虞松濤，鄧紅衛(wèi)，張亞南

(中南大學 資源與安全工程學院，湖南 長沙 410083)

隨著地下工程的日益延伸，地溫逐漸升高，巖石表現(xiàn)出不同于常溫狀態(tài)下的力學性質(zhì)和變形破壞機制。Wanne等[1?3]認為，在一定的溫度范圍內(nèi)，由于溫度作用下巖石內(nèi)部各成分之間的線性膨脹系數(shù)不同，導致顆粒間產(chǎn)生熱應力，當熱應力超過顆粒間的鍵的強度時，產(chǎn)生新的缺陷，巖石內(nèi)部的熱損傷也因此孕育、產(chǎn)生和發(fā)展。溫度作用下巖石的損傷演化規(guī)律及其本構(gòu)關(guān)系一直是國內(nèi)外學者研究的熱點。Keshavaez等[4?6]研究了高溫下巖石單軸壓縮的基本力學性質(zhì)；尹光志等[7?8]研究了高溫下巖石在三軸條件下的力學性質(zhì)；付文生等[9]用內(nèi)時標度衡量損傷變化規(guī)律，建立考慮溫度效應的巖石損傷本構(gòu)方程；尹土兵[10]基于溫壓耦合沖擊試驗，構(gòu)建了溫壓耦合作用下的巖石一維動態(tài)本構(gòu)模型；許錫昌[11]在Lemaitre損傷模型的基礎(chǔ)上，推導了一維 TM 耦合彈脆性損傷本構(gòu)方程；張慧梅等[12?13]依據(jù)巖石損傷力學與統(tǒng)計強度理論，基于Misses準則構(gòu)建了考慮溫度效應的巖石損傷演化方程和本構(gòu)模型。雖然學界已經(jīng)提出了不少考慮溫度因素的損傷演化方程和本構(gòu)模型，但學者們基本上局限于一維條件下，且選取的統(tǒng)計分布變量及強度準則較為單一。本文依據(jù)損傷力學和統(tǒng)計強度理論，基于 H?B準則，考慮溫度與載荷的作用，構(gòu)建常規(guī)三軸條件下的巖石損傷演化方程和本構(gòu)模型，推導出模型參數(shù)，并利用前人的試驗參數(shù)對模型進行檢驗，驗證了模型的合理性與可靠性，以期豐富考慮溫度與載荷作用的巖石損傷模型，進一步揭示巖石在溫度和壓力共同作用下的損傷、破壞規(guī)律。

1 考慮溫度與荷載的巖石損傷本構(gòu)模型

1.1 受荷巖石的損傷

巖石由不同形狀、大小的礦物顆粒組成，其內(nèi)部空隙、微裂隙和夾層等缺陷隨機分布，簡單、單一的特征值對其構(gòu)成組分的力學性質(zhì)難以進行描述。本文在分析時將巖石介質(zhì)離散成一定尺度的微元體，微元體滿足2點要求：一是微元體的尺度大到可以包含足夠的礦物晶體膠結(jié)物晶體和缺陷，并在該尺度內(nèi)可以認為巖石是含有均勻缺陷的材料；二是微元體要充分小，小到可以視為連續(xù)介質(zhì)中的一點[12]。這樣，微元體的強度符合某種統(tǒng)計分布規(guī)律。

在此基礎(chǔ)上，不考慮巖石的初始損傷，對巖石做如下假設(shè)：

1) 巖石符合廣義胡克定律；

2) 巖石的破壞符合H?B強度準則；

3)微元體強度符合 Weibull統(tǒng)計規(guī)律[13]W(m,ε0)，即

式中：ε為外部載荷作用下微元體的應變；φ(ε)為微元體在應變ε下的強度概率；m，ε0分別為Weibull分布標度和形態(tài)函數(shù)。

在外部荷載作用下，巖石的損傷過程是巖石內(nèi)部孔隙萌生、發(fā)展和累積的過程，與損傷的微元體數(shù)量直接相關(guān)，因此，損傷變量D可定義為損傷微元體總體積VP和巖石的總體積V總之比[14]：

由于ε=0時，D=0，結(jié)合式(1)和式(2)，荷載作用下的損傷可表示為：

1.2 溫度與荷載共同下的巖石損傷

實際上，應力只是引起巖石損傷的一個方面，溫度對巖石的損傷也有重要影響。因此，要構(gòu)建溫度與載荷共同作用下的巖石損傷演化方程，必須引入一個與溫度有關(guān)的函數(shù)。

根據(jù)宏觀損傷力學理論，溫度對巖石的損傷可以通過宏觀力學參數(shù)進行表征，熱損傷變量[15]可定義為：

式中：ET為溫度T下的彈性模量。

由于巖石在溫度與載荷作用下，巖石表現(xiàn)出不同的損傷特性，溫度?壓力耦合作用下的巖石總損傷不是簡單的損傷疊加。文獻[12]基于應變等價原理對總損傷變量進行了推導，表達式為：

式中：DS為巖石在溫度?壓力耦合作用下的總損傷變量。

將式(4)和式(5)代入式(3)，得到溫度與荷載作用下巖石的總損傷演化方程如式(6)所示：

1.3 溫度與荷載共同作用下的巖石本構(gòu)關(guān)系

根據(jù)Lemaitre 教授應變等效假說，損傷巖石的本構(gòu)關(guān)系可以表示為：

式中：σ為名義應力；σ~為有效應力；E為無損彈性模量；ε為名義應變。

在常規(guī)三軸壓縮條件下，巖石的 σ2=σ3，ε2=ε3，將式(3)代入式(7)，由廣義胡克定律得到荷載作用下?lián)p傷巖石的本構(gòu)關(guān)系為：

同樣的，將式(6)代入式(7)，得到溫度與荷載作用下巖石損傷的本構(gòu)關(guān)系為：

2 模型參數(shù)的確定

2.1 不同圍壓作用下巖石的損傷模型參數(shù)確定方法

在上文的損傷演化方程和本構(gòu)關(guān)系中，由2個Weibull分布參數(shù)m和ε0作為模型的未知參量，本文引入巖石應力應變曲線的峰值點(σp，εp)作為特定宏觀參量來確定模型參數(shù)。在巖石應力應變曲線中，峰值應力σp與所對應的應變εp滿足2個幾何條件：1)ε= εp，σ= σp；2) ε= εp，=0。將2個幾何條件代入損傷巖石的本構(gòu)關(guān)系式(8)，得到2個關(guān)于參數(shù)m和ε0的關(guān)系式，最終得出模型參數(shù)。

將條件(1)代入式(8a)，得到第1個關(guān)于2個參數(shù)的關(guān)系式為：

在損傷巖石的本構(gòu)關(guān)系中，σ3，σ1是 ε3，ε1的函數(shù)，根據(jù)全微分法則有：

對(8-a)微分，得到：

對(8-b)微分，得到：

由于巖石的屈服符合 Hoek?Brown(H?B)強度準則，有：

式中：σc為巖石的單軸抗壓強度；mi為巖石量綱的參數(shù)，反映巖石的軟硬程度，由單軸壓縮試驗和常規(guī)三軸壓縮試驗、直接拉伸試驗和間接拉伸試驗等方法確定[16]。本文采用單軸壓縮試驗和常規(guī)三軸壓縮試驗的方法，得到mi的表達式為：

結(jié)合廣義胡克定律和式(14)，得到式(8)的應變表達式：

式(8a)的應變表達式為：

其全微分為：

式(8b)的應變表達式為：

其全微分為：

為了簡化計算，可以假設(shè)參數(shù)ε0和m僅僅是圍壓的參數(shù)[17]，則有：

將式(17)，(19)，(20)，(21)代入式(12)，(13)中，得：

解上式(22)，2式聯(lián)立消去dσ3后，與式(11)結(jié)合，則有：

將幾何條件(2)代入上式(23)，在峰值應力點(εp，σp)處有：

解上式(24)，得到第2個關(guān)于2個參數(shù)的關(guān)系式為：

其中：

L′的值見式(24)。

聯(lián)立式(10)和式(25)，得到參數(shù)的表達式為：

在單軸受力狀態(tài)下(σ3=0時)，模型參數(shù)為：

這與張惠梅等[18]從單軸受力狀態(tài)下推導的模型參數(shù)的表達式一致。

由式(26)和式(27)可知，模型參數(shù)m和ε0均包含 εp和 σp，(εp，σp)只是某一圍壓下的巖石應力應變曲線的峰值點，只有建立不同圍壓下εp和σp的關(guān)系式，才能提高本構(gòu)模型的普遍適用性。由于 σp為某圍壓下巖石的三軸強度，它服從 H?B強度準則，因此，其表達式即為式(14)中 σ1的表達式。εp為σp對應的軸向應變，大量的實驗結(jié)果表明εp與圍壓成良好的線性關(guān)系[19]，因此，εp的表達式可以表示為：

式中：a，b是常數(shù)，通過實驗數(shù)據(jù)擬合得到，將a，

b代入式(26)和式(27)即可得到反映不同圍壓情況的模型參數(shù)。

2.2 不同溫度作用下巖石的損傷模型參數(shù)確定方法

溫度作用引起的巖石損傷以熱損傷的形式表現(xiàn)，與荷載造成的巖石損傷共同導致巖石劣化。本文以ET定義巖石的熱損傷變量，通過彈性模量的變化表征巖石在不用溫度作用下的損傷，式(9)表明

ET直接與巖石的損傷模型相關(guān)，因此，只有建立不同溫度下ET的關(guān)系式，才能進一步提高本構(gòu)模型的普遍適用性。大量的高溫下巖石力學特性研

究[6?7,13,18]表明巖石的彈性模量總體上隨著溫度的增加而降低，這種變化趨勢可以用多項式進行高度擬合。對于少數(shù)的彈性模量隨溫度變化起伏較大的巖石，需要兩次以上的多項式進行擬合，對于大多數(shù)巖石而言，可用2次多項式擬合彈性模量隨溫度變化的趨勢，因此，ET的表達式可以表示為：

式中：c，d和e是常數(shù)，通過實驗數(shù)據(jù)擬合得到。

按照上述方法，將 ET，m和 ε0代入式(9)，即得到考慮溫度與圍壓的巖石本構(gòu)模型，該模型可模擬不同溫度及圍壓條件下的巖石變形過程，具有較強的普適性。

3 巖石損傷本構(gòu)模型驗證

為了驗證本文提出的考慮溫度與圍壓作用的巖石損傷演化方程、本構(gòu)模型和參數(shù)確定方法的合理性，采用文獻[20]中大理巖的的實測參數(shù)對其進行驗證，大理巖的原始物理力學參數(shù)如下表1所示。

表 1 大理巖的原始物理力學參數(shù)表[20]Table 1 Original physical and mechanical parameters of marble

將表1中的數(shù)據(jù)代入式(15)，算出mi為8.506，依照式(29)和式(30)，對15 MPa圍壓下的ET和200℃下的 εp擬合，得到參數(shù) a=0.462×10?3MPa?1，b=4.95×10?3，c=1.28×10?5GPa℃?2，d=0.038 3 GPa℃?1，e=39.2 GPa，ET和 εp的擬合曲線如圖 1。

圖1 15 MPa圍壓下不同溫度的彈性模量擬合曲線Fig. 1 Fitting curve of elastic modulus of various temperature under 15 MPa

由圖1和圖2可知，2次多項式擬合的大理石彈性模量隨溫度變化的曲線擬合優(yōu)度(R2)為0.974，線性擬合的大理石軸向峰值應變隨圍壓變化的曲線擬合優(yōu)度為 0.967，說明擬合曲線的擬合程度很高。將表1中的力學參數(shù)和圖1~2中的參數(shù)a-e分別代入巖石試樣的本構(gòu)模型式(9a)中，得到不同溫度和圍壓下的本構(gòu)關(guān)系。通過origin軟件對本構(gòu)關(guān)系進行擬合，得到該大理巖在不同圍壓和溫度下應力應變曲線，并與實際的應力應變曲線進行對比，對比圖如圖3~7所示。

圖2 200 ℃不同圍壓下的峰值應變擬合曲線Fig. 2 Fitting curve of strain under various pressure at 200 ℃

圖3 20 ℃，單軸下應力應變曲線對比圖Fig. 3 Contrast curve of stress?strain under 0 MPa at 20 ℃

圖4 20 ℃，圍壓15 MPa下應力應變曲線對比圖Fig. 4 Contrast curve of stress?strain under 15 MPa at 20 ℃

圖5 200 ℃，圍壓15 MPa下應力應變曲線對比圖Fig. 5 Contrast curve of stress?strain under 15 MPa at 200 ℃

圖6 400 ℃，圍壓15 MPa下應力應變曲線對比圖Fig. 6 Contrast curve of stress?strain under 15 MPa at 400 ℃

圖7 600℃，圍壓15 MPa下應力應變曲線對比圖Fig. 7 Contrast curve of stress?strain under15 MPa at 600 ℃

圖3 為單軸時的應力應變曲線對比圖，圖4~6為圍壓為15 MPa時20，200，400和600 ℃作用下的應力應變曲線對比圖。從上列各圖可知，由本文本構(gòu)關(guān)系所擬合的應力應變曲線與試驗所得應力應變曲線均較為吻合，楊氏模量、峰值應力和峰值應變與實驗結(jié)果也一致，這表明本文構(gòu)建的巖石損傷演化方程和損傷本構(gòu)模型在單軸作用下及特定圍壓、不同溫度作用下是合理的。

圖8 圍壓10 MPa，200 ℃下應力應變曲線對比圖Fig. 8 Contrast curve of stress?strain under 10 MPa at 200 ℃

圖9 圍壓20 MPa，200 ℃下應力應變曲線對比圖Fig. 9 Contrast curve of stress?strain under 20 MPa at 200 ℃

圖10 圍壓30 MPa，200 ℃下應力應變曲線對比圖Fig. 10 Contrast curve of stress?strain under 30 MPa at 200 ℃

圖11 圍壓40 MPa，200 ℃下應力應變曲線對比圖Fig. 11 Contrast curve of stress?strain under 40 MPa at 200 ℃

圖8 ~11為200 ℃時10，20，30和40 MPa圍壓下對應的巖石本構(gòu)關(guān)系擬合的應力應變曲線與實驗所得應力應變曲線的對比圖。從上列各圖可知，楊氏模量、峰值應力和峰值應變與實驗結(jié)果一致，本構(gòu)關(guān)系所擬合的應力應變曲線與試驗所得應力應變曲線的吻合程度也很高，這表明本文構(gòu)建的巖石損傷演化方程和損傷本構(gòu)模型在特定溫度、不同圍壓作用下也是可靠的。綜上所述，本文所構(gòu)建的考慮溫度與圍壓作用的損傷本構(gòu)模型是合理的、可靠的。

4 結(jié)論

1) 根據(jù)統(tǒng)計力學原理和應變等價原理，推導考慮溫度與圍壓作用的巖石損傷演化方程，在此基礎(chǔ)上，結(jié)合有效應力的方法，構(gòu)建考慮溫度與圍壓共同作用下?lián)p傷巖石的本構(gòu)關(guān)系。

2) 以Hoek?Brown準則為巖石的破壞準則，采用理論推導與力學試驗相結(jié)合的方法，得出常規(guī)三軸應力狀態(tài)和單軸應力狀態(tài)下模型參數(shù)的數(shù)學表達式，其中，單軸受力狀態(tài)下的模型參數(shù)的表達式與前人的推導結(jié)果一致。

3) 對比分析所構(gòu)建的考慮溫度與圍壓作用的損傷本構(gòu)模型在不同圍壓和溫度下的計算結(jié)果與試驗結(jié)果，所建模型能較好的反映大理巖在溫度與荷載作用的損傷力學特性，驗證了本文提出的損傷本構(gòu)模型的合理性、可靠性。

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