潘 路

(南京航空航天大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)，江蘇 南京 210007)

1 題目

如圖1,一半徑為R的固定的光滑絕緣圓環(huán),位于豎直平面內(nèi);環(huán)上有兩個(gè)相同的帶電小球a和b(可視為質(zhì)點(diǎn)),只能在環(huán)上移動(dòng),靜止時(shí)兩小球之間的距離為R.現(xiàn)用外力緩慢推左球a使其到達(dá)圓環(huán)最低點(diǎn)c,然后撤除外力.下列說法正確的是

(A) 在左球a到達(dá)c點(diǎn)的過程中,圓環(huán)對(duì)b球的支持力變大.

(B) 在左球a到達(dá)c點(diǎn)的過程中,外力做正功,電勢(shì)能增加.

(C) 在左球a到達(dá)c點(diǎn)的過程中,a、b兩球的重力勢(shì)能之和不變.

圖2

(D) 撤除外力后,a、b兩球在軌道上運(yùn)動(dòng)過程中系統(tǒng)的能量守恒.

2 解析

設(shè)固定的光滑絕緣圓環(huán)的圓心為O;a、b兩球的質(zhì)量均為m,帶電荷

量均為q;用外力緩慢推左球a使其到達(dá)圓環(huán)最低點(diǎn)c的過程中,某一狀態(tài)(Oa與Oc夾角為α,Ob與Oc夾角為β)時(shí),球b的受力情況如圖2所示,由b球處于平衡狀態(tài)知F合=N;連接ab交Oc于點(diǎn)c′.

得

(1)

(2)

(3)

一般位置時(shí)，有

(4)

聯(lián)立(1)、(3)、(4)式得

(5)

由題設(shè)得

α=2θ-β.

(6)

圖3

由(5)、(6)兩式可知，若θ單調(diào)減小,則β單調(diào)增大,α單調(diào)減小.反推可得: 當(dāng)α單調(diào)減小時(shí),θ單調(diào)減小,β單調(diào)增大;球a緩慢向最低點(diǎn)c靠近時(shí),α單調(diào)減小,θ單調(diào)減小,由(4)式知F單調(diào)增大.所以a、b兩球間距離減小,電場(chǎng)力做負(fù)功,電勢(shì)能增加;(B)選項(xiàng)正確.

如圖3所示,設(shè)初始時(shí)a、b兩球的重心為O1;球a到達(dá)圓環(huán)最低點(diǎn)c時(shí),a、b兩球的重心為O2,兩球間距為x.由幾何關(guān)系知

(7)

由三角形相似得

(8)

OO2之間的豎直距離為

(9)

比較(7)、(9)兩式可知球a到達(dá)圓環(huán)最低點(diǎn)c時(shí)兩球的重心位置相比初始時(shí)兩球的重心位置升高,兩球的重力勢(shì)能之和變大.(C)選項(xiàng)錯(cuò)誤.

撤除外力后,只有重力和電場(chǎng)力做功,a、b兩球在軌道上運(yùn)動(dòng)過程中系統(tǒng)的能量守恒.(D)選項(xiàng)正確.

綜上所述,本題正確選項(xiàng)為(B)、(D).

3 進(jìn)階研究

設(shè)m=1 kg,g=10 m/s2,R=1 m.由前面分析知當(dāng)α單調(diào)減小時(shí),θ單調(diào)減小.當(dāng)αmin=0時(shí),θ最?。钚≈悼捎蒑athcad計(jì)算如下.

可得

取最低點(diǎn)c所在水平面為重力勢(shì)能零勢(shì)能面,一般位置時(shí)a、b兩球的重力勢(shì)能之和為

Ep1=mgR(2-cosα-cosβ).

(10)

取兩帶電小球相距無限遠(yuǎn)時(shí)電勢(shì)能為0,一般位置時(shí)a、b兩帶電小球的相互作用電勢(shì)能

(11)

聯(lián)立(3)、(11)兩式得

(12)

則兩帶電小球的總勢(shì)能為

Ep=Ep1+Ep2=mgR(2-cosα-cosβ)+

(13)

圖4 Mathcad代碼

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11