馬金山

（河南理工大學 能源科學與工程學院，河南 焦作 454000）

0 引言

自鄧聚龍?zhí)岢龌野袥Q策方法以來[1]，許多學者對其進行了研究改進。隨著決策理論與方法研究的深入，決策方案的指標值也由單純的實數(shù)值拓展為混合屬性指標值?；旌蠈傩曰野袥Q策方法也隨之產(chǎn)生，這進一步增強了該方法的適用性?；野袥Q策方法的核心是求各決策方案對于靶心的靶心距，并以靶心距作為各方案優(yōu)劣決策的依據(jù)。決策方案指標值為確定性實數(shù)的灰靶決策方法其對靶心距的獲取主要是采用距離法，如采用歐氏距離法或馬氏距離法[2,3]。而混合屬性灰靶決策方法對靶心距的獲取可以分為兩類：一類是采用距離的方法進行處理，主要是采用歐氏距離，也包括基于距離的變形方法求靶心距[4-9]；另一類是采用向量的方法進行處理，這稱為混合屬性廣義灰靶決策方法[10,11]。廣義灰靶決策方法是基于傳統(tǒng)的灰靶決策方法，在遵循其基本原理不變的基礎上提出的一種方法，其基本的計算過程與傳統(tǒng)方法有所不同[10-12]。以向量為基礎的混合屬性廣義灰靶決策方法，由于所采用的微小向量考慮了不確定數(shù)的不確定性信息，且在運算過程中信息的失真較少所以比前者更優(yōu)。已有的混合屬性廣義灰靶決策方法所涉及的各指標權(quán)重值均為確定性的實數(shù)，不存在用不確定性數(shù)表示的權(quán)重。但當各指標屬性的權(quán)重含有不確定數(shù)表示的混合權(quán)重值時則更為復雜，主要體現(xiàn)在：一是權(quán)重數(shù)據(jù)本身含有的不確定性增加了決策的不確定性；二是如何將不確定性的權(quán)重值與各指標值進行綜合集成；三是如何使得均存在不確定性的權(quán)重和指標值在運算時信息失真少，決策結(jié)果更符合實際。

為此，對指標及權(quán)重均為混合數(shù)據(jù)類型（本文僅考慮實數(shù)、區(qū)間數(shù)、三角模糊數(shù)及梯形模糊數(shù)）的廣義灰靶決策方法進行研究。本文以二元聯(lián)系數(shù)向量為基礎，分別求各決策方案指標向量與靶心指標向量的接近度并經(jīng)歸一化，待求出確定化后的權(quán)重再進行各單指標接近度的集成；而混合數(shù)據(jù)值的權(quán)重則統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為二元聯(lián)系數(shù)向量后進行求模運算，并經(jīng)歸一化后作為各指標的確定性權(quán)重。然后將確定化后的權(quán)重數(shù)據(jù)與已經(jīng)求得的各單指標的規(guī)范化接近度進行集成，以綜合接近度進行最終的排序決策。

1 基本理論

定義1：記R為實數(shù)域，稱x?為一個模糊數(shù)，則[xL，分別為模糊數(shù)的區(qū)間數(shù)、三角模糊數(shù)和梯形模糊數(shù)的表現(xiàn)形式，其參數(shù)xL，xM，滿足

定義2：記R為實數(shù)域，稱A+Bi為二元聯(lián)系數(shù)，其中A，B∈R，i∈[-1,1]，A表示確定的項，B表示不確定的項，i是一個變動的項，它的存在統(tǒng)一了模糊數(shù)的確定和不確定性。

定義3：設xˉ和v分別是x?的p（p≥2）個參數(shù)值的平均值和偏差值，則稱：

為x?的p個參數(shù)的均值-偏差值聯(lián)系數(shù)，簡稱均值-偏差值聯(lián)系數(shù)。其中xˉ，S，ms以及v分別由式（2）至式（5）得到：

式（2）至式（5）中均值xˉ可以看作是關(guān)于x?的p（p≥2）個參數(shù)的相對確定性（集中性）的測度，標準差S或最大極差ms是關(guān)于x?的p個參數(shù)的相對不確定性（離散性）的測度，可以取其最小值代表x?的不確定性部分，記為v，稱為偏差值[10,15]。

定義4：均值-偏差值聯(lián)系數(shù)u(xˉ，v)中的均值xˉ和偏差值v的相互作用則可以反映到基于集對分析的二維確定-不確定空間（Determinacy-uncertainty，簡稱D-U空間）。當u(xˉ，v)=xˉ+vi表示D-U空間的向量時，“i”僅代表該項是不確定分量的符號，不再代表取值的變化[13,14]。

圖1是二維確定-不確定空間的示意圖，其中xˉ為確定性度量，v為不確定性度量，其中r是向量u(xˉ，v)的模，即有

圖1 確定-不確定空間[15]

2 決策方法

2.1 指標及權(quán)重均為混合數(shù)據(jù)類型的廣義灰靶決策難點

指標及權(quán)重均為混合數(shù)據(jù)類型的廣義灰靶決策的難點在于：一是不同類型的權(quán)重數(shù)值無法直接進行集成以獲得綜合的接近度；二是簡單地將不同類型的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為確定性的權(quán)重則容易產(chǎn)生較大的誤差，如僅取模糊數(shù)的參數(shù)的均值代表模糊數(shù)則容易造成信息的失真而影響決策的精度；三是如何采用一種統(tǒng)一、簡單的方法實現(xiàn)含有不確定性權(quán)重值融入綜合的接近度。因此指標權(quán)重為混合屬性值的wt(t=1，2，…，m)包含了不確定性的內(nèi)容。其中wt可以為實數(shù)或模糊數(shù)，當其取值為模糊數(shù)時，其可為區(qū)間數(shù)、三角模糊數(shù)或者梯形模糊數(shù)形式，即有：

此時一般有下面的關(guān)系式成立：

2.2 指標及權(quán)重均為混合數(shù)據(jù)類型的廣義灰靶決策方法的求解思路

結(jié)合已有的研究，擬以二元聯(lián)系數(shù)作為混合屬性廣義灰靶決策方法的基礎，求解思路見圖2所示。

圖2求解思路

2.3 指標及權(quán)重均為混合數(shù)據(jù)類型的廣義灰靶決策方法的決策步驟[10]

2.3.1 所有方案指標及權(quán)重數(shù)據(jù)均轉(zhuǎn)化為二元聯(lián)系數(shù)向量

采用前述的公式（1）至公式（5）將不同類型的數(shù)據(jù)值的指標及權(quán)重統(tǒng)一轉(zhuǎn)換為二元A+Bi的聯(lián)系數(shù)形式，并認為每個聯(lián)系數(shù)是二維確定-不確定空間中的向量。其中實數(shù)認為是二元聯(lián)系數(shù)中的確定項為該數(shù)值本身，不確定項為0，即為A+0i的形式。設轉(zhuǎn)化后的各指標向量為Ust=Ast+Bsti(s=1，2，…，n;t=1，2，…，m)。

2.3.2 求出各指標屬性的靶心指標向量

確定了各屬性下各方案指標的向量Ust=Ast+Bsti(s=1,2，…，n;t=1，2，…，m)，則可以確定決策方案各指標屬性的灰靶靶心，見式（8）。

上述公式表明，對于效益型指標，即求指標向量模的值最大對應的指標向量為靶心，當有幾個向量的模相等時，選擇不確定性小的指標向量作為靶心；成本型指標即求向量模的值最小對應的向量為靶心，當有幾個向量的模相等時，則選擇不確定性小的指標向量為靶心。

2.3.3 決策方案各單指標接近度的求解

定義5：設rst為基準指標向量Yst的模，pst為指標向量Xst在Yst上的投影，則：

為投影值pst與基準指標向量Yst的模rst的距離，稱為接近度，pst和rst的計算公式可參考文獻[10]。

2.3.4 各屬性下單指標接近度的歸一化處理

前面所求出的各方案的各屬性指標向量與靶心指標向量的接近度彼此是不同的，屬性之間不具有可比性，因此，這里需要針對各個屬性下的單指標接近度（廣義靶心距）dst進行歸一化。歸一化的接近度zst的計算公式見（10）。

2.3.5 求各指標屬性的確定性權(quán)重

（1）計算各屬性權(quán)重的聯(lián)系數(shù)向量的模

已經(jīng)確定了各個指標屬性的指標權(quán)重向量，則可以計算各指標權(quán)重向量的模。這里實際上是將各混合數(shù)據(jù)類型的指標權(quán)重的二元聯(lián)系數(shù)向量的模視為確定性的權(quán)重的代表值。因為所有的權(quán)重二元聯(lián)系數(shù)向量是在同一D-U空間內(nèi)，而其模則代表了其各自在該空間中的重要性大小，故此可以認為各權(quán)重聯(lián)系數(shù)向量的模可以代表其確定的權(quán)重。而該確定性權(quán)重同時包含了不確定數(shù)的確定性和不確定性部分。

（2）指標權(quán)重向量模的歸一化處理

前述步驟所求出的各指標屬性的權(quán)重模未經(jīng)規(guī)范化，與通常意義上的各指標權(quán)重有所差異。為此，對步驟（1）求出的權(quán)重數(shù)據(jù)運用公式（10）進行歸一化處理，得到通常意義下的權(quán)重值。

2.3.6 求得各決策方案加權(quán)的綜合接近度

已經(jīng)獲得各個指標屬性的權(quán)重，那么可以求出各個方案的綜合接近度，即：

根據(jù)NEs的值由小到大的順序進行排序，即可得到各決策方案的優(yōu)劣。

3 算例分析

3.1 數(shù)據(jù)來源

對戰(zhàn)術(shù)導彈進行評估，采用6個指標分別是命中精度（km）、彈頭載荷（kg）、機動性能（km.h-1）、價格（106g）、可靠性和可維護性，分別用A1至A6表示[8]。其中A1和A4為成本型指標，其余為效益型指標。4個方案分別用S1至S4示，數(shù)據(jù)見表1所示。

表1 各方案的指標值

3.2 決策過程

（1）計算各決策方案各指標的二元聯(lián)系數(shù)參數(shù)

由表1中數(shù)據(jù)采用公式（2）至公式（5）可以求出各指標的用于二元聯(lián)系數(shù)計算的參數(shù)見表2。

表2 均值、標準差和最大偏差

（2）將所有方案的指標均轉(zhuǎn)化為二元聯(lián)系數(shù)

根據(jù)公式（1）至公式（5），基于表2數(shù)據(jù)將表1所示的各指標值轉(zhuǎn)化為聯(lián)系數(shù)向量的形式見表3。

表3 轉(zhuǎn)化后的各指標二元聯(lián)系數(shù)向量

（3）求各指標屬性的單指標靶心向量

由于A1和A4為成本型指標，而其余為效益型指標，根據(jù)公式（8）可以得到各指標屬性的靶心向量為：C0=（1.8+0i 540+0i 55+5i 4.7+0.5i 0.7+0.1i 0.9+0.1i）

（4）求各單指標的接近度

采用公式（9）和公式（10）可以求得各決策方案各指標向量與靶心指標向量的單指標歸一化接近度見表4所示。

表4 各單指標的標準化接近度

（5）混合數(shù)據(jù)類型指標權(quán)重的確定化

設給定各個指標屬性的不確定性權(quán)重分別為:W=（[0.16 0.18 0.2]，[0.18 0.2 0.22]，0.1，[0.18 0.2 0.22 0.24]，[0.14 0.18]，[0.12 0.16]），其中不確定數(shù)表示的權(quán)重的數(shù)據(jù)的參數(shù)下限值的和為小于或等于1，而上限的參數(shù)值的和為大于或等于1。

首先，要計算各個混合數(shù)據(jù)類型權(quán)重的參數(shù)見下頁表5所示。

其次，將各權(quán)重表示為二元聯(lián)系數(shù)向量的形式如下頁表6所示。

表5 所有指標權(quán)重參數(shù)的均值、標準差和最大偏差

表6 指標權(quán)重的二元聯(lián)系數(shù)向量

然后，求出各個指標權(quán)重向量的模見表7。

表7 指標權(quán)重的二元聯(lián)系數(shù)向量的模

采用公式（10），可以對各指標權(quán)重的模進行歸一化處理即可得到通常意義下的各確定的指標權(quán)重W=（0.1818，0.2017，0.1004，0.2124，0.1618，0.1419）。

（6）獲得綜合接近度并進行決策

運用公式（11），采用確定化的權(quán)重 W=（0.1818，0.2017，0.1004，0.2124，0.1618，0.1419）可得到各決策方案綜合加權(quán)的接近度為：INE=（0.2023，0.2928，0.2354，0.2695）。

根據(jù)綜合接近度越小越優(yōu)的原則，可以得到各決策方案的排序為：S1? S3? S4? S2。

4 結(jié)論

本文得到了如下結(jié)論：

（1）將混合屬性廣義灰靶決策方法的權(quán)重由確定性的實數(shù)擴展為含有不確定模糊數(shù)的混合數(shù)據(jù)類型，進一步增強了其適用性。

（2）基于二元聯(lián)系數(shù)向量分別對混合數(shù)據(jù)類型的指標和權(quán)重進行處理，待求出各決策方案歸一化單指標接近度及確定化權(quán)重后再進行決策方案的集成，具有決策思路清晰、計算方法統(tǒng)一、簡便的優(yōu)點。

（3）以混合數(shù)據(jù)類型權(quán)重的二元聯(lián)系數(shù)向量的模作為其確定化權(quán)重的方法考慮了模糊數(shù)的確定性和不確定性方面具有信息失真少、決策準確的特點，但仍有進一步探討的余地。

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