汪振國(guó), 雷曉燕, 羅 錕, 曾少輝

(華東交通大學(xué) 鐵路環(huán)境振動(dòng)與噪聲教育部工程研究中心，南昌 330013)

橋梁行業(yè)的快速發(fā)展使得橋梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問(wèn)題日愈突出。橋梁作為重要的交通樞紐，振動(dòng)問(wèn)題不僅關(guān)系到其正常安全運(yùn)營(yíng)，而且涉及到人們的生命安全問(wèn)題[1]，這使得對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)開(kāi)展研究很有必要。

目前，針對(duì)橋梁振動(dòng)問(wèn)題的研究，主要有數(shù)值模擬、現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試以及結(jié)構(gòu)模型試驗(yàn)三種方法[2-4]。其中結(jié)構(gòu)模型試驗(yàn)是眾多科研工作者探索復(fù)雜結(jié)構(gòu)內(nèi)部規(guī)律和外部條件的重要手段之一[5]，特別是進(jìn)入20世紀(jì)后，模型相似理論，科學(xué)技術(shù)和試驗(yàn)技術(shù)得到快速發(fā)展，使得結(jié)構(gòu)模型試驗(yàn)取得長(zhǎng)足的進(jìn)步，至今為止仍是國(guó)內(nèi)外學(xué)者解決問(wèn)題的重要辦法[6-8]。Jeon等用縮尺模型試驗(yàn)驗(yàn)證了自己提出的地震作用下樁基破壞新機(jī)理；吳波等開(kāi)展了兩種不同框剪結(jié)構(gòu)模型的地震模擬振動(dòng)臺(tái)對(duì)比試驗(yàn)，得出部分柱頂滑移鋼筋混凝土框剪結(jié)構(gòu)具有比傳統(tǒng)框剪結(jié)構(gòu)更優(yōu)的抗震性能。Chan等以荷載響應(yīng)識(shí)別為目的，開(kāi)展了車橋耦合振動(dòng)模型試驗(yàn)，但未按相似關(guān)系設(shè)計(jì)車輛和橋梁的動(dòng)力特性參數(shù)。然而，在結(jié)構(gòu)模型試驗(yàn)中要使原型與模型間保持絕對(duì)嚴(yán)格的相似關(guān)系幾乎是不可能的，往往會(huì)通過(guò)改變結(jié)構(gòu)屬性或者縮小幾何比尺來(lái)近似滿足兩者間的相似關(guān)系。但這樣會(huì)極大增加經(jīng)濟(jì)與時(shí)間的代價(jià)。

林皋等[9-10]曾根據(jù)不同的試驗(yàn)?zāi)康募耙?，指出結(jié)構(gòu)動(dòng)力模型試驗(yàn)有3種基本換算關(guān)系：彈性力相似律、重力相似律及彈性力—重力相似律。其中，以研究結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性以及彈性階段結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)為試驗(yàn)?zāi)康臅r(shí)適用彈性力相似律，但并未有學(xué)者依據(jù)該相似律指導(dǎo)橋梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)相似模型的設(shè)計(jì)與制作。

本文為探討彈性力相似律在橋梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)相似模型與原型橋梁間的適用性，以32 m簡(jiǎn)支箱梁橋?yàn)樵停?0∶1為幾何縮尺比，設(shè)計(jì)制作了簡(jiǎn)支箱梁橋模型，并依據(jù)彈性力相似律推導(dǎo)了原型橋與模型橋間的相似關(guān)系；在以橋梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)為研究目的的情況下，通過(guò)有限元數(shù)值分析得到原型箱梁與模型箱梁的自由模態(tài)頻率比尺以及原型橋與模型橋的位移、速度和加速度比尺，以此來(lái)校驗(yàn)理論推導(dǎo)相似關(guān)系，此外，對(duì)相似模型實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與有限元數(shù)值分析數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，探討實(shí)際相似模型與有限元相似模型是否具有一致性。

1 模型試驗(yàn)相似理論

1.1 相似條件

模型與原型之間保持嚴(yán)格的動(dòng)力、靜力相似，有四個(gè)必要和充分的相似條件

(1)幾何相似。模型和原型的幾何尺寸需保持一定的比例，即

L/Lm=λ

(1)

式中：L為原型的幾何尺寸；Lm為模型的幾何尺寸(下標(biāo)“m”代表模型中的物理量，下同)；λ為幾何比尺。

(2)物理性能相似。模型與原型相應(yīng)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量在整個(gè)動(dòng)力過(guò)程中應(yīng)保持恒定比例，也相當(dāng)于兩者的材料密度保持著一定的比例，即

(2)

式中：M為質(zhì)量；ρ為材料密度；λρ為密度比尺。

(3)運(yùn)動(dòng)相似。模型與原型相應(yīng)質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度應(yīng)保持一定比例，這就相當(dāng)于兩者在動(dòng)力過(guò)程中所經(jīng)歷的相應(yīng)時(shí)段保持一定的比例，即

(3)

f/fm=tm/t=1/λt=λf

(4)

式中：v為速度；a為加速度；t為時(shí)間；f為頻率；λv、λa、λt、λf分別為速度比尺、加速度比尺、時(shí)間比尺和頻率比尺。

(4)動(dòng)力相似。牛頓所提出的動(dòng)力相似條件說(shuō)明在動(dòng)力過(guò)程中，無(wú)論由什么原因所產(chǎn)生的作用力，其比尺應(yīng)保持一致[11]。方程式表達(dá)為

F/Fm=λF

(5)

式中：F為作用力；λF為作用力比尺。

在動(dòng)力作用過(guò)程中，對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力性質(zhì)產(chǎn)生影響的有重力、慣性力、彈性恢復(fù)力及其他外作用力，它們相應(yīng)的作用力比尺如下

重力：F/Fm=(ρ/ρm)·λ3

(6)

(7)

彈性恢復(fù)力：F/Fm=(E/Em)·λ2

(8)

式中：E為材料彈性模量。

其他作用力，令其比尺為P/Pm，則：

F/Fm=P/Pm

(9)

由式(5)～(9)得：

(E/Em)·λ2=P/Pm=λF

(10)

可以發(fā)現(xiàn)：相似條件1、相似條件2、相似條件3分別為我們提供了三個(gè)相互獨(dú)立的比尺λ、λρ、及λt，而相似條件4則限制了這三個(gè)比尺的關(guān)系。在相似模型設(shè)計(jì)時(shí)，要使原型與模型間各比尺滿足式(10)幾乎是不可能的，我們只能根據(jù)試驗(yàn)?zāi)康募耙?，近似或部分地滿足式(10)的要求。

1.2 彈性力相似律

彈性結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程如下

(11)

式中：M、C、K分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼及剛度矩陣；F(t)為外作用力；u為位移。

式(11)表明，影響結(jié)構(gòu)振動(dòng)的主要作用力為慣性力、阻尼力與彈性恢復(fù)力。在研究結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性時(shí)，可主要保持慣性力與彈性恢復(fù)力相似，據(jù)式(7)、式(8)、式(10)可推出

(12)

整理得

(13)

當(dāng)研究結(jié)構(gòu)在彈性階段的動(dòng)力響應(yīng)時(shí)，還應(yīng)保持作用力F的相似，由式(10)得：

λF=F/Fm=(E/Em)·λ2

(14)

此外，支座剛度比尺λK可由作用力比尺λF與位移比尺λu表示，即：

λK=(F/u)/(Fm/um)=λF/λu

(15)

式中：u為位移，其量綱與幾何尺寸量綱相同，故其比尺λu與幾何比尺λ相同。

由此可見(jiàn)，當(dāng)以彈性力相似律指導(dǎo)相似模型設(shè)計(jì)時(shí)，材料的彈模比尺λE、密度比尺λρ和幾何比尺λ是相互獨(dú)立的，可供我們選擇，在此基礎(chǔ)上可導(dǎo)出其他各相關(guān)物理量的比尺。由于不用考慮模型材料問(wèn)題，這將使得相似模型的制作更加便攜，并降低試驗(yàn)成本。

2 橋梁相似模型設(shè)計(jì)

簡(jiǎn)支箱梁原型橋長(zhǎng)32 m，采用C50混凝土材料澆筑，其計(jì)算跨徑31.40 m，橋面寬12.00 m，梁高3.05 m，箱梁橫截面尺寸如圖1所示。C50混凝土[12]材料彈性模量E=34.5 GPa，密度ρ=2 500 kg/m3，橋梁支座剛度K=3.38×109N/m。

圖1 箱梁橫截面幾何尺寸(mm)

模型橋梁各幾何尺寸均為原型橋梁的1/10，澆筑材料采用H60—Ⅲ型灌漿料，該型號(hào)灌漿料具有早強(qiáng)高強(qiáng)、自流動(dòng)性好、無(wú)需振搗等特點(diǎn)，能較好地滿足縮小尺寸模型橋梁的材料要求，澆筑的箱梁橋相似模型如圖2所示。

圖2 箱梁橋相似模型

本文采用應(yīng)變片法測(cè)灌漿料的彈性模量，如圖3所示。萬(wàn)能壓力機(jī)對(duì)3組灌漿料試塊施加壓力，應(yīng)變信號(hào)采集儀采集應(yīng)變值，依據(jù)胡克定律得到比例極限內(nèi)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，材料的彈性模量即可依據(jù)此關(guān)系得出。試驗(yàn)得到該灌漿料平均彈性模量Em=30 GPa。對(duì)12組灌漿料試塊進(jìn)行稱重，并測(cè)量試塊體積，再確定各試塊的密度值，最終得到該灌漿料平均密度ρm=2 203 kg/m3。

1-壓力機(jī)；2-試塊；3-應(yīng)變片；4-底座；5-導(dǎo)線

依據(jù)彈性力相似律，在已知原型與模型材料的彈模比尺λE、密度比尺λρ和幾何比尺λ后，可導(dǎo)出其他各相關(guān)物理量的相似比尺，模型試驗(yàn)各比尺，如表1所示。

表1 模型試驗(yàn)相似比尺

3 有限元數(shù)值分析

3.1 模態(tài)分析

利用有限元軟件分別建立原型和幾何縮尺箱梁的有限元模型，兩者梁體均采用solid45單元模擬，材料參數(shù)于上文給出，箱梁有限元模型，如圖4所示。在無(wú)約束條件下分別對(duì)原型箱梁以及幾何縮尺箱梁進(jìn)行模態(tài)分析，選取兩者前5階自由模態(tài)頻率比尺校驗(yàn)是否滿足上文推導(dǎo)得出的頻率相似比尺，結(jié)果列于表2。其中，誤差=(模態(tài)頻率比尺-推導(dǎo)頻率比尺)/模態(tài)頻率比尺；模態(tài)頻率比尺=原型梁頻率/模型梁頻率。

圖4 箱梁有限元模型

表2 原型梁與模型梁各階頻率比尺校驗(yàn)

從表2可知，模態(tài)分析得到的原型梁與模型梁自由模態(tài)頻率比尺與推導(dǎo)得到的頻率比尺相差極其微小，表明頻率比尺計(jì)算結(jié)果正確。

3.2 瞬態(tài)分析

本文分別對(duì)原型橋與模型橋施加簡(jiǎn)諧荷載，分析在該種載荷下橋梁結(jié)構(gòu)的位移、速度和加速度響應(yīng)，從而確定原型橋與模型橋各物理量比尺。定義模型橋作用荷載幅值為40 N，頻率為10 Hz，作用時(shí)間為5 s，步長(zhǎng)為0.002 s。依據(jù)上文導(dǎo)出的相似比尺，可得原型橋作用荷載幅值為4 600 N，頻率為1.007 Hz，作用時(shí)間為49.67 s，步長(zhǎng)為0.019 s。原型橋與模型橋外作用力如下：

F=4 600sin(2.014πt)

(16)

Fm=40sin(20πt)

(17)

為得到橋梁較全面的振動(dòng)響應(yīng)，選取橋梁支座橫斷面A、1/4橫斷面B以及跨中橫斷面C為特征斷面，在每個(gè)斷面翼板、頂板、腹板和底板處共選取6個(gè)點(diǎn)位作為特征點(diǎn)，考察總計(jì)18個(gè)特征點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)情況。以跨中截面C為例，C1表示跨中截面1號(hào)特征點(diǎn)，加載點(diǎn)位于跨中截面翼板中點(diǎn)，如圖5所示。

圖5 跨中截面各特征點(diǎn)

在簡(jiǎn)諧荷載作用下，各特征點(diǎn)均作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，對(duì)原型橋與模型橋所有特征點(diǎn)位移、速度和加速度的幅值進(jìn)行分析，得到位移比尺、速度比尺和加速度比尺，并與推導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖6所示。

從圖6可知：① 圖中各特征點(diǎn)位移比尺集中在10.015～10.061，其中C1點(diǎn)位移比尺為10.061，與理論位移比尺相差最大，但兩者誤差僅為0.61%；② 圖中各特征點(diǎn)速度比尺集中在1.012～1.014，其中B1點(diǎn)速度比尺與理論速度比尺相差最大為1.014，兩者誤差為0.69%；③ 圖中各特征點(diǎn)加速度比尺集中在102.274×10-3～102.709×10-3，其中C1點(diǎn)加速度比尺與理論加速度比尺相差最大為102.709×10-3，兩者誤差為1.34%；理論推導(dǎo)得出的位移、速度和加速度比尺均小于數(shù)值計(jì)算結(jié)果，這是因?yàn)閺椥粤ο嗨坡芍豢紤]了慣性力與彈性恢復(fù)力相似，而忽略了其他作用力的影響，但從兩者誤差來(lái)看，這對(duì)結(jié)果的影響不大，理論推導(dǎo)得出的位移、速度和加速度比尺與數(shù)值計(jì)算結(jié)果基本吻合。

(a)位移比尺

(b)速度比尺

(c)加速度比尺

4 試驗(yàn)研究

試驗(yàn)研究的目的是驗(yàn)證橋梁實(shí)際相似模型與有限元相似模型是否具有一致性。若兩者一致性較好，即相同條件下兩者各物理量吻合，則說(shuō)明采用彈性力相似律指導(dǎo)設(shè)計(jì)橋梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)相似模型可行，制作的相似模型上所呈現(xiàn)的現(xiàn)象與規(guī)律可以通過(guò)相似比尺關(guān)系推演到原型橋梁上。本文對(duì)澆筑的簡(jiǎn)支箱梁橋模型進(jìn)行自由模態(tài)測(cè)試，并采集在簡(jiǎn)諧荷載作用下橋梁的振動(dòng)加速度，最后將實(shí)測(cè)結(jié)果與有限元分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

4.1 自由模態(tài)測(cè)試

采用LMS Test. Lab軟件的MIMO FRF Testing模塊測(cè)定相似模型的模態(tài)。該模塊內(nèi)置隨機(jī)信號(hào)、正弦信號(hào)等多種信號(hào)源，測(cè)試時(shí)輸出猝發(fā)隨機(jī)信號(hào)，信號(hào)經(jīng)功率放大器放大，再輸出至激振器，激振器將信號(hào)以力的形式作用在結(jié)構(gòu)上形成激勵(lì)，信號(hào)采集儀通過(guò)傳感器采集激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)信號(hào)與力信號(hào)，采集的信號(hào)經(jīng)過(guò)軟件實(shí)時(shí)處理形成頻響函數(shù)，借助軟件內(nèi)置的LMS Test. Lab PolyMAX模態(tài)參數(shù)估計(jì)算法，對(duì)頻響函數(shù)進(jìn)行分析處理即可確定結(jié)構(gòu)的模態(tài)，模態(tài)測(cè)試流程，如圖7所示。

圖7 模態(tài)測(cè)試流程

試驗(yàn)前通過(guò)預(yù)實(shí)驗(yàn)分析確定了一組較為理想的測(cè)點(diǎn)與激振點(diǎn)布置方案：沿箱梁長(zhǎng)度方向每隔0.4 m選取一個(gè)斷面，每個(gè)斷面布置8個(gè)拾振點(diǎn)，全梁共計(jì)72個(gè)拾振點(diǎn)；以箱梁第一個(gè)斷面為例，其拾振點(diǎn)與激振點(diǎn)布置，如圖8所示。試驗(yàn)時(shí)采用自由懸置方式(見(jiàn)圖9)進(jìn)行垂向激振、三向拾振測(cè)定模態(tài)。

圖8 拾振點(diǎn)與激振點(diǎn)布置

圖9 箱梁模態(tài)試驗(yàn)自由懸置

所有測(cè)點(diǎn)采集的加速度信號(hào)經(jīng)過(guò)處理形成頻響函數(shù)，模態(tài)參數(shù)估計(jì)算法對(duì)這些頻響函數(shù)進(jìn)行處理與模態(tài)識(shí)別，圖10為模態(tài)識(shí)別后的穩(wěn)態(tài)圖：圖中“o”表示極點(diǎn)不穩(wěn)定，“v”表示極點(diǎn)向量的在公差范圍內(nèi)穩(wěn)定，“s”表示極點(diǎn)的頻率、阻尼、向量在公差范圍內(nèi)都穩(wěn)定。如果在穩(wěn)態(tài)圖的某一縱軸上出現(xiàn)的“s”越多，則說(shuō)明該縱軸對(duì)應(yīng)的頻率越可能是模態(tài)頻率。

在0～400 Hz的頻率范圍內(nèi)共識(shí)別6階模態(tài)，其模態(tài)置信度矩陣，如表3所示。圖11為對(duì)應(yīng)的柱狀圖。

圖10 模態(tài)識(shí)別穩(wěn)態(tài)圖

%

圖11 模態(tài)置信度矩陣柱狀圖

由表3及圖11可知：模態(tài)置信度矩陣非對(duì)角元最大值為11.913%，其次為9.639%，其余均<5%；矩陣對(duì)角元值均為100%。這表明所識(shí)別的各階模態(tài)具有較好的獨(dú)立性。

選取前5階有限元模態(tài)分析結(jié)果與模型橋梁自由模態(tài)測(cè)試結(jié)果與進(jìn)行對(duì)比，列于表4，圖12給出前3階振型對(duì)比，其中左側(cè)為有限元模態(tài)分析振型，右側(cè)為實(shí)測(cè)模態(tài)振型。

由表4及圖12可知：前3階模型橋梁自由模態(tài)測(cè)試結(jié)果與有限元模態(tài)分析結(jié)果吻合較好。但從第4階開(kāi)始出現(xiàn)較大的差異：測(cè)試未能識(shí)別出第4階模態(tài)；第5階模態(tài)頻率測(cè)試結(jié)果與有限元分析結(jié)果誤差達(dá)到8.31%，相差較大。出現(xiàn)模態(tài)未識(shí)別現(xiàn)象的原因可能是：① 激振力的頻率范圍沒(méi)有包含該階模態(tài)頻率(289.988 Hz)和與之相近的頻率，從而導(dǎo)致測(cè)試過(guò)程中該階模態(tài)未被激起；② 本文只設(shè)置了一個(gè)激振點(diǎn)，激振點(diǎn)設(shè)置較少；③ 測(cè)試環(huán)境與有限元理想化的環(huán)境存在差異，且模型制作和試驗(yàn)操作具有誤差。然而，從前3階模態(tài)測(cè)試結(jié)果來(lái)看，箱梁實(shí)際相似模型與有限元箱梁模型還是具有較好的一致性。

表4 自由模態(tài)頻率對(duì)比

4.2 振動(dòng)加速度測(cè)試

利用自由模態(tài)測(cè)試系統(tǒng)采集簡(jiǎn)諧荷載(式(17))作用下橋梁1/4斷面B各特征點(diǎn)的振動(dòng)加速度，加載點(diǎn)和測(cè)點(diǎn)布置與上文有限元瞬態(tài)分析時(shí)一致。

由于測(cè)試設(shè)備產(chǎn)生相對(duì)較大的噪聲，實(shí)測(cè)加速度都含有無(wú)用的噪聲信號(hào)，本文首先利用小波去噪法[13]對(duì)原始加速度進(jìn)行去噪處理，之后將其與有限元瞬態(tài)分析的得到的加速度時(shí)程數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為頻域數(shù)據(jù)，再對(duì)兩者進(jìn)行對(duì)比分析。圖13給出B3測(cè)點(diǎn)的加速度處理。

(a)原始加速度時(shí)程曲線

(b)去噪后加速度時(shí)程曲線

(c)有限元分析加速度時(shí)程曲線

圖13B3測(cè)點(diǎn)加速度時(shí)程曲線

Fig.13 The acceleration versus time data ofB3

從圖13可知，去噪后的B3點(diǎn)加速度時(shí)程曲線(見(jiàn)圖13(b))與有限元瞬態(tài)分析得到的加速度時(shí)程曲線(見(jiàn)圖13(c))大致相同。有限元瞬態(tài)分析得到的加速度頻域曲線(見(jiàn)圖13(d))與去噪后實(shí)測(cè)加速度頻域曲線(見(jiàn)圖13(e))峰值頻率基本一致，但在線形上還存在差異，這主要是因?yàn)槿ピ敕椒ú⑽磳⑺袩o(wú)用噪聲信號(hào)去除，才導(dǎo)致頻域曲線并不光滑。選取去噪后各測(cè)點(diǎn)加速度頻域幅值與瞬態(tài)分析加速度頻域幅值，如表5所示。

由表5可知，越靠近加載點(diǎn)加速度越大，靠近加載點(diǎn)的翼板測(cè)點(diǎn)B3加速度最大，遠(yuǎn)離加載點(diǎn)的腹板測(cè)點(diǎn)B5加速度最小，實(shí)測(cè)加速度與瞬態(tài)分析得到的加速度均符合這一規(guī)律；兩加速度頻域幅值相差均<0.4×10-3m/s2。

表5 加速度幅值對(duì)比

由此可見(jiàn)，各測(cè)點(diǎn)實(shí)測(cè)加速度與瞬態(tài)分析得到的加速度雖然具有差異，但兩者基本規(guī)律一致。從兩者頻域分析結(jié)果來(lái)看，該差異主要體現(xiàn)在外部環(huán)境對(duì)振動(dòng)加速度實(shí)測(cè)的干擾上。

5 結(jié) 論

(1)當(dāng)以彈性力相似律指導(dǎo)相似模型設(shè)計(jì)時(shí)，由于不用考慮模型材料問(wèn)題，這將使得相似模型的制作更加便攜，并降低試驗(yàn)成本。

(2)模態(tài)分析結(jié)果表明頻率比尺推導(dǎo)結(jié)果正確，瞬態(tài)分析結(jié)果顯示位移、速度加速度比尺推導(dǎo)結(jié)果正確；試驗(yàn)研究驗(yàn)證了實(shí)際相似模型與有限元相似模型具有一致性。

(3)以研究橋梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)為目的的相似模型，可以用彈性力相似律來(lái)指導(dǎo)模型的設(shè)計(jì)與制作，且相似模型所呈現(xiàn)的現(xiàn)象及規(guī)律依靠相似關(guān)系能夠真實(shí)可靠的反演到原型上。由于本文只對(duì)簡(jiǎn)支箱梁橋進(jìn)行系統(tǒng)論證，故該結(jié)論是否對(duì)更復(fù)雜的橋梁結(jié)構(gòu)適用，仍需作進(jìn)一步的研究。

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