shè)計(jì)

3.1 速度控制器設(shè)計(jì)

將速度跟蹤誤差定義為

(17)

對(duì)式(17)兩側(cè)求一階導(dǎo)數(shù)并將式(10)代入可得

(18)

將控制律Φ設(shè)計(jì)為

(19)

考慮到實(shí)際情況中，AHV的執(zhí)行機(jī)構(gòu)Φ的可執(zhí)行范圍存在一定限度，將其定義為

(20)

式中：Φc為輸入受限情況下的理想控制律；Φmin、Φmax分別為Φ的下界與上界。

為保證飛行器執(zhí)行機(jī)構(gòu)Φ在瞬時(shí)飽和的情況下仍能實(shí)現(xiàn)對(duì)參考輸入的穩(wěn)定跟蹤，設(shè)計(jì)如下輔助系統(tǒng)對(duì)控制律Φ(式(19))進(jìn)行修正。

(21)

將速度跟蹤誤差(式(17))修正為

(22)

對(duì)式(22)求時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)并將式(18)與式(21)代入可得

(23)

將理想控制律Φc修正為

(24)

3.2 高度控制器設(shè)計(jì)

步驟1 將航跡角跟蹤誤差定義為

(25)

對(duì)式(25)求一階導(dǎo)數(shù)并將式(16)代入可得

(26)

將虛擬控制指令θcmd設(shè)計(jì)成

(27)

步驟2 將俯仰角跟蹤誤差定義為

(28)

對(duì)式(28)求時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)并將式(16)代入可得

(29)

將虛擬控制指令Qcmd設(shè)計(jì)為

(30)

式中：kθ1、kθ2∈R+為待設(shè)計(jì)參數(shù)；θd為θcmd的估計(jì)值。

步驟3 將俯仰角速度跟蹤誤差定義為

(31)

對(duì)式(31)求時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)并將式(16)代入可得

(32)

將實(shí)際控制律δe設(shè)計(jì)為

δe=

(33)

由于在實(shí)際情況中，執(zhí)行機(jī)構(gòu)δe的幅值和速率均受到一定程度的限制，分別將其定義為

(34)

(35)

考慮δe幅值受限，采用如下輔助系統(tǒng)對(duì)控制律δe(式(33))進(jìn)行修正。

(36)

將虛擬控制律(式(30))修正為

(37)

將俯仰角速度跟蹤誤差(式(31))修正為

(38)

對(duì)式(38)求時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)并將式(32)與式(36)代入得

(39)

將理想控制律δec設(shè)計(jì)成

(40)

考慮δe速率受限，采用如下輔助系統(tǒng)對(duì)控制律δec進(jìn)行重設(shè)計(jì)。

(41)

定義舵偏角δe跟蹤誤差為

(42)

對(duì)式(42)求時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)可得

(43)

將控制律ωec設(shè)計(jì)為

(44)

式中：kδ1、kδ2∈R+為待設(shè)計(jì)參數(shù)；δd為δec的估計(jì)值。

而ωe由ωec經(jīng)過如式(35)所示的約束得到，最終，將控制律δec修正為

(45)

3.3 有限時(shí)間收斂微分器設(shè)計(jì)

定理1 對(duì)于如下FD

(46)

式中：R、ai(i=1,2,…,n)∈R+為待設(shè)計(jì)參數(shù)。則存在φ>0與τφ>n使得

(47)

證明：見文獻(xiàn)[26]，證畢。

采用上述FD分別對(duì)γcmd、θcmd、Qcmd、δec的一階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

(48)

(49)

(50)

(51)

3.4 非線性干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)

考慮如下不確定系統(tǒng)

(52)

式中:v∈R為系統(tǒng)狀態(tài)變量;F(v)與G(v)≠0為連續(xù)函數(shù);u∈R為控制輸入;d∈R為不確定項(xiàng)。

基于上述FD(取n=2)，將NDO設(shè)計(jì)成如下形式。

定理2 對(duì)于如下NDO:

(53)

(54)

證明：見文獻(xiàn)[25]，證畢。

采用上述NDO分別對(duì)dV、dγ、dQ進(jìn)行估計(jì)。

(55)

(56)

(57)

3.5 穩(wěn)定性分析

定理3 針對(duì)AHV的速度子系統(tǒng)(式(1))，采用控制律Φc(式(24))、NDO(式(55))和輔助系統(tǒng)(式(36))，則閉環(huán)系統(tǒng)局部一致漸進(jìn)穩(wěn)定。

證明：定義NDO估計(jì)誤差為

(58)

將式(24)代入式(23)可得

(59)

選取如下Lyapunov函數(shù):

(60)

對(duì)式(60)求時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)并將式(59)代入可得

(61)

(62)

令kV1>1/2,并定義如下緊集:

定理4 針對(duì)AHV的高度子系統(tǒng)(式(2)～式(5))，采用控制律(式(27)、式(30)、式(40)、式(44))，F(xiàn)D(式(48)～式(51))和NDO(式(56)、式(57))，則閉環(huán)控制系統(tǒng)局部一致漸進(jìn)穩(wěn)定。

證明：定義NDO估計(jì)誤差為

(64)

定義FD估計(jì)誤差為

(65)

將式(31)、式(37)和式(65)代入式(29)可得

(66)

將式(40)、式(64)代入式(39)可得

(67)

將式(44)代入式(43)可得

(68)

選取如下Lyapunov函數(shù):

(69)

對(duì)式(71)求時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)并將式(26)、式(29)、式(67)和式(68)代入可得

(70)

因?yàn)?/p>

于是式(70)可寫為

(71)

(72)

(73)

對(duì)式(73)求時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)并將式(41)代入可得

(74)

4 仿真驗(yàn)證

圖2 情形1仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of situation 1

圖3 情形2仿真結(jié)果Fig.3 Simulation result of Situation 2

5 結(jié) 論

1) 本文基于輔助誤差補(bǔ)償策略設(shè)計(jì)的AHV魯棒反演控制律，保證了執(zhí)行機(jī)構(gòu)在幅值和速率達(dá)到瞬時(shí)飽和時(shí)閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和跟蹤誤差的有界性。

2) 所設(shè)計(jì)的FD和NDO，實(shí)現(xiàn)了對(duì)虛擬控制律及其一階導(dǎo)數(shù)的精確估計(jì)，并完成了對(duì)模型不確定項(xiàng)的平滑估計(jì)，進(jìn)一步提高了控制精度。

3) 仿真結(jié)果充分表明，所提出的控制策略在處理更為嚴(yán)苛的控制輸入受限問題時(shí)，比現(xiàn)有方法有一定的優(yōu)越性。

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