錢 承 胡紅生

嘉興學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，嘉興，314001

0 引言

壓電作動(dòng)器以壓電智能材料為主要材料，具有結(jié)構(gòu)緊湊、作動(dòng)力大、剛性高、位移分辨率高、頻率響應(yīng)快、控制驅(qū)動(dòng)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，目前壓電微位移器件已得到廣泛的研究和應(yīng)用[1-3]。但壓電材料同時(shí)也存在著固有缺陷，如壓電陶瓷材料的遲滯特性、輸入輸出的非線性特性、蠕變特性等[4-5]。這些固有特性的存在使得壓電作動(dòng)器在實(shí)際應(yīng)用中重復(fù)性和控制精度降低，實(shí)時(shí)瞬態(tài)響應(yīng)也相應(yīng)變慢，這會(huì)使得壓電作動(dòng)器在工業(yè)應(yīng)用中的推廣具有一定難度。特別是壓電材料的遲滯特性，該特性使得控制變得十分困難。

目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者已對(duì)壓電材料的遲滯特性開(kāi)展了廣泛研究，取得了一定的成果并進(jìn)行了相關(guān)的應(yīng)用，主要涉及壓電材料遲滯模型的理論研究或采用智能算法來(lái)建立壓電非線性仿真模型以指導(dǎo)應(yīng)用。尤其在遲滯模型方面，截至目前已形成了多種常用模型，分別為Preisach模型[6-7]、Maxwell模型[8]、Dahl模型[9]、Bouc-Wen模型[10-11]等,其中，Preisach模型及其改進(jìn)形式已被廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)[12]基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法來(lái)構(gòu)建遲滯非線性模型，并進(jìn)行了補(bǔ)償控制，得到了很好的跟蹤控制性能。文獻(xiàn)[13]提出了基于模糊控制系統(tǒng)的建模方法，并通過(guò)所建立的逆模型進(jìn)行前饋遲滯補(bǔ)償控制，在頻率50 Hz和100 Hz下明顯減小了遲滯特性，且該建模方法簡(jiǎn)單,可應(yīng)用于實(shí)時(shí)在線建模。文獻(xiàn)[14]為取得壓電作動(dòng)器的跟蹤精度，在一階回轉(zhuǎn)曲線的基礎(chǔ)上采用了雙輸入的Preisach遲滯模型來(lái)預(yù)測(cè)耦合遲滯特性，通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)比單輸入的Preisach遲滯模型的控制情況，結(jié)果表明雙輸入的Preisach遲滯模型具有更好的性能。文獻(xiàn)[15]將壓電作動(dòng)器應(yīng)用于顯微操縱器，采用Preisach遲滯理論建立壓電作動(dòng)器的遲滯模型，并提出利用前饋非線性PID控制法結(jié)合Preisach遲滯補(bǔ)償法來(lái)控制定位精度，最終通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該機(jī)構(gòu)控制性能滿足設(shè)計(jì)要求。

對(duì)于Preisach遲滯理論的建模，其計(jì)算的難點(diǎn)為求取各個(gè)遲滯單元的加權(quán)系數(shù)。通過(guò)一系列的一階回轉(zhuǎn)曲線來(lái)求取遲滯單元加權(quán)系數(shù)的方法被證實(shí)為一種求解精度較高的方法，但該方法的缺點(diǎn)是需要通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲取大量的一階回轉(zhuǎn)曲線，要使所有的實(shí)驗(yàn)均達(dá)到很高的精度，則具有一定的難度。針對(duì)上述問(wèn)題，研究人員采用人工智能技術(shù)來(lái)計(jì)算遲滯單元加權(quán)系數(shù)[12,16-18]，通過(guò)測(cè)試一定量的一階回轉(zhuǎn)曲線，根據(jù)一階回轉(zhuǎn)曲線建立人工智能模型從而建立更詳細(xì)的遲滯模型，這將減少大量測(cè)試帶來(lái)的時(shí)間及誤差，但辨識(shí)精度、效率仍依賴于實(shí)驗(yàn)樣本，且模型參數(shù)隨外部輸入信號(hào)變化的自適應(yīng)性較差，擬合的數(shù)學(xué)曲線在實(shí)際工程應(yīng)用中無(wú)法精確模擬壓電遲滯特性，故誤差難以控制。

最小二乘支持向量機(jī)(least squares support vector machines，LS-SVM)將傳統(tǒng)支持向量機(jī)(SVM)中的不等式約束改成等式約束，是SVM的一種改進(jìn)形式。LS-SVM將二次規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性方程組求解問(wèn)題，提高了求解速度及收斂精度[19-20]?？紤]到LS-SVM的諸多優(yōu)點(diǎn)，本文基于Preisach離散遲滯模型，在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上得到壓電作動(dòng)器的一階回轉(zhuǎn)曲線，通過(guò)一階回轉(zhuǎn)曲線求取遲滯單元加權(quán)值并應(yīng)用LS-SVM法建立所需的遲滯模型，引入遺傳算法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)得到最精確的模型，最后通過(guò)仿真對(duì)比分析，驗(yàn)證了本文方法的可行性。

1 遲滯模型建立理論

1.1 Preisach遲滯模型理論

典型的Preisach遲滯模型[21-22]通過(guò)對(duì)遲滯因子的雙重積分來(lái)計(jì)算模型的輸出，其計(jì)算表達(dá)式如下：

f(t)=?α≤βμ(α,β)γα,β(u(t))dαdβ

(1)

式中，α、β分別為遲滯單元的下閾值和上閾值；μ(α,β)為遲滯單元的加權(quán)函數(shù)；u(t)為遲滯模型的輸入；γα, β(u(t))為遲滯單元的值。

遲滯單元計(jì)算原理如圖1所示。對(duì)于圖1所示的遲滯單元模型，也可將其表述在Preisach平面內(nèi)，該平面由α、β為橫縱坐標(biāo)且β≥α的三角形區(qū)域構(gòu)成，如圖2所示。

圖1 遲滯單元計(jì)算原理Fig.1 Calculation principle of hysteresis unit

圖2 遲滯計(jì)算模型的α-β平面Fig.2 α-β plane of hysteresis calculated model

由圖2可以看出，在三角形區(qū)域內(nèi)，加權(quán)函數(shù)μ(α,β)不為零。當(dāng)輸入u(t)增大或減小時(shí)會(huì)激活不同區(qū)域的遲滯單元或使激活的單元變?yōu)榉羌せ顮顟B(tài)，這就需要計(jì)算各個(gè)激活單元的加權(quán)函數(shù)μ(α,β)，然后根據(jù)這些加權(quán)函數(shù)求取最終的輸出。常用的方法為基于一階回轉(zhuǎn)曲線來(lái)確定加權(quán)函數(shù)，且一階回轉(zhuǎn)曲線越多，模型的準(zhǔn)確度就越高。該方法建立的遲滯模型為有限個(gè)遲滯單元的并聯(lián)形式，因此其離散遲滯模型的表達(dá)式如下：

(2)

其中，μn為n×n的矩陣，矩陣元素為分割后的壓電遲滯單元加權(quán)量，可通過(guò)一階回轉(zhuǎn)曲線實(shí)驗(yàn)獲取的數(shù)據(jù)得到；γi,j(t)為判斷矩陣，可判斷分割后的壓電遲滯單元是否激活，矩陣中元素是隨時(shí)間變化的。

相應(yīng)的離散遲滯模型如圖3所示。

圖3 離散遲滯模型并聯(lián)圖Fig.3 Parallel figure of discrete hysteresis model

為此，本文的研究?jī)?nèi)容主要圍繞如何利用有限的一階回轉(zhuǎn)曲線快速有效地確定離散模型單個(gè)遲滯單元的加權(quán)量。

1.2 最小二乘支持向量機(jī)理論

支持向量機(jī)的核心理論是通過(guò)核函數(shù)定義的非線性變換將n維樣本空間(x1,y1),(x2,y2), …(xl,yl)∈Rn,yi∈{+1,-1}(i=1,2,…,n)映射到一個(gè)高維特征空間，在此高維空間中尋找輸入量與輸出量之間的一種非線性關(guān)系。假設(shè)非線性映射為φ(xi)(i=1,2,…,n)，將n維樣本數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…，(xl,yl) ∈Rn映射到高維特征空間，根據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則，求解如下最優(yōu)化問(wèn)題：

(3)

式中，Re為經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)值；c為懲罰因子；εi為樣本誤差，也稱松弛變量；b為閾值；w為超平面的權(quán)值向量。

將式(3)的標(biāo)準(zhǔn)支持向量機(jī)最優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二次規(guī)劃問(wèn)題，利用核函數(shù)取代高維空間中的點(diǎn)積運(yùn)算，則可把式(3)轉(zhuǎn)化成LS-SVM最優(yōu)化問(wèn)題，優(yōu)化目標(biāo)損失函數(shù)為誤差εi的二次項(xiàng),其關(guān)系表達(dá)式如下：

(4)

為了求解該優(yōu)化問(wèn)題，將約束條件改為等式約束，引入拉格朗日算子ai(i=1，2,…,n)，構(gòu)造拉格朗日方程以求解此優(yōu)化問(wèn)題，即

(5)

要使目標(biāo)函數(shù)取得最小值，則要使拉格朗日方程中的變量w、εi、b、ai的偏導(dǎo)數(shù)均為0，即

(6)

通過(guò)求解該二次規(guī)劃問(wèn)題，可構(gòu)造函數(shù)如下：

(7)

(8)

式中，K(x,xi)為核函數(shù);σ為核參數(shù)。

基于該理論可以發(fā)現(xiàn)，LS-SVM法是處理非線性、小樣本的回歸預(yù)測(cè)計(jì)算方法。針對(duì)壓電遲滯模型建立的難點(diǎn)正好符合非線性、小樣本的特性，即可通過(guò)較少的一階回轉(zhuǎn)曲線來(lái)求解本文所需的遲滯單元加權(quán)系數(shù)。

2 壓電遲滯模型參數(shù)辨識(shí)

2.1 FORC曲線的獲取及初始加權(quán)函數(shù)的計(jì)算

為了將上述理論應(yīng)用于壓電遲滯模型的參數(shù)辨識(shí)，必須通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方式獲取壓電作動(dòng)器一定量的一階回轉(zhuǎn)曲線。壓電作動(dòng)器選用的型號(hào)為P-843.20(PI公司)，其主要參數(shù)如下：開(kāi)環(huán)輸出位移30 μm；閉環(huán)輸出位移30 μm；集成反饋傳感器為電阻應(yīng)變片式傳感器(strain gauge sensor，SGS)；開(kāi)環(huán)/閉環(huán)精度0.6/0.3 μm；靜態(tài)剛度27 N/μm；推力/抗拉能力800/300 N；電容3.0 μF。本文將壓電驅(qū)動(dòng)電壓范圍平均分成五等分，以20 V為間隔作為一階回轉(zhuǎn)曲線的各回轉(zhuǎn)電壓值(即對(duì)20 V、40 V、60 V、80 V、100 V這5個(gè)電壓值進(jìn)行回轉(zhuǎn))，如此便將離散遲滯模型式(2)中的n設(shè)為5，則相應(yīng)的遲滯單元有n(n+1)/2個(gè)，通過(guò)這些回轉(zhuǎn)曲線便能求出各個(gè)遲滯單元的加權(quán)量。

為使得到的一階回轉(zhuǎn)曲線數(shù)據(jù)準(zhǔn)確可靠，實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了10個(gè)循環(huán)測(cè)量，電壓加載步長(zhǎng)為1 V，為使得到的數(shù)據(jù)是壓電作動(dòng)器運(yùn)行在穩(wěn)定狀態(tài)下摒棄了前3次循環(huán)的數(shù)據(jù)，將后7個(gè)循環(huán)的數(shù)據(jù)進(jìn)行平均計(jì)算，得到一階回轉(zhuǎn)曲線如圖4所示。

圖4 一階回轉(zhuǎn)曲線Fig.4 First order reversed curves

根據(jù)該一階回轉(zhuǎn)曲線計(jì)算本文所需的初始加權(quán)值μ6：

(9)

該初始加權(quán)值是將遲滯模型在α-β平面內(nèi)劃分為15個(gè)遲滯單元計(jì)算所得，為了消除Preisach遲滯模型固有的遲滯特性，將該初始加權(quán)值分別除以相應(yīng)遲滯單元的面積，作為該遲滯單元的平均加權(quán)值：

(10)

將式(1)轉(zhuǎn)換為平均加權(quán)值和遲滯單元面積的乘積形式，即

(11)

2.2 基于LS-SVM遲滯模型建立

將LS-SVM理論應(yīng)用于遲滯模型，將上述劃分后相應(yīng)遲滯區(qū)域的形心在α-β平面內(nèi)的坐標(biāo)作為模型的輸入，計(jì)算所得的平均加權(quán)系數(shù)則為模型的輸出進(jìn)行訓(xùn)練。對(duì)于訓(xùn)練模型，選擇核函數(shù)為高斯徑向基核函數(shù)，而懲罰因子c和核參數(shù)σ的選取對(duì)訓(xùn)練模型準(zhǔn)確率具有較大的影響，因此必須在模型訓(xùn)練的過(guò)程中進(jìn)行尋優(yōu)。本文采用遺傳算法對(duì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，其步驟如下：①選定訓(xùn)練樣本和校驗(yàn)樣本，設(shè)定懲罰因子c和核參數(shù)σ的區(qū)間(0,100)和(0,10)，從而產(chǎn)生LS-SVM參數(shù)初始群體；②設(shè)定交叉概率為0.6，變異概率為0.2，群體規(guī)模為30，進(jìn)化代數(shù)為300；③進(jìn)行訓(xùn)練得出優(yōu)化后的懲罰因子c和核參數(shù)σ。

選定遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)：

(12)

式中，yi為期望輸出;f(xi)為實(shí)際輸出;k為一很小的正數(shù)，其作用是防止分母為零的情況出現(xiàn)，此處取值為10-3。

為了最優(yōu)化模型，選定評(píng)價(jià)指標(biāo)，定義誤差函數(shù)為

(13)

初始交叉概率和初始變異概率分別由下式確定：

(14)

(15)

式中，f′為交叉兩個(gè)體較大的適應(yīng)度函數(shù)值;f為個(gè)體對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)大小;favg為樣本的平均適應(yīng)度;fmax為樣本個(gè)體的最大適應(yīng)度。

仿真建模和計(jì)算均采用MATLAB軟件。圖5所示為初始參數(shù)下模型輸出與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差，可以看出，評(píng)價(jià)指標(biāo)函數(shù)的值較大，不能滿足模型計(jì)算要求。圖6所示為引入遺傳算法后經(jīng)過(guò)200步迭代后的誤差，可以看出，評(píng)價(jià)指標(biāo)函數(shù)值大幅度減小。圖7為在模型迭代穩(wěn)定后評(píng)價(jià)指標(biāo)函數(shù)圖，可以看出，優(yōu)化前后評(píng)價(jià)指標(biāo)函數(shù)的值大幅度減小。

圖5 初始參數(shù)樣本誤差Fig.5 Error under initial parameters

圖6 迭代200步后樣本誤差Fig.6 Error after 200 iterations

圖7 迭代穩(wěn)定后樣本誤差Fig.7 Error after stable iterations

經(jīng)過(guò)計(jì)算，最終確定了懲罰因子c=13.6和核參數(shù)σ=1.4。確定了遲滯訓(xùn)練模型的參數(shù)，并建立了最終的計(jì)算預(yù)測(cè)模型。

將α-β平面劃分為更多遲滯單元的組成形式，并將式(2)中的n設(shè)為20，即根據(jù)第一步建立的模型求取210個(gè)平均加權(quán)系數(shù)，即可通過(guò)較少的一階回轉(zhuǎn)曲線求取α-β平面內(nèi)較多的平均加權(quán)系數(shù)，并根據(jù)這些平均加權(quán)系數(shù)求取更精確的壓電作動(dòng)器的輸出。

通過(guò)上述兩個(gè)步驟的計(jì)算，可得到平均加權(quán)系數(shù)的三維系數(shù)圖，見(jiàn)圖8。

圖8 平均加權(quán)系數(shù)計(jì)算值Fig.8 Calculated value of average weighted coefficients

通過(guò)平均加權(quán)系數(shù)矩陣和被激活的遲滯單元的激活面積，并利用式(11)即可求得當(dāng)前壓電作動(dòng)器的輸出值。

3 遲滯模型的驗(yàn)證

為驗(yàn)證遲滯模型的準(zhǔn)確性，本文搭建了壓電作動(dòng)器遲滯實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，其主要組成部分包括壓電作動(dòng)器、壓電驅(qū)動(dòng)模塊、傳感檢測(cè)模塊及計(jì)算機(jī)監(jiān)測(cè)軟件，如圖9所示。其工作原理為：控制器通過(guò)驅(qū)動(dòng)模塊輸出電壓驅(qū)動(dòng)壓電作動(dòng)器，再由傳感模塊對(duì)傳感器采集信號(hào)并進(jìn)行檢測(cè)處理，處理結(jié)果通過(guò)控制總線提供給主控模塊進(jìn)行計(jì)算、分析并將結(jié)果顯示于電腦顯示屏上，如圖10所示。

1.壓電驅(qū)動(dòng)模塊 2.微動(dòng)測(cè)量臺(tái)架 3.離線傳感模塊4.參數(shù)調(diào)整及顯示模塊 5.計(jì)算機(jī) 6.光學(xué)隔振平臺(tái) 7.壓電作動(dòng)器圖9 壓電遲滯實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.9 Experimental platform of piezoelectric hysteresis

圖10 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)工作原理Fig.10 Principle of the experimental platform

為了獲得壓電作動(dòng)器的遲滯特性，控制器的控制模式采用開(kāi)環(huán)控制。根據(jù)圖10的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)測(cè)試原理，系統(tǒng)利用采集的位移信號(hào)作為輸入，利用建立的遲滯模型進(jìn)行計(jì)算以獲取輸出電壓，從而完成自動(dòng)加載實(shí)驗(yàn)。

仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證分別以40 V、60 V、80 V、100 V為回轉(zhuǎn)電壓點(diǎn)獲取一階回轉(zhuǎn)曲線，測(cè)試電壓加載步長(zhǎng)1 V，一階回轉(zhuǎn)曲線對(duì)比結(jié)果如圖11所示。并以每個(gè)回轉(zhuǎn)曲線的仿真結(jié)果輸出值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果輸出值的平均相對(duì)誤差作為評(píng)判的參考，結(jié)果見(jiàn)表1。

由圖11和表1可以看出，由本文建立的遲滯模型的仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)所得的一階回轉(zhuǎn)曲線吻合度較高、誤差較小，因此可得出本文所用的遲滯模型的建立方法為一種切實(shí)可行的方法。

4 結(jié)論

(1)詳細(xì)闡述了壓電作動(dòng)器遲滯模型的建立理論，以實(shí)驗(yàn)的方式獲得最小二乘支持向量機(jī)模型所需的一階回轉(zhuǎn)曲線。

(2)根據(jù)一階回轉(zhuǎn)曲線計(jì)算遲滯模型初始平均加權(quán)系數(shù)，并確定訓(xùn)練模型的輸入輸出，導(dǎo)入最小二乘支持向量機(jī)模型進(jìn)行訓(xùn)練。將α-β平面劃分為更多遲滯單元的組成形式，確定預(yù)測(cè)計(jì)算的輸入值并將其導(dǎo)入訓(xùn)練后的模型得到最終的遲滯單元的平均加權(quán)系數(shù)，從而得到壓電作動(dòng)器的遲滯模型。

(3)通過(guò)仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比，得出本文基于最小二乘支持向量機(jī)所建立的模型能精確描述壓電作動(dòng)器的遲滯非線性特性，為一種有效的方法。本文方法加快了建模的速度，免去了需大量實(shí)驗(yàn)來(lái)獲得一階回轉(zhuǎn)曲線從而計(jì)算加權(quán)系數(shù)的麻煩。

(a)電壓U=100 V

(b)電壓U=80 V

(c)電壓U=60 V

(d)電壓U=40 V圖11 仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比圖Fig.11 Contrast figure of simulation and experiment results

回轉(zhuǎn)電壓(V)最小相對(duì)誤差(%)最大相對(duì)誤差(%)1000.191.83800.231.52600.121.93401.562.01

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