周朋，藺鵬臻

(1. 蘭州交通大學(xué) 甘肅省道路橋梁與地下工程重點實驗室，甘肅 蘭州 730070；2. 蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

箱形梁截面具有抗扭剛度大，能有效地抵抗正負彎矩，其承重結(jié)構(gòu)與傳力結(jié)構(gòu)相結(jié)合，使各部件共同受力，截面效率高等優(yōu)點。箱梁設(shè)計中，若忽略剪力滯效應(yīng)，會對箱梁的抗彎剛度的計算產(chǎn)生較大偏差，致使撓度計算值偏?。贿€會使箱梁翼緣板中實際應(yīng)力峰值無法得到真實反映，產(chǎn)生裂縫，從而造成結(jié)構(gòu)安全隱患[1]。因此，分析研究箱梁的剪力滯效應(yīng)非常重要。分析箱梁剪力滯效應(yīng)的核心是剪力滯翹曲位移函數(shù)的選取。Reissner[2]假設(shè)翼板縱向位移沿橫向按二次拋物線分布，首次用變分法分析雙軸對稱矩形箱梁剪力滯問題。張士鐸等[3]選取翹曲位移函數(shù)為四次拋物線，用差分法分析變截面箱梁的負剪力滯效應(yīng)。LUO等[4]在變分原理基礎(chǔ)上，取剪滯微分方程的齊次解作為梁段有限元位移模式，采用有限段法分析箱梁剪力滯效應(yīng)。張元海等[5]以附加撓度作為廣義位移，采用梁段有限元法分析薄壁箱梁剪力滯效應(yīng)。文獻[6]與文獻[3?5]基本思路相似，不同是在變分原理基礎(chǔ)上，采用每結(jié)點有2個剪力滯自由度有限梁段法求解剪力滯效應(yīng)。在有限單元分析基礎(chǔ)上，魏麗娜等[7]提出當量截面法近似計算變截面箱梁的剪力滯效應(yīng)。Chang[8]采用疊加原理分析連續(xù)箱梁的剪力滯效應(yīng)。饒德軍等[9]分析有機玻璃箱梁模型，測定其在不同荷載工況下剪力滯效應(yīng)。本文選用的翹曲位移函數(shù)是基于翼板間剪力流的差異，利用翼板剪切變形規(guī)律來定義的，原理更具科學(xué)性。在此基礎(chǔ)上，采用每結(jié)點有2個剪力滯自由度的有限梁段方法分析變截面連續(xù)箱梁剪力滯效應(yīng)，結(jié)合文獻[6?9]分析變截面連續(xù)箱梁在不同荷載工況作用下箱梁典型截面及其沿梁縱向的剪力滯效應(yīng)，將計算結(jié)果與文獻[10?11]結(jié)合當量截面法和疊加原理所得結(jié)果進行比較。

1 剪滯翹曲位移函數(shù)及微分方程

結(jié)合文獻[12]，薄壁箱梁在豎向荷載作用下，截面的彎曲變形伴隨著截面面外的翹曲而產(chǎn)生剪力滯后效應(yīng)，從而在橫截面上存在服從平截面假設(shè)的剪滯翹曲位移。定義ω(x)為橫截面任一點(x, y, z)的豎向撓曲位移，ω′(x)為相應(yīng)轉(zhuǎn)角，u(x, y, z)為縱向位移，u(x)為截面廣義剪滯翹曲位移，f (y, z)為剪滯翹曲位移函數(shù)。箱梁截面示意圖如圖1。

圖1 箱梁截面示意圖Fig. 1 Schematic diagram of box girder section

由文獻[10]已知基于剪切變形規(guī)律的翹曲位移函數(shù)：

橫截面的縱向位移為：

式中：ξ2=Ac/At；即懸臂板和內(nèi)側(cè)頂板面積之比；ξ3=ZxAb/ZsAs；As為頂板的面積包括懸臂板和內(nèi)側(cè)頂板；Ab為底板面積。

由變分法原理，得到下列微分方程及邊界條件：

整理式(3)，得到梁段的剪力滯控制微分方程：

E為彈性模量；G為剪切模量；Q(x)和M(x)分別為梁上任意截面x處的剪力和彎矩；I為全截面豎向彎曲慣性矩；Iu為全部翼板的剪滯翹曲慣性矩；Iyu為全部翼板的剪滯翹曲慣性積；Au為全部翼板的剪滯翹曲面積。

考慮剪力滯影響，由式(1)~(3)第1式得箱梁任意截面上的應(yīng)力為：

式(6)中 f(y, z) 取式(2)中的第 1式，則頂板應(yīng)力為：

懸臂板、底板應(yīng)力同理可得。

2 剪滯分析的有限梁段公式

考慮剪力滯的梁段單元如圖2。結(jié)合文獻[6]，在豎向分布荷載作用下，單元兩端的桿端力分別為Qi和Mi以及Qj和Mj。假定剪力在梁單元上線性分布，那么：

式中：l為梁段單元長度。

圖2 梁段單元受力圖Fig. 2 Force diagrams of beam segment element

假定剪力滯只影響梁截面上正應(yīng)力的分布，沿梁縱向的截面內(nèi)力不發(fā)生改變。則可由一般有限元法得到單元兩端的桿端力Qi，Mi和Qj，Mj。微分方程(4)的一般解形式為：

由邊界條件可確定系數(shù) C1和 C2。式(9)求導(dǎo)可得：

x=0，u=ui，u′=ui′和 x=l，u=uj，u′=uj′推導(dǎo)可得矩陣方程：

式中：

[D]為單元系數(shù)矩陣；{u}為廣義單元結(jié)點位移列陣；{p}為廣義單元外荷載向量。

由單元剪力滯系數(shù)矩陣[D]為對稱矩陣，得結(jié)構(gòu)的總剪力滯系數(shù)矩陣也是對稱矩陣?？偧袅禂?shù)矩陣的組集和形成方法與形成總剛度矩陣的相同，求解方程組的方法與一般有限元法也相同。

按上述方法進行單元分析后，即可根據(jù)剪力滯廣義平衡與變形協(xié)調(diào)條件，把作為分離體的各個單元重新組成完整的結(jié)構(gòu)。

邊界條件：梁固端u=0；梁簡支或自由u′=0；

連續(xù)條件：廣義剪力滯位移在相鄰單元公共結(jié)點處相等。對任意公共結(jié)點a，滿足：

如果此公共結(jié)點a，為單元e的j端和單元e+1的i端，則連續(xù)條件滿足：

以上分析只考慮截面沒有集中彎矩的情況，對截面有集中彎矩的情況需另作分析。

3 變截面箱梁剪力滯效應(yīng)分析

3.1 當量截面法

由式(6)可知，箱梁任意截面上的應(yīng)力與I (全截面豎向彎曲慣性矩) 和 Iyu(全部翼板的剪滯翹曲慣性積)有關(guān)。對變截面箱梁，沿梁縱向其截面幾何尺寸不斷變化，I和Iyu也隨之變化，即I和Iyu沿縱向是x的函數(shù)。

結(jié)合文獻[7]，沿梁縱向分段計算實際各截面 I和Iyu/I，然后，求出各截面之當量值m1和m2。以此截面當量值代替變截面值I和Iyu/I，以計算等截面梁的方法計算變截面梁的剪力滯效應(yīng)，從而達到簡單求解變截面箱梁的剪力滯效應(yīng)的目的。當量值m1和m2取法如下：

式中：Isu和Isb分別為忽略翼板自身慣性矩時上、下翼板對截面形心軸的慣性矩；I為忽略翼板自身慣性時的截面慣性矩；Iw為腹板對截面形心的慣性矩。

由式(6)可得，變截面箱梁任意截面上的應(yīng)力為：

3.2 疊加原理

疊加法分析箱梁的剪力滯效應(yīng)可表述為：連續(xù)梁及靜定梁在承受多種類型荷載的情況下，考慮剪力滯的內(nèi)力等于其基本靜定體系在每個單一荷載作用下考慮剪力滯效應(yīng)的內(nèi)力的總和[8]。即：

式中：M 為超靜定結(jié)構(gòu)在計算截面處的彎矩；Mi為基本體系在某一荷載作用下計算截面處彎矩；W為計算截面的截面模量；λ為超靜定結(jié)構(gòu)中計算截面處的剪力滯系數(shù)；λi為基本體系中，某一荷載下計算截面剪力滯系數(shù)；

3.3 剪力滯系數(shù)

剪力滯系數(shù)λ表示為：

按初等梁理論得箱梁任意截面上的應(yīng)力為：

σx為考慮剪力滯后箱梁任意截面應(yīng)力，由式(6)算得。

腹板與翼板的交界處(y=b1)剪力滯系數(shù)為：

頂板中點處(y=0)剪力滯系數(shù)為：

4 與實驗解的對比驗證

4.1 實驗?zāi)Ｐ突緟?shù)

選取文獻[9]有機玻璃試驗?zāi)Ｐ?，梁橋總長178.8 cm，計算跨徑(46+86+46) cm；中跨跨中和兩邊跨端各有6 cm長的等高度段。變高度部分截面高度按二次拋物線變化，變化規(guī)律為：y=4+0.002 5 x2。模型跨中、支座、端部設(shè)0.8 cm厚橫隔板。材料彈性模量E=2 600 MPa，泊松比為0.4。每個橫橋向測試斷面布置12個測點，本文選取其前6個測點。模型梁用同一牌號有機玻璃板材制作。箱梁尺寸和實驗測點布置位置如圖3，加載方式如圖4。

4.2 典型截面縱向應(yīng)力分析

采用基于剪切變形規(guī)律的翹曲位移函數(shù)的有限梁段法，組集剪力滯系數(shù)矩陣[D]與廣義外荷載向量{p}，運用MATLAB軟件編程求解可得變截面連續(xù)箱梁任意橫截面位置處各翼板的縱向應(yīng)力。因為連續(xù)梁在豎向荷載作用下存在正負彎矩問題，為使所選截面更具代表性，本文選取中跨正彎矩區(qū)段的跨中截面(Ⅰ–Ⅰ)和邊跨負彎矩區(qū)段支座截面(Ⅱ–Ⅱ)來研究箱梁的剪力滯效應(yīng)。為驗證本文方法分析箱梁剪力滯效應(yīng)的有效性和準確性，采用 ANSYS有限元軟件建立板殼模型進行數(shù)值分析，并與模型試驗值[9]和文獻[10]結(jié)合當量截面法和疊加原理所得結(jié)果進行對比。實驗?zāi)Ｐ驮趫D4加載方式下的各翼板的縱向應(yīng)力如圖5~8。

圖3 模型尺寸及測點位置Fig. 3 Model size and position of measuring point

圖4 加載示意圖Fig. 4 Schematic diagram of loading

由圖5~8可得，采用本文方法分析變截面連續(xù)箱梁分別在中跨跨中作用集中荷載和滿跨均布荷載時的剪力滯效應(yīng)。分析表明截面(Ⅰ?Ⅰ)和截面(Ⅱ?Ⅱ)的縱向應(yīng)力分布與文獻[10]結(jié)合當量截面法和疊加原理分析結(jié)果吻合良好。與ANSYS解析解相比，腹板與頂板交接處附近及其懸臂板分析結(jié)果吻合良好，頂板與ANSYS解析解的誤差在合理范圍內(nèi)。實驗數(shù)據(jù)與本文分析結(jié)果也具有較高的吻合度。

圖5 中跨跨中集中力作用下Ⅰ-Ⅰ截面縱向應(yīng)力分布Fig. 5 Distribution of longitudinal stress in theⅠ–Ⅰcross section under mid-span concentrated load of the central span

圖6 中跨跨中集中力作用下Ⅱ–Ⅱ截面縱向應(yīng)力分布Fig. 6 Distribution of longitudinal stress in theⅡ–Ⅱcross section under mid-span concentrated load of the central span

圖7 滿跨均布荷載作用下Ⅰ–Ⅰ截面縱向應(yīng)力分布Fig. 7 Distribution of longitudinal stress in the Ⅰ–Ⅰ cross section under uniformly distributed load

圖8 滿跨均布荷載作用下Ⅱ–Ⅱ截面縱向應(yīng)力分布Fig. 8 Distribution of longitudinal stress in the Ⅱ–Ⅱ cross section under uniformly distributed load

4.3 沿梁縱向的剪力滯效應(yīng)分析

4.3.1 箱梁坐標方向及縱向位置選取

本文分析文獻[9]有機玻璃實驗?zāi)Ｐ脱亓嚎v向剪力滯效應(yīng)時，箱梁坐標方向如圖9所示。本文方法可求得箱梁任意位置處沿梁縱向的剪力滯系數(shù)分布，本文選取y=b1與y=0處的沿梁縱向剪力滯系數(shù)分布。

圖9 箱梁模型坐標方向Fig. 9 Direction of box girder model

4.3.2 剪力滯系數(shù)計算

基于剪切變形規(guī)律的翹曲位移函數(shù)的有限梁段法相關(guān)原理，運用 MATLAB編程分析變截面連續(xù)箱梁分別在中跨跨中集中荷載和滿跨均布荷載作用下沿梁長度方向的剪力滯效應(yīng)，將分析結(jié)果與文獻[11]變分法結(jié)合當量截面法和疊加原理分析結(jié)果對比，如圖10~11。

圖10 中跨跨中集中荷載下剪力滯系數(shù)沿梁縱向分布Fig. 10 Longitudinal distribution of shear lag coefficient along the beam mid-span concentrated load of the central span

由圖10~11可得，與簡支梁類似，在結(jié)構(gòu)形態(tài)、邊界條件和荷載條件完全對稱的情況下，用本文方法分析得到的剪力滯系數(shù)結(jié)果關(guān)于中跨跨中截面完全對稱。支座截面位置處彎矩為負值且有應(yīng)力集中現(xiàn)象，出現(xiàn)剪力滯系數(shù)峰值；反彎點處彎矩為0，由式(20)~(21)可得剪力滯系數(shù)有奇異現(xiàn)象，有間斷跳躍情況。由于邊跨跨徑小，寬跨比大，所以邊跨的剪力滯效應(yīng)比中跨明顯。中跨跨中集中荷載作用下的剪力滯效應(yīng)比滿跨均布荷載作用下更加顯著。以上分析可得，實驗?zāi)Ｐ驮诓煌奢d工況下，本文分析得到的沿梁縱向的剪力滯系數(shù)結(jié)果與變分法所得結(jié)果吻合良好。

圖11 滿跨均布荷載下剪力滯系數(shù)沿梁縱向分布Fig. 11 Longitudinal distribution of shear lag coefficient along the beam under uniformly distributed load

5 工程實例鐵路箱梁的剪力滯分析

5.1 基本參數(shù)

以新建鐵路廣州至珠海城際快速軌道交通工程中(57+100+57) m連續(xù)箱梁為例。梁高按圓曲線變化，圓曲線半徑為R=488.546 m。箱梁采用C60高性能混凝土，彈性模量 E=3.65×104MPa，剪切模量G=1.42×104MPa。箱梁截面尺寸如圖12。

圖12 箱梁橫截面尺寸Fig. 12 Size of box girder cross-section

5.2 剪力滯效應(yīng)分析

為進一步驗證本文方法的準確性及普遍適用性，采用本文方法分析工程實例中連續(xù)梁橋在中跨跨中集中力和均布荷載作用下沿梁縱向的剪力滯效應(yīng)。將計算結(jié)果與文獻[11]變分法計算結(jié)果對比，如圖13~14。

圖13 中跨跨中集中荷載下剪力滯系數(shù)沿梁縱向分布Fig. 13 Longitudinal distribution of shear lag coefficient along the beam mid-span concentrated load of the central span

圖14 均布荷載下剪力滯系數(shù)沿梁縱向分布Fig. 14 Longitudinal distribution of shear lag coefficient along the beam under uniformly distributed load

由圖13~14可得，與實驗?zāi)Ｐ皖愃疲斀Y(jié)構(gòu)對稱時，本文方法計算所得剪力滯系數(shù)關(guān)于對稱軸完全對稱；中跨兩側(cè)支座位置處有應(yīng)力集中現(xiàn)象，出現(xiàn)剪力滯系數(shù)峰值；梁橋在豎向荷載作用下彎矩為0位置處剪力滯系數(shù)有奇異現(xiàn)象。與實驗?zāi)Ｐ筒煌氖牵貉亓洪L方向除支座及彎矩為0位置處以外，其余區(qū)段的剪力滯系數(shù)都與1較為接近且基本無波動。實際工程實例在不同荷載工況下，本文方法所得沿梁縱向的剪力滯系數(shù)與變分法所得結(jié)果吻合良好。由文獻[4, 10?12]可知，運用變分法分析箱梁的剪力滯效應(yīng)與有限元分析結(jié)果和試驗解吻合良好，進一步證實了本文方法的準確性。

6 結(jié)論

1) 基于剪切變形規(guī)律的翹曲位移函數(shù)，在能量變分法控制微分方程的基礎(chǔ)上，提出有限梁段法來分析變截面連續(xù)箱梁剪力滯效應(yīng)，該翹曲位移函數(shù)從剪力滯效應(yīng)是由于翼板剪切變形引起的這一基本機理出發(fā)原理更加明確，分析精度更高。

2) 通過實驗數(shù)據(jù)和有限元法等分析驗證，本文提出的基于剪切變形規(guī)律的翹曲位移函數(shù)的有限梁段法分析箱梁剪力滯效應(yīng)具有較高的精度。適用分析和計算任意變截面多跨箱梁的剪力滯效應(yīng)，且降低計算工作量。

3) 分析變截面連續(xù)箱梁在中跨跨中集中荷載和滿跨均布荷載作用下剪力滯系數(shù)沿梁長和典型截面的分布，其結(jié)果與變分法解析結(jié)果吻合良好，為更加復(fù)雜橋梁形式分析剪力滯效應(yīng)提供參照。由于計算公式簡單方便，可適于各種邊界條件和荷載工況下的箱梁剪力滯效應(yīng)分析。

參考文獻：

[1] 張元海, 胡玉茹, 林麗霞. 基于修正翹曲位移模式的薄壁箱梁剪力滯效應(yīng)分析[J].土木工程學(xué)報, 2015, 48(6):44?50.ZHANG Yuanhai, HU Yuru, LIN Lixia. Analysis on shear lag effect of thin-walled box girders based on a modified warping displacement mode[J]. China Civil Engineering Journal, 2015, 48(6): 44?50.

[2] Reissner E. Analysis of shear lag in box beams by the principle of minimum potential energy[J]. Quarterly of Applied Mathematics, 1946, 5(3): 268?287.

[3] 張士鐸, 丁蕓. 變截面懸臂箱梁負剪力滯差分解[J].重慶交通學(xué)院院報, 1984(4): 34?47.ZHANG Shiduo, DING Yun. Finite difference soluticn in shear lag effect on cantilever box girder with linear varying depth[J]. Journal of Chongqing Jiaotong University, 1984(4): 34?47.

[4] LUO Q Z, TANG J, LI Q S. Finite segment method for shear lag analysis of cable-stayed bridges[J]. Journal of Structural Engineering, ASCE, 2002, 128: 1617?1622.

[5] 張元海, 李琳, 孫學(xué)先. 以附加撓度作為廣義位移時薄壁箱梁剪力滯效應(yīng)的梁段有限元分析[J]. 土木工程學(xué)報, 2013, 46(10): 100?107.ZHANG Yuanhai, LI Lin, SUN Xuexian. Beam-segment finite element analysis on shear lag effect of thin-walled box girder adopting additional deflection as generalized displacement[J]. China Civil Engineering, 2013, 46(10):100?107.

[6] 周世軍. 箱梁剪力滯效應(yīng)分析的有限梁段法[J]. 鐵道學(xué)報, 2007, 29(5): 85?88.ZHOU Shijun. Finite segment method of shear lag analysis of box girders[J]. Journal of the China Railway Society, 2007, 29(5): 85?88.

[7] 魏麗娜, 方放, 余天慶. 變截面箱形梁橋剪滯效應(yīng)的近似計算方法[J]. 土木工程學(xué)報, 1997, 30(1): 64?72.WEI Lina, FANG Fang, YU Tianqing. An approximate method for calculation shear lag in variable cross-section box girders[J]. China Civil Engineering Journal, 1997,30(1): 64?72.

[8] Chang S T. Prestress influence on shear lag effect in continuous box girder bridge[J]. Journal of Structural Engineering, 1992, 118(11): 3113?3121.

[9] 饒德軍, 羅旗幟, 吳幼明. 三跨連續(xù)變高度薄壁箱梁橋剪力滯效應(yīng)試驗研究[J]. 鐵道建筑, 2005(4): 19?22.RAO Dejun, LUO Qizhi, WU Youming. An experimental study on shear lag effect of three span continuous thin-walled box girder bridges with variable height[J].Railway Engineering, 2005(4): 19?22.

[10] 藺鵬臻, 周世軍. 基于剪切變形規(guī)律的箱梁剪力滯效應(yīng)研究[J]. 鐵道學(xué)報, 2011, 33(4): 100?104.LIN Pengzhen, ZHOU Shijun. Shear-lag analysis of box girders based on shear deformation[J]. Journal of the China Railway Society, 2011, 33(4): 100?104.

[11] 項海帆, 范立礎(chǔ). 高等橋梁結(jié)構(gòu)理論[M]. 2版. 北京:人民交通出版社, 2013.XIANG Haifan, FAN Lichu. Advanced theory of bridge structures[M]. 2nd ed. China Communications Press,2013.

[12] 藺鵬臻, 劉鳳奎, 冀偉, 等. 變分原理分析混凝土箱梁的剪力滯效應(yīng)[J]. 鐵道學(xué)報, 2015, 35(2): 93?98.LIN Pengzhen, LIU Fengkui, JI Wei, et al. Analysis on shear lag effect of concrete box beam by variatinal principle[J]. Journal of China Railway Society, 2015,35(2): 93?98.