施夢(mèng)瑤，魏朝富，謝思源，李 朋

(武漢理工大學(xué)，武漢 430070)

0 引 言

在超高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，磁懸浮技術(shù)憑借無(wú)摩擦、可控制的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)成為研究熱點(diǎn)。目前高速磁懸浮電機(jī)等柔性轉(zhuǎn)子實(shí)現(xiàn)高轉(zhuǎn)速的瓶頸在于如何安全穿越彎曲臨界轉(zhuǎn)速[1]。對(duì)過(guò)盈聯(lián)接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)的準(zhǔn)確分析，旨在精確模型參數(shù)，便于之后的控制研究。

有限元法基于物理模型，如何處理過(guò)盈配合部位,對(duì)于準(zhǔn)確構(gòu)建模型是一個(gè)難題。例如高速電機(jī)中護(hù)套作為主要抗彎載體，主要考慮其剛度和慣量，文獻(xiàn)[2]在配合部位將轉(zhuǎn)子組件的分布質(zhì)量向軸的兩端集中；磁力支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中轉(zhuǎn)子組件皆熱過(guò)盈配合在轉(zhuǎn)子心軸上，文獻(xiàn)[3]通過(guò)減小附加部件的彈性模量來(lái)模擬過(guò)盈問(wèn)題；過(guò)盈配合實(shí)際上是一個(gè)局部的接觸問(wèn)題，當(dāng)因配合而產(chǎn)生的局部應(yīng)力對(duì)于整體模態(tài)的計(jì)算不可忽略時(shí)，需要在模型建立的過(guò)程中將過(guò)盈量納入考慮。接觸問(wèn)題具有高度非線性行為，在進(jìn)行迭代求解的過(guò)程中，過(guò)大的剛度總是會(huì)引起嚴(yán)重的收斂困難[4]。文獻(xiàn)[5]將過(guò)盈量轉(zhuǎn)為接觸剛度的優(yōu)化問(wèn)題；增廣拉格朗日法引入額外因子降低了對(duì)于懲罰剛度的敏感性, 文獻(xiàn)[6]采用摩擦接觸類型，將局部應(yīng)力結(jié)果導(dǎo)入之后的模態(tài)分析，得到了更為精確的模態(tài)計(jì)算結(jié)果。

針對(duì)柔性磁懸浮轉(zhuǎn)子，以一階及二階彎曲固有頻率為主要預(yù)測(cè)對(duì)象，研究過(guò)盈配合引起的固有頻率變化問(wèn)題。最后通過(guò)模態(tài)測(cè)試，依據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)不同模型修正方法進(jìn)行分析。

1 接觸力問(wèn)題基礎(chǔ)理論

1.1 過(guò)盈配合下的接觸壓力

簡(jiǎn)單的過(guò)盈裝配如圖1所示。設(shè)軸及襯套為相同材料，E為彈性模量；μ為泊松比；δ1，δ2分別為軸和襯套的徑向位移量；δ為配合的過(guò)盈量。

圖1 軸與襯套過(guò)盈裝配示意圖

有邊界條件[7]：

δ2|r=b-δ1|r=b=δ

(1)

依據(jù)彈性力學(xué)理論：

(2)

(3)

結(jié)合式(1)～式(3)，在r=b處的接觸面壓力可表示：

(4)

對(duì)于實(shí)心軸的配合，接觸壓力可表示：

(5)

1.2 過(guò)盈配合下的接觸算法

1) 罰函數(shù)方程:

FNormal=kNormal·xP

(6)

式中：FNormal為接觸力；kNormal為接觸剛度；xP為穿透量。

針對(duì)一個(gè)有限接觸力FNormal，存在一個(gè)接觸剛度的概念kNormal。參考圖2，彈簧只在接觸面間有一定穿透量后才會(huì)發(fā)揮作用，且接觸剛度與穿透量存在一個(gè)反比關(guān)系。

圖2 接觸剛度與穿透量示意圖

接觸剛度kNormal：ANSYS依據(jù)模型的幾何特征、材料參數(shù)、用戶定義的接觸類型及接觸剛度系數(shù)fFKN來(lái)計(jì)算接觸剛度。根據(jù)節(jié)點(diǎn)計(jì)算的剛度要乘上fFKN，為增加求解精度可修改fFKN值。即：

2) 增廣拉格朗日法:

FNormal=kNormal·xP+λ

(7)

因?yàn)轭~外因子λ的引入, 增廣拉格朗日方法對(duì)于接觸剛度kNormal變得不敏感。

2 柔性磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有限元分析

2.1 柔性磁懸浮轉(zhuǎn)子裝配體結(jié)構(gòu)

磁懸浮轉(zhuǎn)子的柔性表現(xiàn)在其設(shè)定的工作轉(zhuǎn)速常位于一階甚至二階臨界轉(zhuǎn)速之上，建立一個(gè)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?duì)于研究高速環(huán)境下磁懸浮轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)特性以及磁力軸承的支撐控制特性具有重要意義。

轉(zhuǎn)子平臺(tái)如圖3所示。包括3個(gè)配重盤用以降低轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率并調(diào)整轉(zhuǎn)子穿越臨界轉(zhuǎn)速時(shí)的振形；支撐結(jié)構(gòu)由2個(gè)徑向磁軸承組成，電機(jī)通過(guò)彈性聯(lián)軸器與軸聯(lián)接；另設(shè)置一個(gè)擾動(dòng)激勵(lì)磁軸承；固定環(huán)、位移檢測(cè)環(huán)等轉(zhuǎn)子組件皆通過(guò)熱裝配固定在心軸上。材料基本屬性如表1所示。

圖3 柔性磁懸浮轉(zhuǎn)子平臺(tái)結(jié)構(gòu)

表1 轉(zhuǎn)子裝配體材料屬性

2.2 等效參數(shù)下的有限元仿真分析

2.2.1 附加組件的等效

柔性磁懸浮轉(zhuǎn)子體積小、質(zhì)量輕，由過(guò)盈配合引起的剛度問(wèn)題對(duì)于整體模態(tài)不可忽略。有限元求解中將復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)離散為有限尺寸梁?jiǎn)卧?，在不考慮耦合的情況下[8]，單元n的對(duì)稱剛度矩陣Kn：

(8)

式(8)中:系統(tǒng)剛度矩陣的變量包含彈性模量E、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jn、長(zhǎng)度ln，長(zhǎng)度的改變會(huì)同時(shí)引起質(zhì)量矩陣的變化，不利于等效。實(shí)際的過(guò)盈配合中不存在質(zhì)量的變化，修正參數(shù)過(guò)程中應(yīng)遵循質(zhì)量不變的原則。對(duì)于轉(zhuǎn)子而言，慣性矩與直徑相關(guān)，可以考慮通過(guò)改變彈性模量E及轉(zhuǎn)子附加組件的直徑d來(lái)改變系統(tǒng)剛度矩陣。據(jù)此，在建立模型前取一個(gè)修正系數(shù)α，與實(shí)際參數(shù)相乘，以等效參數(shù)的方式對(duì)計(jì)算模型進(jìn)行修正?？紤]到過(guò)盈配合裝配體相對(duì)于一體化加工而言，其抗彎剛度必然是一個(gè)降低的趨勢(shì)，因此修正系數(shù)α≤1。

在Workbench中進(jìn)行裝配體建模，以5 mm大小進(jìn)行掃掠和映射相組合方式的網(wǎng)格劃分，獲得節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)488 834，轉(zhuǎn)子裝配體物理模型及網(wǎng)格模型如圖4所示。依次通過(guò)修正系數(shù)α來(lái)改變轉(zhuǎn)子組件的彈性模量，記錄下彎曲固有頻率如表2所示。當(dāng)修正系數(shù)取1時(shí)即為Workbench默認(rèn)模型，計(jì)算結(jié)果誤差達(dá)到7.4%。

(a) 物理模型

(b) 網(wǎng)格模型

圖4 轉(zhuǎn)子裝配體物理模型及網(wǎng)格模型對(duì)比

對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的等效方式與上述步驟大致相同，依次通過(guò)修正系數(shù)α來(lái)改變轉(zhuǎn)子組件的徑向厚度。修正系數(shù)取0，即與轉(zhuǎn)子心軸相配合組件的質(zhì)量皆附加在相對(duì)應(yīng)配合長(zhǎng)度范圍，將組件與心軸的質(zhì)量相加，重新計(jì)算出密度并定義在新材料中。相同方式劃分網(wǎng)格后模型節(jié)點(diǎn)數(shù)為145 453，相對(duì)于修正前網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)減少70%，便于計(jì)算。記錄下的彎曲固有頻率如表3所示。

表3 外徑修正系數(shù)下固有頻率誤差對(duì)比

在對(duì)彈性模量進(jìn)行修正的過(guò)程中，系數(shù)取0.01時(shí)會(huì)引起系統(tǒng)剛度過(guò)小，出現(xiàn)很多本不該存在的軸向振動(dòng)[3]，且難以出現(xiàn)三階彎曲模態(tài)。系數(shù)取0.1時(shí)的計(jì)算結(jié)果較理想，相對(duì)誤差不超過(guò)2.5%；通過(guò)外徑對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行修正，相對(duì)于修正彈性模量是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程。一般地,修正系數(shù)取為0，將轉(zhuǎn)子組件全部附加到心軸上可獲得一個(gè)較為保守的結(jié)果。

2.2.2 轉(zhuǎn)子心軸的等效

轉(zhuǎn)子心軸為一體加工材料，且轉(zhuǎn)子組件分布較為均勻，對(duì)轉(zhuǎn)子心軸進(jìn)行等效建?？梢院?jiǎn)便計(jì)算。圖5表達(dá)了隨著心軸等效彈性模量的減小，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前三階固有頻率呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)。

圖5 彈性模量修正系數(shù)下固有頻率變化趨勢(shì)

對(duì)心軸進(jìn)行修正，將得到的固有頻率與測(cè)試值進(jìn)行對(duì)比，記錄于表4中。

表4 心軸不同修正方式下固有頻率與模態(tài)測(cè)試值對(duì)比

轉(zhuǎn)子心軸作為主要的抗彎載體，其彈性模量修正系數(shù)應(yīng)趨近于1。相比于轉(zhuǎn)子組件中0.1的修正系數(shù)，心軸的彈性模量修正系數(shù)選取0.9更接近測(cè)試值。而對(duì)于心軸內(nèi)徑的修正，其主要問(wèn)題在于針對(duì)階梯軸仍是一個(gè)煩雜的計(jì)算準(zhǔn)備過(guò)程，更適用于軸徑變化少或轉(zhuǎn)子組件形狀復(fù)雜的狀況。

2.3 接觸行為下的有限元仿真分析

2.3.1 罰函數(shù)模型求解

圖6 位移檢測(cè)環(huán)與心軸的初始穿透量

罰函數(shù)法利用1個(gè)彈簧施加接觸協(xié)調(diào)，計(jì)算時(shí)穿透量xP即接觸彈簧的變形量。該穿透量?jī)H用來(lái)協(xié)調(diào)接觸方程，并不存在于實(shí)際情況，過(guò)大的剛度在收斂過(guò)程中往往引起振蕩，導(dǎo)致收斂困難或無(wú)法求解。只要穿透量足夠小或可忽略，求解的結(jié)果就是精確的。對(duì)于柔性彎曲為主的接觸問(wèn)題時(shí)，推薦fFKN=0.01～0.1。觀察圖7中二階彎曲固有頻率的變化，其隨著fFKN的不斷增加且速度逐漸放緩，是一個(gè)趨于穩(wěn)定值的過(guò)程。當(dāng)fFKN取0.06后，二階彎曲固有頻率的變化不再明顯。

圖7 固有頻率隨fFKN的變化趨勢(shì)

2.3.2 摩擦接觸模型求解

增廣拉格朗日方法因?yàn)轭~外因子λ，對(duì)于接觸剛度kNormal的值變得不敏感。初始幾何穿透的加載與罰方法相同，區(qū)別在于增廣拉格朗日方法使用摩擦接觸類型，針對(duì)不同的摩擦系數(shù)μ求解出的固有頻率如圖8所示。參考材料手冊(cè)，配重盤與軸的摩擦系數(shù)取0.12，檢測(cè)環(huán)等與軸的摩擦系數(shù)取0.15。

圖8 不同摩擦系數(shù)下的固有頻率

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與仿真結(jié)果的對(duì)比分析

模態(tài)測(cè)試通過(guò)引入傳遞函數(shù)的概念，通過(guò)擊振實(shí)驗(yàn)，從激勵(lì)和響應(yīng)之間的函數(shù)關(guān)系入手，得到系統(tǒng)的固有特性。采用國(guó)產(chǎn)數(shù)采儀進(jìn)行模態(tài)擊振實(shí)驗(yàn)，結(jié)合模型修正后的仿真數(shù)據(jù)如表5所示。

表5 基于模型修正下的固有頻率及誤差對(duì)比

在對(duì)彈性模量進(jìn)行修正的過(guò)程中，修正系數(shù)0.1較理想，計(jì)算結(jié)果相對(duì)誤差不超過(guò)2.2%，且對(duì)前三階彎曲固有頻率都有較好的預(yù)測(cè)，且比修正直徑便捷。引入接觸行為后，有限元模型相對(duì)復(fù)雜，迭代求解時(shí)間長(zhǎng)，但保證了模型的完善性，對(duì)于預(yù)應(yīng)力下的模態(tài)求解，將由配合產(chǎn)生的內(nèi)應(yīng)力導(dǎo)入模態(tài)求解中，獲得了與測(cè)試值更接近的結(jié)果。

有限元模型越接近于實(shí)際，求解結(jié)果越可靠。罰函數(shù)模型由于采用推薦的接觸剛度系數(shù)來(lái)求解彎曲問(wèn)題，其模型精確性低于摩擦接觸模型。以位移檢測(cè)環(huán)與心軸的配合為例，采用表5中的修正系數(shù)，以增廣拉格朗日及罰方法計(jì)算其接觸壓力，并結(jié)合式(5)的理論計(jì)算，結(jié)果如圖9所示。

圖9 軸外表面接觸壓力分布圖

未配合的部分接觸壓力趨近于0，配合邊緣處出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象。在50～100 mm的配合部位，摩擦接觸模型與理論值更接近，罰函數(shù)模型中針對(duì)彎曲問(wèn)題所取的接觸剛度系數(shù)小(0.01～0.1)，計(jì)算出的接觸壓力較理論值小，即針對(duì)彎曲問(wèn)題優(yōu)化出的罰函數(shù)模型應(yīng)用范圍較窄，依據(jù)摩擦接觸模型可完成過(guò)盈量的設(shè)計(jì)[9]，并針對(duì)不同環(huán)境條件對(duì)摩擦系數(shù)進(jìn)行調(diào)整[10]。

依據(jù)表5中修正系數(shù)經(jīng)驗(yàn)，以圖10中混合磁懸浮軸承支撐的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對(duì)象，該軸的階梯較多，從網(wǎng)格計(jì)算量及收斂性角度考慮，選擇對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量修正(修正系數(shù)0)，罰函數(shù)模型修正(fFKN=0.02)，由于該轉(zhuǎn)子裝配體采用輕型壓入配合，配合公差H7/p6，借助鎖緊螺母固定，相對(duì)于一體化加工而言，其抗彎性能大大減弱，忽略局部配合時(shí)計(jì)算誤差較大，結(jié)果如表6所示。

圖10 混合支撐磁懸浮轉(zhuǎn)子模態(tài)測(cè)試示意圖

頻率及誤差修正系數(shù)α1(默認(rèn))d=0fFKN=0.02測(cè)試值一階固有頻率f/Hz517435428彎曲固有頻率誤差/%22.53.11.4422二階固有頻率f/Hz1061864851彎曲固有頻率誤差/%27.84.12.5830

4 結(jié) 語(yǔ)

過(guò)盈聯(lián)接模型修正方法可應(yīng)用在軸承、葉輪等轉(zhuǎn)子配合問(wèn)題上。對(duì)于指導(dǎo)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和求解實(shí)際工程問(wèn)題具有一定作用。

1) 通過(guò)修正彈性模量來(lái)反映過(guò)盈配合是一個(gè)簡(jiǎn)單高效的方式，尤其對(duì)轉(zhuǎn)子心軸彈性模量修正。轉(zhuǎn)子組件材料修正系數(shù)應(yīng)趨近于0。

2) 針對(duì)附加組件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量修正，其存在增加計(jì)算準(zhǔn)備量而降低求解難度的特點(diǎn)。取修正系數(shù)0，將轉(zhuǎn)子組件質(zhì)量全部附加到心軸上可獲得一個(gè)較為保守的結(jié)果。

3) 接觸行為中罰函數(shù)求解精度依賴于接觸剛度系數(shù)，依據(jù)彎曲問(wèn)題推薦的范圍(0.01～0.1)，較小的剛度更容易收斂，嘗試多次求解并比對(duì)數(shù)據(jù)可獲得較理想結(jié)果。

4) 從接觸壓力的角度，結(jié)合理論計(jì)算說(shuō)明了摩

擦接觸模型的可靠性。相比于罰函數(shù)，其不需要針對(duì)彎曲問(wèn)題選擇接觸剛度系數(shù)，應(yīng)用場(chǎng)合更為廣泛。

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