張澤華, 尹文生

(1.清華大學(xué) IC裝備實驗室，北京 100084； 2.清華大學(xué) 摩擦學(xué)國家重點實驗室，北京 100084)

振動是影響精密儀器性能的重要因素，因此隔振技術(shù)是精密制造、航空航天和IC裝備等行業(yè)中的重要技術(shù)[1-2]。隔振系統(tǒng)一般分為主動、被動兩種，隔振元件在主、被動隔振系統(tǒng)中都是核心工作部件，其中金屬彈簧、空氣彈簧、橡膠棒等[3]是應(yīng)用比較廣泛的隔振元件?？諝鈴椈上啾扔谄渌粽裨哂胸?fù)載能力大、剛度可調(diào)等優(yōu)良特性[4]，長期被應(yīng)用在汽車、精密隔振等領(lǐng)域。為了優(yōu)化其隔振性能，眾多學(xué)者從不同方面對空氣彈簧理論模型的構(gòu)建進(jìn)行了研究。

空氣彈簧的垂向剛度主要取決于腔室內(nèi)氣體剛度和橡膠膜片剛度。早期剛度模型的建立，主要采用對腔室內(nèi)氣體建立理論模型，再用實驗結(jié)果修正橡膠膜片剛度的方法。如Shearer等[5]最早提出的空氣彈簧的理論模型。此后，Erin等[6]認(rèn)為腔室內(nèi)氣壓不變，并假設(shè)空氣彈簧在平衡位置附近的振動是線性的，從而將非線性的空氣彈簧等效為線性模型，進(jìn)而得到了空氣彈簧的地基輸入與負(fù)載響應(yīng)的傳遞函數(shù)。Lee等[7]假設(shè)腔室內(nèi)氣體為理想氣體，滿足絕熱過程，結(jié)合工程熱力學(xué)和剛體動力學(xué)，給出了空氣彈簧包含垂向剛度與阻尼的復(fù)合非線性模型。

另一方面，對于橡膠材料的研究經(jīng)歷了數(shù)十年的發(fā)展，出現(xiàn)了很多不同的本構(gòu)模型，其中典型的模型有Mooney-Rivlin模型、Yeoh模型等。Mooney-Rivlin模型[8]是Mooney將物質(zhì)相變理論和大量實驗結(jié)果相結(jié)合得出的一種不可壓縮、各向同性的超彈性材料有限變形理論，可以較好地擬合橡膠材料的應(yīng)變能，但不適用于大應(yīng)變時會硬化的橡膠材料。而Yeoh模型[9]通過在應(yīng)變能函數(shù)中添加高階項的方法，使得在大應(yīng)變下計算出的應(yīng)變能函數(shù)能較好地吻合實驗結(jié)果。

近年來隨著對材料要求的不斷提高，復(fù)合橡膠材料的使用越來越普遍。通常在橡膠材料中添加具有高強(qiáng)度的有機(jī)高分子材料作為簾線層，使得復(fù)合橡膠材料具有更優(yōu)良的特性。針對復(fù)合材料， 國內(nèi)外有許多研究者建立了多種理論預(yù)測模型及實驗研究方法，如Mori-Tanaka方法[10]，Hashin等[11]的上下限法，以及細(xì)觀的剪切滯后模型[12]和Eshelby[13]的等效夾雜理論等，推動了復(fù)合材料力學(xué)性能的研究進(jìn)程。

本文針對雙腔室空氣彈簧建模中缺少精確的橡膠膜片剛度模型的問題，提出一種橡膠膜片剛度的理論建模方法。將橡膠膜片劃分成多個部分，首先利用復(fù)合材料力學(xué)理論對多個規(guī)則形狀建模，得到每個部分的彈性模量和剛度，再基于橡膠膜片各部分的剛度關(guān)系推導(dǎo)出膜片整體剛度模型，最后通過搭建的實驗平臺對理論模型進(jìn)行驗證。

1 雙腔室空氣彈簧整體剛度的分析

1.1 氣體力學(xué)模型分析

精密隔振中常用的空氣彈簧是雙腔室空氣彈簧，如圖1所示。其特有的節(jié)流孔結(jié)構(gòu)可以利用空氣在孔中的摩擦耗散掉能量，從而獲得相對較大的阻尼。

圖1 雙腔室空氣彈簧的結(jié)構(gòu)

整個空氣彈簧主要由充氣之后的氣體腔室和橡膠薄膜自身產(chǎn)生剛度。關(guān)于充氣氣體在腔室中產(chǎn)生的剛度，Erin曾經(jīng)做過比較深入的研究，并且計算出只考慮空氣垂向剛度時，雙腔室空氣彈簧地面輸入和頂部負(fù)載輸出響應(yīng)的傳遞函數(shù)滿足

(1)

式中：m為空氣彈簧上端負(fù)載質(zhì)量；Pa為空氣彈簧腔室內(nèi)的氣壓；Ap為空氣彈簧的有效面積；Vt，Vb分別為空氣彈簧上、下腔室的體積；Cr為節(jié)流孔中氣體的流阻常數(shù)；n為多變指數(shù)。

并且Erin進(jìn)一步地針對雙腔室空氣彈簧進(jìn)行計算得到了系統(tǒng)由氣體產(chǎn)生的固有頻率fa和由氣體產(chǎn)生的垂向剛度的關(guān)系

(2)

1.2 橡膠膜力學(xué)模型分析

為了保證腔室氣體產(chǎn)生足夠的剛度，同時能維持負(fù)載在垂直方向振動而不產(chǎn)生水平方向上的位移，雙腔室空氣彈簧上腔室的橡膠膜片被設(shè)計成拱形，如圖2所示。

圖2 橡膠膜片

中間凹陷下去的部分主要用來承擔(dān)負(fù)載壓力，因此在垂直方向上提供剛度的主要是兩側(cè)的環(huán)形立壁和頂端的環(huán)狀拱形，據(jù)此將橡膠膜片分解成三部分，如圖3所示。

圖3 橡膠膜片截面分解

計算橡膠膜片的垂向剛度，采用先分解后組合的總體思路。分別求出1,2,3部分的剛度K1，K2，K3，之后可以通過剛度模型的串并聯(lián)關(guān)系，如圖4所示。

圖4 剛度串并聯(lián)關(guān)系

橡膠膜片的垂向總剛度滿足

(3)

空氣彈簧腔室內(nèi)的氣體在第1、3部分立壁處不產(chǎn)生向上的剛度，氣體的剛度作用在第2部分上，在本文中使用的空氣彈簧正常工作時，空氣在其第2部分能產(chǎn)生約160 N的垂向力，遠(yuǎn)大于薄膜在第2部分微小形變時在垂向上能產(chǎn)生的力。 所以認(rèn)為第2部分被剛性連接。

橡膠膜片垂向剛度近似滿足

Kr=K1+K3

(4)

2 各向異性橡膠膜片剛度的推導(dǎo)

本文中用到的雙腔室空氣彈簧是主要應(yīng)用于精密儀器隔振臺中的空氣彈簧，其基本體積參數(shù)如表1所示。

表1 空氣彈簧膜片體積參數(shù)

首先將橡膠膜片的最外層即第3部分環(huán)狀立壁單獨計算。

為了得到環(huán)形立壁在垂直方向上的數(shù)值解，采用有限元的計算思想，研究環(huán)形立壁上每個微元的力學(xué)特性，利用微元切向的應(yīng)變約束得到彈性模量的表達(dá)式，最后通過積分得到立壁的總體剛度。立壁的總截面積是A3，立壁受到第2部分傳遞的合力是F3，如圖5所示。

圖5 環(huán)狀立壁

從立壁中截取一部分微元來研究材料的剛度，如圖6所示。

圖6 外側(cè)立壁微元

微元受到的力為dF3；截面積dA3；高度L3；微元相對立壁圓心的張角是dα。

在雙腔室空氣彈簧中，為了增強(qiáng)橡膠膜片的剛度，增長使用壽命和提高膜片性能，我們采用了加入簾線層的各向異性復(fù)合橡膠材料。下面對單層簾線層的各向異性橡膠材料做剛度理論值的推導(dǎo)。

假設(shè)簾線層與水平方向的夾角為θ，如圖7所示。

圖7 微元簾線層夾角

分別令1，2方向為簾線層主方向，x，y方向為空間坐標(biāo)系中的水平、豎直方向，兩個坐標(biāo)系之間的關(guān)系，如圖8所示。

圖8 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換示意圖

θ為從x軸轉(zhuǎn)向1軸的角度，以逆時針為正。用1-2(主方向)上的坐標(biāo)中的應(yīng)力分量表示x-y坐標(biāo)中應(yīng)力分量的轉(zhuǎn)換方程如下

(5)

令

(6)

式中：σx,σy,σxy分別為x,y方向的正應(yīng)力和剪應(yīng)力；σ1,σ2,σ12分別為簾線層主方向1, 2的正應(yīng)力和剪應(yīng)力；T為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣；則由式(5)可以得到兩坐標(biāo)系下應(yīng)力分量的關(guān)系

(7)

也即

(8)

同樣地，對于微元在1-2坐標(biāo)系和x-y坐標(biāo)系下的應(yīng)變分量的關(guān)系，我們可以類似地得出應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式

(9)

(10)

式中：εx,εy,γxy分別是x,y方向的應(yīng)變和剪切角；ε1,ε2,γ12分別為簾線層主方向1, 2方向的應(yīng)變和剪切角。

我們再用應(yīng)力表示應(yīng)變，在各向異性材料的主方向上，材料滿足如下關(guān)系

σ

(11)

式中：S為柔度矩陣，其中各項滿足

式中：E1，E2，G12為材料主方向的楊氏模量和剪切模量；ν12,ν21為兩方向的泊松比。同樣我們也可以用剛度矩陣Q表示主方向上應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系如下

(12)

下一步考慮坐標(biāo)轉(zhuǎn)換之后，受力方向與復(fù)合材料主方向夾角為θ時，應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系。

由式(8)～式(12)可以得出偏軸應(yīng)力-應(yīng)變的關(guān)系

(13)

進(jìn)一步，我們可以反向推導(dǎo)出來應(yīng)變-應(yīng)力的關(guān)系如式(14)所示

(14)

即

(15)

式中：Ex，Ey，Gxy為x,y方向的楊氏模量和剪切模量；νxy,νyx為兩方向的泊松比。η為交叉彈性系數(shù)，定義如下

我踩著馬蘭家院墻外的柴垛向里面看去。壞了壞了，真是出大事了。馬蘭的院子里站了好幾個人，都在那圍著李老黑看。李老黑這會正光著上半身跪在地上，就像那晚我在李金枝床上一樣，渾身篩糠，腦袋使勁向下勾著，平日里那股威風(fēng)勁不知道跑哪去了。有個人還在訓(xùn)李老黑說，我們是搶劫，你狗日的就是強(qiáng)奸！隨手揍了李老黑一個響亮的耳刮子。李老黑說，還沒辦成呢，你們就來了。那人又給了李老黑一耳刮子，狗日的還敢還嘴，沒成就是強(qiáng)奸未遂，那也是犯法！

從圖1可知，橡膠膜片的外層被金屬外殼約束，我們認(rèn)為橡膠膜片在徑向和切向的應(yīng)變?yōu)?。因此在滿足

εx=0，γxy=0

的條件下，將式(15)展開可以得到

(16)

上述方程組有3個方程和4個未知數(shù)。據(jù)此可以整理得出垂直方向上應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系如下

(17)

根據(jù)楊氏模量E的定義，我們可以得到外層直立壁在垂直方向上的楊氏模量

(18)

由此我們可以得到橡膠膜片第3部分在豎直方向上的剛度表達(dá)式

(19)

式中：A3為外側(cè)立壁的總截面積，L3為外側(cè)立壁的高度。

同樣的道理我們可以得到內(nèi)側(cè)立壁的剛度K1

(20)

式中：E11為內(nèi)層直立壁的楊氏模量，計算方法與E33類似。綜合式(4)、式(19)、式(20)我們可以得到雙腔室空氣彈簧各向異性橡膠膜片的剛度表達(dá)式

(21)

3 數(shù)學(xué)仿真和試驗驗證

3.1 試驗設(shè)備簡介

針對前幾部分對空氣彈簧橡膠膜片剛度的推導(dǎo)，我們用實驗結(jié)果進(jìn)行驗證。為此搭建了針對單個空氣彈簧的可變負(fù)載實驗臺，如圖9所示，在可變負(fù)載的四個面分別用四個氣浮墊來約束彈簧在水平方向上的位移和扭轉(zhuǎn)。

圖9 單個空氣彈簧隔振性能試驗臺

試驗過程中，我們用激振器在試驗臺底板施加隨機(jī)信號激勵，同時采集空氣彈簧底部信號和經(jīng)過空氣彈簧隔振后上部負(fù)載的信號。得到空氣彈簧在該負(fù)載下的傳遞函數(shù)曲線，從而確定試驗中空氣彈簧的剛度，與解析理論值進(jìn)行比較。

3.2 試驗結(jié)果和理論結(jié)果的比較

試驗中用到的空氣彈簧設(shè)計負(fù)載<35 kg，超出負(fù)載時空氣彈簧可能會由于內(nèi)部充氣氣壓過大而出現(xiàn)剛度過大的現(xiàn)象，從而影響隔振性能。橡膠膜片和空氣彈簧的具體尺寸，如表2所示。

表2 空氣彈簧參數(shù)

通過試驗我們得出空氣彈簧在負(fù)載m=10 kg，內(nèi)壓Pa=0.126 3 MPa的情況下，其傳遞函數(shù)曲線，如圖10所示。

圖10 負(fù)載10 kg空氣彈簧傳遞率曲線

可以看到隔振系統(tǒng)的固有頻率f=7.36 Hz，空氣彈簧的垂向剛度

K=mω2=4mπ2f2=2.138 5×104N/m

將橡膠膜片的參數(shù)代入式(1)，我們根據(jù)Erin只考慮空氣彈簧腔室內(nèi)氣體的算法，可以得到傳遞函數(shù)，如圖11所示。

圖11 Erin模型傳遞率曲線

由圖11可知，只考慮氣體剛度的固有頻率是fa=1.19 Hz。進(jìn)一步可以確定空氣彈簧內(nèi)的氣體在垂直方向產(chǎn)生的剛度

.559×103N/m

同時可以由已知參數(shù)和式(21)計算出橡膠膜片產(chǎn)生的剛度

Kr=3.16×104N/m

結(jié)合空氣產(chǎn)生的垂向剛度，理論上空氣彈簧垂直方向上的總剛度應(yīng)該有

Ktotal=Ka+Kr=3.215 9×104N/m

我們令空氣彈簧整體所有剛度為K，令所有阻尼總和為C，將整個空氣彈簧看成二階振動模型，傳遞函數(shù)滿足

(22)

用該函數(shù)擬合試驗數(shù)據(jù)可得空氣彈簧總體阻尼C=56.4 N·s/m。由于本文只關(guān)注空氣彈簧的剛度，阻尼大小不影響剛度值和固有頻率，只對幅值大小和帶寬有影響，所以我們利用試驗得到的阻尼C和計算得到的剛度Ktotal，用二階傳遞函數(shù)式(22)畫出空氣彈簧傳遞率曲線，如圖12所示。

圖12 負(fù)載10 kg空氣彈簧傳遞率曲線計算結(jié)果

同時分別將未考慮橡膠膜片剛度、考慮橡膠膜片剛度和試驗數(shù)據(jù)繪制在一張圖上。如圖13，f為試驗獲得的固有頻率，fa為只考慮空氣垂向剛度下所得的固有頻率，ftotal為考慮橡膠膜片垂向剛度后的固有頻率。

圖13 10 kg負(fù)載下試驗結(jié)果和模型計算值比較

從圖10、圖11、圖12和圖13的對比中可知，通過Erin只考慮空氣剛度推導(dǎo)出的垂向剛度表達(dá)式和實際中測試得出的結(jié)果相差較遠(yuǎn)，在使用了本文提出的橡膠薄膜剛度計算方法后，與試驗結(jié)果的符合程度明顯提高，固有頻率的誤差縮小到了22.83%。

改變負(fù)載質(zhì)量，分別在負(fù)載質(zhì)量m=20 kg，腔室內(nèi)氣壓Pa=0.191 3 MPa；m=30 kg，腔室內(nèi)氣壓Pa=0.231 3 MPa的工況下重復(fù)試驗，將所得傳遞函數(shù)畫在同一圖上，如圖14和15所示。

從圖14和圖15可知，在負(fù)載20 kg，30 kg的情況下，理論計算與試驗得到的固有頻率的相對誤差都<10%，由此可知，本文提出的計算方法在該空氣彈簧的負(fù)載范圍內(nèi)具有普適性。

圖14 20 kg負(fù)載下試驗結(jié)果與理論計算值比較

圖15 30 kg負(fù)載下試驗結(jié)果與理論計算值比較

4 結(jié) 論

(1) 本文建立了相對精確的雙腔室空氣彈簧的剛度模型，在建模的過程中，區(qū)別于以往工作只考慮氣體動力學(xué)、熱力學(xué)和運動學(xué)的方法，著重考慮了橡膠膜片的剛度模型。

(2) 在對橡膠膜片的建模中，考慮到了實際運用材料的各向異性，由推導(dǎo)公式可以看出橡膠簾線層材料、角度等因素都會對橡膠膜片的剛度產(chǎn)生影響。

(3) 搭建試驗臺測試單個雙腔室空氣彈簧的隔振性能，獲得傳遞率曲線，與理論計算結(jié)果比較可以看出，試驗結(jié)果和理論計算值十分接近。所得到的空氣彈簧剛度模型對雙腔室空氣彈簧的設(shè)計有很好的指導(dǎo)和參考意義。

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