王祥，王杰，高磊

（西安工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710048）

0 引言

機(jī)器人視覺(jué)在紡織、檢測(cè)以及工業(yè)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1-3]。目前，視覺(jué)設(shè)備的安裝平臺(tái)分為固定平臺(tái)和移動(dòng)平臺(tái)兩種，具有應(yīng)用局限性，移動(dòng)平臺(tái)一部分以電機(jī)驅(qū)動(dòng)，可以實(shí)現(xiàn)左右搖擺和上下俯仰2 自由度的轉(zhuǎn)動(dòng)，如監(jiān)控探頭[4-5]；另一部分，在“eye-in-hand”視覺(jué)系統(tǒng)中，視覺(jué)設(shè)備跟隨機(jī)械臂末端運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)空間運(yùn)動(dòng)[5-8]，穩(wěn)定性不好。并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有剛度重量比大、穩(wěn)定性強(qiáng)和環(huán)境適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，而且響應(yīng)速度快、技術(shù)附加值高、易于重構(gòu)并且制造成本低[9]，因此，并聯(lián)機(jī)構(gòu)平臺(tái)得到了廣泛地關(guān)注。文獻(xiàn)[10-12]以3-RRR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)為平臺(tái)設(shè)計(jì)了球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)仿生眼。3-RRR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)能實(shí)現(xiàn)繞三個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)[13]，但在工業(yè)生產(chǎn)中很少應(yīng)用。文獻(xiàn)[14]開(kāi)發(fā)了基于3-RPS 并聯(lián)工作臺(tái)的新型3D 打印機(jī)構(gòu)，在滿足3D 打印技術(shù)的基本成型條件的同時(shí)，還能夠完全按照纖維取向成型。文獻(xiàn)[15]研制了一臺(tái)基于3-RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)平臺(tái)的滅火噴槍樣機(jī)，實(shí)現(xiàn)了遠(yuǎn)程無(wú)人滅火。文獻(xiàn)[16]將 3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用于先進(jìn)機(jī)床。文獻(xiàn)[17]提出了一種3-RPS 機(jī)器人和虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)結(jié)合的全新滑雪模擬器方案，可以模擬滑雪者俯仰、偏轉(zhuǎn)，速降 3個(gè)維度的運(yùn)動(dòng)。

3-RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)是在Stewart 六自由度并聯(lián)機(jī)器人的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的[18]。通過(guò)改變?nèi)齻€(gè)移動(dòng)副的位移使動(dòng)平臺(tái)可以實(shí)現(xiàn)前后移動(dòng)、左右搖擺和上下俯仰3 個(gè)自由度[19]。將視覺(jué)設(shè)備安裝于該平臺(tái)上，能夠?qū)崿F(xiàn)在機(jī)器人本體位姿或目標(biāo)本體位姿不變的情況下，視覺(jué)設(shè)備能夠到達(dá)滿足拍攝要求的角度和位置，從而獲取高質(zhì)量的圖像或視頻，為后續(xù)的圖像處理提供方便。本文對(duì)視覺(jué)設(shè)備安裝平臺(tái)進(jìn)行建模，并基于MATLAB 對(duì)其工作空間進(jìn)行分析，該平臺(tái)的工作空間大，運(yùn)行穩(wěn)定性好，具有較高的實(shí)用價(jià)值。

1 視覺(jué)設(shè)備安裝平臺(tái)的建模分析

1.1 視覺(jué)設(shè)備安裝平臺(tái)的自由度計(jì)算

自由度的表達(dá)和計(jì)算是機(jī)構(gòu)研究很重要的一部分，只有對(duì)機(jī)構(gòu)自由度正確的分析、計(jì)算與表達(dá)，才能得到相應(yīng)的機(jī)構(gòu)，并且能夠?qū)崿F(xiàn)真實(shí)的運(yùn)動(dòng)。

其中，F(xiàn) 為機(jī)構(gòu)的自由度，n 為構(gòu)件數(shù)，g 為運(yùn)動(dòng)副數(shù)，fi為運(yùn)動(dòng)副的自由度，d 為機(jī)構(gòu)公共約束因子，d= 6 - λ，λ 為機(jī)構(gòu)公共約束數(shù)，ν 為并聯(lián)冗余約束因子。3-RPS 型并聯(lián)機(jī)構(gòu)平臺(tái)為3 自由度的空間機(jī)構(gòu)。

1.2 視覺(jué)設(shè)備安裝平臺(tái)的建模

在分析機(jī)構(gòu)的工作空間時(shí)需要建立機(jī)構(gòu)模型，各結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)合理才能完成仿真[20]。利用SolidWorks 對(duì)視覺(jué)設(shè)備安裝平臺(tái)進(jìn)行建模，如圖1 所示。視覺(jué)設(shè)備的光軸線交于動(dòng)平臺(tái)平面的形心點(diǎn)，視覺(jué)設(shè)備底面與動(dòng)平臺(tái)平面貼合。機(jī)構(gòu)的主要參數(shù)如表1 所示。

表1 3-RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的主要參數(shù) Table 1 Main parameters of 3-RPS parallel mechanism

圖1 視覺(jué)設(shè)備安裝平臺(tái)模型 Fig.1 Visual equipment installation platform model

2 平臺(tái)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 平臺(tái)機(jī)構(gòu)描述

圖2 視覺(jué)設(shè)備安裝平臺(tái)簡(jiǎn)圖 Fig.2 Visual equipment installation platform sketch

定坐標(biāo)系位于靜平臺(tái)的幾何中心，動(dòng)坐標(biāo)系位于動(dòng)平臺(tái)的幾何中心，初始位置時(shí)，動(dòng)平臺(tái)平行于靜平臺(tái)，當(dāng)動(dòng)平臺(tái)繞著動(dòng)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時(shí)，動(dòng)平臺(tái)的位姿發(fā)生改變，為了確定動(dòng)平臺(tái)在運(yùn)動(dòng)中相對(duì)于定平臺(tái)的位置，根據(jù)3-RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，采用歐拉角來(lái)描述。

2.2 視覺(jué)設(shè)備安裝平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

如圖2 所示，設(shè) φi（ i = 1,2,3）為支桿 AiBi和基座OAi的夾角。例如，在固定坐標(biāo)系下球關(guān)節(jié) Bi的位置向量可以表示為：

將式（2）~（4）代入式（5）可得：

球關(guān)節(jié)iB 對(duì)于定平臺(tái)的位置向量2q 也可以寫(xiě)成：

因此，

通過(guò)式（9）~（12）可以求得Z-Y-X 型歐拉角，如下式：

2.3 視覺(jué)設(shè)備安裝平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

如圖2 所示，動(dòng)坐標(biāo)相對(duì)與定坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：

其中，點(diǎn)P 為上平臺(tái)形心。因此，在定坐標(biāo)系O-XYZ 中， Bi（ i= 1,2,3）的坐標(biāo)為： 機(jī)構(gòu)各部分普遍存在約束條件[22]。當(dāng)3-RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)基面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線對(duì)中心點(diǎn)O 呈切向分布時(shí)，機(jī)構(gòu) 3 個(gè)分支轉(zhuǎn)動(dòng)副的這種位置布置限制了動(dòng)平臺(tái)3 個(gè)球鉸的運(yùn)動(dòng)。 B1, B2,B3三點(diǎn)必須在 y=0,y=x,y=-x3 個(gè)垂直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，如圖3 為三個(gè)約束平面。

圖3 約束平面 Fig.3 Constrained plane

因此，可得:

設(shè)動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于定平臺(tái)的空間Z-Y-X 歐拉角表示為（γβα），則轉(zhuǎn)換矩陣為：

求得：

這樣矩陣T 中就只含有α 、β 和 pz3 個(gè)變量。動(dòng)平臺(tái)鉸鏈點(diǎn) Bi（ i= 1,2,3）相對(duì)于靜坐標(biāo)系O-XYZ的表達(dá)式為：

式（22）是關(guān)于α 、β 和zp 的表達(dá)式，只要給定機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)參數(shù)α 、β 和動(dòng)平臺(tái)P 點(diǎn)的高度zp 就可以計(jì)算出連桿的長(zhǎng)度。經(jīng)過(guò)平臺(tái)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，可以明確得到機(jī)構(gòu)各關(guān)節(jié)量與平臺(tái)位姿之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系[21,22]。

3 視覺(jué)設(shè)備安裝平臺(tái)的工作空間分析

3.1 視覺(jué)設(shè)備安裝平臺(tái)的工作空間分析

將動(dòng)平臺(tái)的形心定為參考點(diǎn)，其可能達(dá)到的某一空間定為搜索空間。首先將動(dòng)平臺(tái)的工作空間用平行于p-xyz 面的平面分割成若干個(gè)厚度為 zΔ 的子空間，在給定動(dòng)平臺(tái)形心在定平臺(tái)坐標(biāo)系Z 方向的坐標(biāo)值的情況下，使動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行2 次轉(zhuǎn)動(dòng)，然后在物理模型中找到形心的坐標(biāo)，視為一個(gè)邊界點(diǎn)。將收集到的所有邊界點(diǎn)的坐標(biāo)，用MATLAB 軟件進(jìn)行編程，得到整個(gè)動(dòng)平臺(tái)的工作空間，如圖4 所示。

3.2 支桿伸長(zhǎng)量與歐拉角之間的關(guān)系

圖4 視覺(jué)設(shè)備安裝平臺(tái)的工作空間 Fig.4 The workspace of visual equipment installation platform

圖5 桿長(zhǎng) 1d 與β 角的關(guān)系 Fig.5 Relationship between 1d and β

影響機(jī)構(gòu)姿態(tài)的因素有很多，歐拉角對(duì)機(jī)構(gòu)姿 態(tài)是主要的影響因素。設(shè)歐拉角β 的范圍為0 ~30° °， 0α = °。支桿的伸長(zhǎng)量與歐拉角之間的關(guān)系，如圖5 所示。

圖中可以看出隨著歐拉角β 的增加，支桿1d 的長(zhǎng)度基本趨于均勻減小；在 0β = °時(shí)，即動(dòng)平臺(tái)與靜平臺(tái)處于平行狀態(tài)時(shí)，支桿的長(zhǎng)度最長(zhǎng)，這符合實(shí)際情況。

3.3 機(jī)構(gòu)的輸入輸出關(guān)系

在已知了3-RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間的基礎(chǔ)上，研究機(jī)構(gòu)的輸入輸出關(guān)系是必要的。機(jī)構(gòu)的輸入輸出關(guān)系可以間接的反映機(jī)構(gòu)的工作性能與工作效率。本文從三個(gè)方面研究了機(jī)構(gòu)的輸入輸出關(guān)系。

（1） 若動(dòng)平臺(tái)中心只沿著X 軸運(yùn)動(dòng)，則 py= 0，歐拉角的關(guān)系如圖6 所示，機(jī)構(gòu)在只沿X 軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡是關(guān)于Y 軸對(duì)稱(chēng)的。由圖可以看出，當(dāng)輸入歐拉角α=0°, β= 0°時(shí)，輸出的γ= 0°；

圖6 py= 0時(shí)歐拉角關(guān)系圖 Fig.6 Euler angle diagram when p y= 0

（2）若動(dòng)平臺(tái)只沿著Y 軸運(yùn)動(dòng)，則 px= 0，歐拉角的關(guān)系如圖7 所示，機(jī)構(gòu)在只沿Y 軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡是關(guān)于X 軸對(duì)稱(chēng)的。由圖可以看出，當(dāng)輸入歐拉角α=0°, β= 0°時(shí)，輸出的γ= 0°。

圖7 px= 0時(shí)歐拉角關(guān)系圖 Fig.7 Euler angle diagram when p x= 0

（3）若動(dòng)平臺(tái)中心維持在 Z 軸上，則px= 0, py= 0，歐拉角的關(guān)系如圖8 所示。

圖8 px=0, py= 0時(shí)歐拉角關(guān)系圖 Fig.8 Euler angle diagram when px=0, py= 0

由圖9 可知，當(dāng)動(dòng)平臺(tái)只沿著Z 軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，則歐拉角的關(guān)系呈兩條曲線分布，分布在 γ = 0°的平面兩側(cè)。當(dāng)α=0 °,β= 0°時(shí)，動(dòng)平臺(tái)與靜平臺(tái)處于平行狀態(tài)。當(dāng)輸入α=10°，則輸出β= 10° 或β = 10° ； 當(dāng) 輸 入 β = 10°時(shí)， 輸 出α= 10° 或α=-10°。歐拉角β 與γ 的關(guān)系與歐拉角α 與β 的關(guān)系類(lèi)似，這也是符合實(shí)際情況的。

中心點(diǎn)P 的位姿可用向量w 表示，其中w 為：

則可求得向量的末端軌跡，如圖9 所示。

圖9 形心只沿Z 軸運(yùn)動(dòng)的軌跡圖 Fig.9 Trajectory map of the centroid only along the Z axis

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)目前串聯(lián)機(jī)構(gòu)的視覺(jué)設(shè)備安裝平臺(tái)工作空間受限，運(yùn)行穩(wěn)定性差等問(wèn)題，基于3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)了一種視覺(jué)設(shè)備安裝平臺(tái)，基于MATLAB 對(duì)該平臺(tái)進(jìn)行了分析。經(jīng)過(guò)對(duì)相關(guān)參數(shù)之間關(guān)系的分析，確定了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間，該平臺(tái)的工作空間大，視覺(jué)設(shè)備可以實(shí)現(xiàn)前后移動(dòng)、左右搖擺和上下俯仰，且運(yùn)行穩(wěn)定性好。后期，需要搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，并進(jìn)行視覺(jué)設(shè)備安裝平臺(tái)的控制實(shí)驗(yàn)，對(duì)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，促進(jìn)該平臺(tái)的實(shí)際應(yīng)用。