王萬祥

(中鐵第一勘察設(shè)計院集團有限公司，陜西西安 710043)

0 引言

在高速公路路塹高邊坡開挖和路基施工期間，邊坡工程的穩(wěn)定性極易受土質(zhì)、降雨等影響。為防止高邊坡滑坡事故的發(fā)生，保證前期施工和后期運營階段的安全和穩(wěn)定，對高邊坡變形進行監(jiān)測十分重要。由于邊坡的建立過程是一個逐漸明朗的動態(tài)工程，在對邊坡監(jiān)測的過程中，監(jiān)測數(shù)據(jù)中不可避免地混雜著噪聲的干擾，因此剔除噪聲、獲取較為接近真實值的數(shù)據(jù)一直是邊坡監(jiān)測研究的重點［1-2］。

邊坡工程不確定理論中“灰色系統(tǒng)”的特點表現(xiàn)尤為突出，如路型本身的不完善、監(jiān)測數(shù)據(jù)有限且較難全面反映邊坡自身的位移狀況等，故而判定邊坡工程為“內(nèi)部信息部分已知、部分未知”的對象，用灰色理論模型進行邊坡監(jiān)測與位移預(yù)測研究是合理的［3］。對這種隨時間、外部條件變化而發(fā)生狀態(tài)改變的信號，邊坡的位移時序曲線會表現(xiàn)出一定的波動性，因此引入BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對非線性特征曲線進行動態(tài)處理恰到好處。單一的模型預(yù)測很難集合所需功能對數(shù)據(jù)進行有層次的處理，為了不對精確分析邊坡形變產(chǎn)生影響，本文將以上幾種模型進行組合，發(fā)揮各自優(yōu)勢，在已有邊坡工程實例的基礎(chǔ)上，客觀地描繪出邊坡的形變趨勢和狀態(tài)。

1 卡爾曼濾波理論

1960年，卡爾曼(R.E.Kalman)和布西(R.S.Bucy)提出了一種在計算機中很容易實現(xiàn)的“狀態(tài)空間”濾波方法，這種方法就是 Kalman濾波。它通過系統(tǒng)狀態(tài)和觀測值組合成的線性系統(tǒng)對觀測信號進行濾波描述，根據(jù)線性無偏最小均方差估計準(zhǔn)則，依據(jù)過去估計值和當(dāng)前觀測數(shù)據(jù)來對系統(tǒng)狀態(tài)進行最優(yōu)估計，通過獲得各個監(jiān)測點的狀態(tài)估計參數(shù)，從而最大限度地濾掉干擾噪聲［4-6］。

在動態(tài)系統(tǒng)中，離散線性系統(tǒng)的Kalman濾波的數(shù)學(xué)模型包括狀態(tài)方程和觀測方程，它們的離散形式分別為

式中:Xk為系統(tǒng) k 時刻的 n×1 階狀態(tài)矩陣;Fk，k－1為作用在前一狀態(tài)的n×n階狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;Gk－1為系統(tǒng) k－1 時刻的 n×r階動態(tài)噪聲矩陣;Wk－1為系統(tǒng) k－1時刻的r×1階動態(tài)噪聲，其協(xié)方差矩陣為Qk(非負定方差矩陣);Lk為系統(tǒng)k時刻的m×1階觀測矩陣;Hk為系統(tǒng)k時刻的m×n階觀測矩陣;Vk為系統(tǒng)k時刻的m×1階觀測噪聲矩陣，其協(xié)方差為Rk(正定方差矩陣)。

根據(jù)最小二乘原理，可得到隨機離散線性系統(tǒng)的Kalman濾波遞推公式，并根據(jù)狀態(tài)方程計算動態(tài)系統(tǒng)的一步預(yù)估值 Xk，k－1

Pk，k－1為一步預(yù)測方差矩陣

Xk為狀態(tài)向量估計值

Pk為狀態(tài)向量估值的方差矩陣

其濾波增益矩陣Jk表示為

在確定Kalman濾波這4個初始值(初始狀態(tài)向量X0、協(xié)方差陣P0、動態(tài)噪聲方差陣Qk、系統(tǒng)的觀測噪聲方差陣Rk)后，可啟動卡爾曼濾波遞推算法，依據(jù)k時刻的觀測值Lk遞推計算出對應(yīng)時刻的狀態(tài)估計值 Xk，(k=1，2，3，…)，實現(xiàn)濾波與預(yù)測，剔除隨機噪聲的干擾［7］。

2 灰色GM(1，1)模型

高邊坡的變形監(jiān)測是一個動態(tài)變化的過程，其影響因素是不確定的、模糊的，而灰色模型的強大就在于能用少數(shù)不確定性的“灰色數(shù)據(jù)”對規(guī)律不明顯的變形數(shù)據(jù)進行加強處理，重新建立有規(guī)律的新序列，即灰色模型(Grey Model)。GM(1，1)模型的建模過程如下［8-9］。

設(shè)x(0)為某點的觀測時間序列，則有

記x(1)=AGO x(0)為一次累加新序列，即

建立一階微分方程

利用最小二乘法求解上式，得到時間響應(yīng)函數(shù)

在式(11)中可求出待定常數(shù)a、b的值。a是發(fā)展系數(shù)，系統(tǒng)整體發(fā)展局勢的大小靠來控制;b是灰色作用量，它的大小是數(shù)據(jù)變化關(guān)系的直接反映［10］。根據(jù)白化方程可得出GM(1，1)模型的時間響應(yīng)序列

最后通過累減生成可還原數(shù)據(jù)，得到GM(1，1)預(yù)測模型表達式

3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是由輸入層、隱含層和輸出層3層組成的一種多層前饋網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)算法，使用非常廣泛。其學(xué)習(xí)過程分為2個部分:正向傳播和反向修正。在正向傳播過程中，將每次輸入的樣本數(shù)據(jù)得出來的輸出結(jié)果與目標(biāo)結(jié)果相比較，如不滿足條件，它們就進行反向傳播;反向傳播的過程是將計算出的誤差不斷修正，調(diào)整網(wǎng)絡(luò)參數(shù)(權(quán)值和閾值)，從而實現(xiàn)或逼近所希望的輸入、輸出映射關(guān)系，取得網(wǎng)絡(luò)逼近值。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法訓(xùn)練過程有以下7個步驟。

(1)初始化網(wǎng)絡(luò)權(quán)值參數(shù)wsq=Random(·)，sq取ij或jk，wij和wjk為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值。其中:輸入層到隱含層的權(quán)值為wij，初始化隱含層閾值為a;隱含層到輸出層的的權(quán)值wjk，輸出層閾值為b。

(2)依次輸入n個學(xué)習(xí)樣本，進行隱含層輸出計算。根據(jù)輸入量X、輸入層與隱含層的連接權(quán)值wij以及隱含層閾值b，計算隱含層輸出H。

式中:l為隱含層節(jié)點數(shù);f為隱含層激勵函數(shù)。

該函數(shù)有多種表達形式，本章所選函數(shù)為

(3)根據(jù)隱含層輸出H、連接權(quán)值wjk和閾值b計算BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測輸出O

(4)誤差計算。根據(jù)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測輸出Ok和期望輸出Y，計算網(wǎng)絡(luò)預(yù)測誤差

(5)權(quán)值更新。根據(jù)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測誤差e更新網(wǎng)絡(luò)連接權(quán)值wij和wjk

式中:η為學(xué)習(xí)速率。

(6)依照權(quán)值修正公式來修正各層的權(quán)值和閾值。根據(jù)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測誤差來更新網(wǎng)絡(luò)節(jié)點閾值a和b。

(7)判斷算法迭代是否結(jié)束，若沒有結(jié)束返回步驟(2)。

4 算例應(yīng)用與分析

4.1 預(yù)測算法步驟

(1)步驟1。根據(jù)數(shù)據(jù)特征設(shè)置濾波初始值，對原始數(shù)據(jù)X(0)(i)進行標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波預(yù)處理。

(2)步驟2。使用“一次累加”功能增強序列規(guī)律性，對濾波后的數(shù)據(jù)建立GM(1，1)模型預(yù)測，得到X(0)(i)。

(3)步驟3。建立殘差序列{e(0)(i )|e(0)(i)=X(0)(i)－X(0)(i)，i=1，2，…，n}，若預(yù)測階數(shù)取 j(本文取j=2)，那么 e(0)( i －1)，e(0)(i －2)，…，e(0)(i －j)作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入訓(xùn)練的樣本值，e(0)(i)則作為輸出訓(xùn)練的期望值。測試樣本的調(diào)入同上。

(4)步驟4。使用自適應(yīng)全局優(yōu)化概率搜索的遺傳優(yōu)化算法實現(xiàn)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的尋優(yōu)過程，設(shè)置遺傳初始化條件，并經(jīng)多次運算取得最優(yōu)合理參數(shù)。

(5)步驟5。確定BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層、隱含層和輸出層，計算得出殘差序列 { e(0)(i)}的修正補償值 { e(0)(i)}，在此基礎(chǔ)上整合出新的預(yù)測值X(0)(i，1)=X(0)(i )+e(0) (i)，則 X(0)(i，1)是 Kalman濾波與灰色GM(1，1)-GA-BP組合模型的最后預(yù)測值。

4.2 實例分析

本文以某高速公路高邊坡變形監(jiān)測點KXL3-5的49期觀測數(shù)據(jù)為例(觀測周期為5 d)，利用基于Kalman濾波與灰色BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模型對觀測過程中的40期數(shù)據(jù)建模，對后9期數(shù)據(jù)進行預(yù)測分析。由于Kalman濾波是利用新觀測值對系統(tǒng)新的狀態(tài)值進行不斷的預(yù)測和修正，故適用于處理邊坡多期重復(fù)觀測的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)。按照建筑變形測量的等級及精度要求，本文根據(jù)經(jīng)驗值取二等水準(zhǔn)沉降變形觀測的動態(tài)噪聲方差陣Qk=2，動態(tài)噪聲方差陣Rk=0.5，將測點位置與變化速率作為狀態(tài)參數(shù)，則濾波初始值 X0=［－13.267，－0.883］T。

根據(jù)上述輸入確定標(biāo)準(zhǔn)離散卡爾曼濾波結(jié)果，如圖1所示，濾波前后的信噪比分別為16.185 6和42.400 8，去噪的均方根誤差(RMSE)為 0.0876，說明經(jīng)過濾波后的信噪比得到有效提高，信號帶得到明顯的提取，噪聲剔除充分又不過濾。從圖2來看，濾波后的殘差從第3期開始達到最大，為－0.377 9 mm，此后曲線逐漸趨于平穩(wěn)化，殘差最小為－0.001 1 mm，整體在0.01 mm上下浮動。這說明Kalman濾波在有效減弱甚至剔除部分干擾噪聲外，還能對趨于發(fā)散的形變序列起到一定的收斂作用。經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)，濾波后的曲線更趨于實際變形量。

圖1 濾波前后沉降量對比

圖2 殘差曲線

對濾波序列建立灰色GM(1，1)后的10期進行預(yù)測，所得相對誤差為0.057 1 mm，后驗差比值C=0.455 8，未能達到一級模型精度。為修正灰色模型因自身缺陷帶來的預(yù)測結(jié)果易隨時間推移偏離的問題，對灰色殘差序列進行GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)修正，設(shè)置遺傳進化代數(shù)為200，種群規(guī)模為10，交叉概率選擇0.3，變異概率設(shè)定為0.2(經(jīng)反復(fù)試驗后的最佳值);網(wǎng)絡(luò)輸入層為2維，隱含層定為5，輸出層為1，并以最小均方差為目標(biāo)函數(shù)對樣本群進行訓(xùn)練，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)變化的適應(yīng)度函數(shù)值進行尋優(yōu)，最終得到殘差修正結(jié)果作為GM(1，1)的后期補償值。計算得本文組合模型的預(yù)測值與其他3種方案的同級比較結(jié)果見圖3和表1、2。

圖3 各模型預(yù)測結(jié)果對比

表1 四種模型結(jié)果對比

以表2給出的模型精度等級、均方根誤差(RMSE)、平均絕對相對誤差(MAPE)和平方和誤差(SSE)這4個指標(biāo)作為評判標(biāo)準(zhǔn)，對各個模型預(yù)測的結(jié)果進行有效性對比分析。從圖3的預(yù)測曲線看來，基于Kalman濾波的灰色GA-BP模型與灰色GA-BP模型看起來功能不分伯仲，但仔細觀察不難發(fā)現(xiàn)，Kalman灰色GA-BP模型從第46期開始就逐漸收斂于原始沉降曲線，而灰色GA-BP模型雖然沒有表現(xiàn)出太大的發(fā)散趨勢，但預(yù)測效果還是稍弱于加入了Kalman濾波預(yù)處理的模型，說明Kalman濾波能間接避免因狀態(tài)噪聲矩陣和監(jiān)測噪聲矩陣的不完全統(tǒng)計而帶來最優(yōu)估計發(fā)散。由表2可知，除了灰色模型的等級精度是二級標(biāo)準(zhǔn)，其他模型都屬于一級標(biāo)準(zhǔn);由圖3的曲線可知，灰色GM(1，1)模型的預(yù)測誤差在0.469～0.874 mm浮動，相比其他模型偏差較為明顯，預(yù)測效果欠佳?；贙alman濾波的灰色GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型無論是RMSE(0.133 mm)、MAPE(0.008 mm)還是 SSE(0.158 mm)都勝于其他3種模型，驗證了本文核心模型的有效性和上述對于圖3曲線的分析推測?；疑獹ABP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的RMSE分別為0.156 mm和0.140 mm，MAPE分別為0.010 mm和0.009 mm，SSE分別為0.218 mm和0.179 mm，預(yù)測效果不相上下。原因在于:灰色模型擬合和預(yù)測精度都過分依賴于背景值和初始條件，然而第一點預(yù)測誤差最小并不能保證整個預(yù)測序列的誤差和最小，因此對于中長期預(yù)測的效果相對不理想。為保證工程預(yù)警需求，加入了能夠通過學(xué)習(xí)帶正確答案的實例集自動提取“合理值”的求解規(guī)則，即自學(xué)習(xí)能力和推廣能力強的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對灰色模型進行修正，起到一個互補銜接作用;當(dāng)直接用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對預(yù)測序列進行測試時，因直接通過網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)訓(xùn)練和自身逼近能力就能獲取近似擬合的值，因此效果很好。

表2 四種模型的精度對比 mm

5 結(jié)語

基于Kalman濾波的灰色GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法改進了灰色GM(1，1)模型的缺點，在融合了Kalman濾波動態(tài)實時產(chǎn)生新的最優(yōu)估計值來去除隨機干擾的基礎(chǔ)上，以遺傳算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)出色的學(xué)習(xí)能力作為依托，對灰色預(yù)測殘差做了針對性修正，在一定程度上解決了濾波發(fā)散和灰色預(yù)測精度下降的問題。結(jié)合某高速公路邊坡變形監(jiān)測數(shù)據(jù)的規(guī)律性和特性，在實例應(yīng)用的基礎(chǔ)上拓寬了各單一模型的應(yīng)用范疇，可見Kalman濾波不但適用于平穩(wěn)序列，對邊坡形變這種非平穩(wěn)序列也同樣適用，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對非線性序列的泛化能力得到有力考證，灰色模型在選擇其他適合模型重構(gòu)成組合模型后，也能對中長期預(yù)測的精度進行相對改進。在邊坡和滑坡預(yù)測中，該算法有一定的參考價值。

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