戴秀菊， 舒志彪

(福州大學數(shù)學與計算機科學學院， 福建 福州 350116)

0 引言

金融衍生品的隱含波動率能夠衡量未來某一段時間內(nèi)對應(yīng)的標的資產(chǎn)價格的變動程度, 市場參與者可以據(jù)此作出交易決策. 期權(quán)隱含波動率是將期權(quán)價格代入Black-Scholes期權(quán)定價公式[1]， 反推得到的標的資產(chǎn)波動率數(shù)值. 傳統(tǒng)的Black-Scholes公式將隱含波動率σ當做一個恒定常數(shù). 但是， 很多實證分析表明，σ并非一個恒定的常數(shù)， 而是與期權(quán)的剩余期限和執(zhí)行價格有著顯著相關(guān)性的變量[2-3]. 據(jù)此， Dumas等[4]構(gòu)建了隱含波動率參數(shù)模型. 該模型假設(shè)隱含波動率σ與執(zhí)行價格K和剩余期限T之間的相關(guān)性可以用如下的雙二次函數(shù)來描述：

lnσ=α0+α1K+α2K2+α3T+α4T2+α5KT+ε

(1)

這種參數(shù)模型被廣泛研究且擴展[5-7]. 但是參數(shù)模型往往需要預先假設(shè)波動率與執(zhí)行價格、 到期日存在某種線性或非線性關(guān)系， 這種假設(shè)可能會導致較大偏差. 相比之下， 非參數(shù)模型顯得更加靈活， 它不需要預判因素之間的相關(guān)關(guān)系， 而只需要做一個最優(yōu)化擬合. 例如, 毛娟等[8]考慮隱含波動率與剩余期限、 執(zhí)行價格相關(guān)的模型， 采用非參數(shù)估計的局部多項式方法來擬合隱含波動率； Borovkova等[9]使用非參數(shù)Bourke插值公式構(gòu)建隱含波動率模型.

基于隱含波動率與期權(quán)的剩余期限和執(zhí)行價格顯著相關(guān)的假設(shè)， 考慮原有的參數(shù)模型及Bourke非參數(shù)模型的優(yōu)缺點， 提出兩種基于非參數(shù)核回歸的隱含波動率預測模型： 雙窗寬Nadaraya-Watson高斯核回歸模型與Parzen-窗均勻核回歸模型. 選取AAPL期權(quán)數(shù)據(jù)樣本對已有模型與新構(gòu)建的隱含波動率模型進行實證分析， 并進行預測能力分析. 實驗結(jié)果表明， 研究提出的基于非參數(shù)核回歸模型的隱含波動率預測效果更好.

1 非參數(shù)核回歸模型

所謂回歸分析是通過建立回歸模型來研究相關(guān)變量的關(guān)系并作出相應(yīng)估計和預測的一種統(tǒng)計方法.

定義1(回歸模型[10])： 假設(shè)有兩個隨機變量X,Y， 其中X為解釋變量，Y為響應(yīng)變量， 由于變量之間的相關(guān)性， 當給定X=x， 響應(yīng)變量Y不能唯一確定， 仍然為隨機變量. 響應(yīng)變量Y的估計或預測值通常取其條件數(shù)學期望E(Y|X=x)， 它是解釋變量X的函數(shù)， 稱為回歸函數(shù)， 記為f(x)=E(Y|X=x)， 則回歸模型一般形式為：

(2)

其中:f(·)為Y的回歸函數(shù)；ε為隨機誤差， 表示除解釋變量之外的因素對響應(yīng)變量的影響.

回歸函數(shù)f(x)的估計方法一般有參數(shù)估計、 非參數(shù)估計兩種方法. 參數(shù)估計預先設(shè)置一個模型， 結(jié)果的好壞直接取決于模型的預先假設(shè). 而非參數(shù)估計不需要進行任何預先設(shè)置， 只通過數(shù)據(jù)決定. 所以相對于參數(shù)回歸模型， 非參數(shù)回歸模型的應(yīng)用范圍更廣， 性能更穩(wěn)健.

目前利用非參數(shù)估計構(gòu)建隱含波動率預測模型的方法有很多， 如Borovkova等[9]用非參數(shù)插值公式建立隱含波動率模型(簡稱Bourke模型):

(3)

這個模型基于了一個重要假設(shè)： 彼此間距離近的數(shù)據(jù)點應(yīng)該有更大的概率成為近鄰. 沿用這種思路， 研究將數(shù)據(jù)之間的相關(guān)信息和原有的Nadaraya-Watson核估計與Parzen-窗表示方法相結(jié)合， 以此構(gòu)建兩個非參數(shù)估計的隱含波動率預測模型. 假設(shè)概率大的數(shù)據(jù)點可以分配到更大的權(quán)值， 即對預測樣本點的貢獻更顯著.

2 基于非參數(shù)核回歸的隱含波動率預測模型

2.1 雙窗寬Nadaraya-Watson高斯核回歸模型

2.1.1 Nadaraya-Watson核估計[11-16]

定義2假設(shè)Xi∈d,i=1, …,N,d為維數(shù)，yi∈,i=1, …,N， 存在映射函數(shù)f:d→, 使得f(Xi)=yi,i=1, 2, …,N. 又可積函數(shù)k(x):→+且k(x)dx=1， 對于任意參數(shù)hq>0,q=1, …,d， 有khq(x)=hq-1k(xhq-1)， 對h=(h1,h2, …,hd)∈(0, ∞)d， 定義函數(shù)kh:d→，kh=kh1?kh2?…?khd， 也就是：

kh(x)≡kh(x1, …,xd)=kh1(x1)…khd(xd)

(4)

(5)

Nadaraya-Watson估計可以看作是一種簡單的加權(quán)平均， 即：

(6)

(7)

上述光滑參數(shù)hq是一個與N有關(guān)的正常數(shù)， 滿足N趨于無窮時，hq趨于0，k(·)為已知核函數(shù). 光滑參數(shù)hq的選取會直接影響到模型的估計精度. 光滑參數(shù)hq太小， 則有用信息和干擾信息無法分離， 擬合方差較大， 容易導致除樣本點外， 其它點處均為零. 反之， 光滑參數(shù)hq太大， 則會導致估計過度平均化， 偏差和殘差較大. 估計隱含波動率時， 一般希望有較高精度和較小的偏差， 因此光滑參數(shù)hq的選取尤為重要. 光滑參數(shù)的處理見節(jié)3.2.

2.1.2 雙窗寬Nadaraya-Watson高斯核回歸隱含波動率預測模型

Bourke模型的權(quán)重使用的是距離的倒數(shù)， 距離越近權(quán)重越大. 但是， 當待測點的剩余期限和執(zhí)行價格與某一已知樣本點的剩余期限和執(zhí)行價格相等時， 該點的權(quán)重為無窮. 為了避免這個問題， 研究使用非參數(shù)雙窗寬Nadaraya-Watson高斯核回歸模型. 即核函數(shù)k(·)取用高斯核函數(shù)：

(8)

在隱含波動率預測模型中， (8)式中x={K,T}. 根據(jù)定義及式(4)、 (5)和(8)， 隱含波動率估計公式為：

(9)

2.2 Parzen-窗均勻核回歸模型

2.2.1 Parzen-窗估計[17-18]

(10)

其中:N為樣本個數(shù)；m為落入小艙中的樣本個數(shù)；V為艙體積.

假設(shè)x是d維空間中任意一點， 每個小艙是一個超立方體， 它在每一維的棱長表示為hq,q=1, 2, …,d， 則小艙的體積是V=h1,h2, …,hd. 要計算落入以x為中心的小艙內(nèi)的樣本數(shù)目， 可以定義如下的d維核函數(shù)：

(11)

因此,X落入以x為中心的超立方體內(nèi)的樣本數(shù):

(12)

2.2.2 Parzen-窗均勻核回歸隱含波動率預測模型

雙窗寬Nadaraya-Watson高斯核回歸模型使用所有的樣本點， 而樣本點對應(yīng)的隱含波動率差異較大， 導致某些點雖然權(quán)重很小， 但是對結(jié)果貢獻仍然很大. Bourke模型也存在同樣問題.

針對以上問題， 研究進一步提出使用Parzen-窗均勻核密度估計法, 公式如下：

(13)

同理， 在隱含波動率預測模型中， (13)式中x={K,T}， 所以得到隱含波動率估計：

(14)

也就是說， 單個待測點不是和全部樣本點都有關(guān)系， 而是只跟待測點附近的少量樣本點有關(guān)， 而且它們的權(quán)重是相等的.

2.3 基于非參數(shù)核回歸的隱含波動率預測模型分析

實際生活中的數(shù)據(jù)彼此之間往往存在著或多或少的相關(guān)性. 在研究某事物時， 為了能夠更全面、 準確地表述它， 應(yīng)考慮更多與該事物相關(guān)的變量. 期權(quán)數(shù)據(jù)也不例外， 經(jīng)過大量實證分析， 期權(quán)隱含波動率與執(zhí)行價格、 剩余期限有著較強的相關(guān)性. 根據(jù)不同執(zhí)行價格和剩余期限兩個變量彼此間各自的距離遠近來表示隱含波動率之間的相關(guān)性強弱， 用非參數(shù)核回歸的方法反映隱含波動率之間的相關(guān)性. 在Bourke模型(3)與本研究提出的雙窗寬Nadaraya-Watson高斯核回歸隱含波動率預測模型(9)、 Parzen-窗均勻核回歸隱含波動率預測模型(14)等3個模型中， 根據(jù)K、T的距離遠近， 給定不同的核密度估計表示它們的相關(guān)性, 如圖1所示. 為了更直觀明了， 這里只給出K方向的剖面， 同理，T方向樣本點隱含波動率的相關(guān)性也可由相同的剖面表示.

圖1 3種模型的樣本相關(guān)性示意圖Fig.1 Sample correlation diagram of the three models

從圖1可以直觀地看出Borovkova等的Bourke模型和雙窗寬Nadaraya-Watson高斯核模型都考慮了全部的樣本點， 導致某些樣本點雖然相關(guān)性很小， 但是由于自身取值較大， 所以對預測結(jié)果的貢獻仍然很大. 而且Bourke模型會出現(xiàn)奇異點， 導致結(jié)果會出現(xiàn)奇異， 不如高斯核模型. 與這兩種模型相比， Parzen-窗均勻核模型只考慮局部樣本點， 數(shù)據(jù)相關(guān)性表示更合理， 預測更準確， 具體可由以下實驗得證.

3 實驗與分析

將雙窗寬Nadaraya-Watson高斯核回歸模型(9)和Parzen-窗均勻核回歸模型(14)與已有的參數(shù)模型(1)、 Bourke模型(3)進行對比實驗. 從預測精確度的角度進行分析， 分別給出4種模型的預測誤差.

3.1 數(shù)據(jù)集

實驗使用從雅虎網(wǎng)站(http://finance.yahoo.com/q/op?s=AAPL+Options)下載的AAPL期權(quán)數(shù)據(jù). 實驗分為大樣本測試和小樣本測試. 小樣本點集來自2015年11月25日至2015年12月09日兩周的數(shù)據(jù)， 測試數(shù)據(jù)來自2015年12月14日當天的數(shù)據(jù). 大樣本點集來自2015年12月26日至2016年2月29日3個月全部的數(shù)據(jù)， 測試數(shù)據(jù)來自2016年3月1日和2016年3月2日兩天的數(shù)據(jù). 小樣本點集有3 018個數(shù)據(jù)， 大樣本集有2萬個左右數(shù)據(jù). 這里只給出預測集2016年3月1日當天的部分數(shù)據(jù). 數(shù)據(jù)集整理如表1所示.

表1 2016年3月1日AAPL期權(quán)待測樣本數(shù)據(jù)集

3.2 窗寬選擇

窗寬hd與樣本容量大小有關(guān)， 窗寬的選取直接影響到估計精度. 在實踐中, 采用Silverman[19]的經(jīng)驗法則計算最優(yōu)窗寬， 計算公式為：

(15)

3.3 實驗結(jié)果與分析

預測實驗誤差的計算公式為：

圖2 AAPL期權(quán)隱含波動率預測誤差分布圖(2015—12—14)Fig.2 Implied volatility prediction error distribution of AAPL options on December 14, 2015

表2的實驗數(shù)據(jù)樣本點來自2015年11月26日—2015年12月9日剩余期限小于100 d的3 018個數(shù)據(jù)， 測試數(shù)據(jù)來自2015年12月14日剩余期限小于100的340個數(shù)據(jù). 圖2為2015年12月14日4種模型的隱含波動率預測誤差分布圖.

表2 4種模型預測誤差對比(2015—12—14)

表3、 4的實驗數(shù)據(jù)樣本點來自2015年12月26日—2016年2月29日3個月全部的數(shù)據(jù)， 測試數(shù)據(jù)分別來自2016年3月1日和2016年3月2日當天的數(shù)據(jù). 圖3、 4分別為2016年3月1日與2016年3月2日的真實隱含波動率與模型隱含波動率的誤差分布圖.

表3 4種模型預測誤差對比(2016—03—01)

表4 4種模型預測誤差對比(2016—03—02)

圖3 AAPL期權(quán)隱含波動率預測誤差分布圖(2016—03—01)Fig.3 Implied volatility prediction error distribution of AAPL options on March 01, 2016

圖4 AAPL期權(quán)隱含波動率預測誤差分布圖(2016—03—02)Fig.4 Implied volatility prediction error distribution of AAPL options on March 02, 2016

實例研究表明， 與參數(shù)模型相比， 非參數(shù)模型不需要預先假定回歸函數(shù)形式， 對數(shù)據(jù)的分布一般不做任何要求， 所以模型精度較高， 且在大樣本的情況下效果更好. 與Dumas的參數(shù)模型、 Bourke模型、 雙窗寬Nadaraya-Watson高斯核回歸模型相比， Parzen-窗均勻核隱含波動率模型能夠較好地篩選掉與待測點無關(guān)的樣本點， 在不同的樣本容量下預測誤差較小， 整體預測效果更好.

4 結(jié)語

Parzen-窗均勻核模型與雙窗寬Nadaraya-Watson高斯核回歸模型是非參數(shù)核回歸模型. 這兩個模型采用了Bourke模型權(quán)重的思想， 克服了參數(shù)模型預先假設(shè)變量間關(guān)系導致較大偏差的缺點， 此外， 還克服了Bourke模型的某些點的權(quán)重為無窮的缺點. 雙窗寬Nadaraya-Watson高斯核回歸模型認為對于單個待測點的預測與全部的樣本點都有關(guān)系. 而Parzen-窗均勻核回歸模型待測點只與附近的樣本點有關(guān)， 這種局部思想更符合實際且實驗效果更好. 不過， 本研究的模型僅考慮了隱含波動率與期權(quán)的剩余期限和執(zhí)行價格的關(guān)系， 今后的研究將進一步考慮期權(quán)的交易頻率、 數(shù)量及標的資產(chǎn)價格服從跳躍過程等因素對隱含波動率的影響.

參考文獻：

[1] BLACK F, SCHOLES M. The pricing of options and corporate liabilities[J]. Journal of Political Economy, 1973, 81(3): 637-654.

[2] NCUBE M. Modelling implied volatility with OLS and panel data models[J]. Journal of Banking & Finance, 1996, 20(1): 71-84.

[3] FENGLER M R. Option data and modeling BSM implied volatility[M]. Berlin: Springer, 2012.

[4] DUMAS B, FLEMING J, WHALEY R E. Implied volatility functions: empirical tests[J]. Journal of Finance, 1998, 53(6): 2 059-2 106.

[5] 莫旭華. 基于香港股票期權(quán)的隱含波動率建模[D]. 廣州： 華南理工大學, 2012.

[6] ZHAO B, HODGES S D. Parametric modeling of implied smile functions: a generalized SVI model[J]. Review of Derivatives Research, 2013, 16(1): 53-77.

[7] GATHERAL J, JACQUIER A. Arbitrage-free SVI volatility surfaces[J]. Quantitative Finance, 2013, 14(1): 59-71.

[8] 毛娟, 王建華. 隱含波動率曲面的非參數(shù)擬合[J]. 武漢理工大學學報(信息與管理工程版), 2009, 31(2): 197-199.

[9] BOROVKOVA S, PERMANA F J. Implied volatility in oil markets[J]. Computational Statistics & Data Analysis, 2009, 53(6): 2 022-2 039.

[10] JOHNSON R A, WICHERN D W. 實用多元統(tǒng)計分析[M]. 6版. 陳旋, 等譯. 北京： 清華大學出版社, 2008.

[11] NADARAYA E A. On estimating regression[J]. Theory of Probability & Its Applications, 1964, 9(1): 141-142.

[12] WATSON G S. Smooth regression analysis[J]. Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A, 1964, 26(4): 359-372.

[13] KENMOE R N, SANFELICI S. An application of nonparametric volatility estimators to option pricing[J]. Decisions in Economics and Finance, 2014, 37(2): 393-412.

[14] TSYBAKOV A B. Introduction to nonparametric estimation[M]. New York： Springer-Verlag, 2009.

[15] HOLCAPEK M, TICHY T. An application of ann-dimensional fuzzy smoothing filter in financial modeling[C]//Business Engineering and Industrial Applications Colloquium. Kuala Lumpur: IEEE, 2012: 226-231.

[16] KUNG J J. A nonparametric kernel regression approach for pricing options on stock market index[J]. Applied Economics, 2016, 48(10): 902-913.

[17] 張學工. 模式識別[M]. 3版. 北京： 清華大學出版社, 2010.

[18] MUSSA H Y, MITCHELL J B O, AFZAL A M. The Parzen window method: in terms of two vectors and one matrix[J]. Pattern Recognition Letters, 2015, 63: 30-35.

[19] SILVERMAN B W. Density estimation for statistics and data analysis[M]. London: CRC press, 1986.