陳與瞳

蘇格拉底有一句名言：

“我只知道一件事，那就是什么都不知道?！边@句話特別耐人尋昧。如果蘇格拉底什么都不知道，那么他“知道的這件事”本身就不成立;而如果蘇格拉底只知道一件事，那么又和他后面所說的“什么都不知道”自相矛盾。這引出了數(shù)學(xué)上一個(gè)特別有意思的概念，叫“悖論”。

悖論是指表面上同一命題或推理中隱含著兩個(gè)對(duì)立的結(jié)論，而這兩個(gè)結(jié)論都能自圓其說。簡(jiǎn)單來說就是：如果事件A發(fā)生，則推導(dǎo)出非A，非A發(fā)生則推導(dǎo)出A。

舉個(gè)例子，鱷魚困境悖論里，一條鱷魚偷了一個(gè)父親的兒子，它保證如果這個(gè)父親能猜出它要做什么，就會(huì)將兒子還給父親。如果這個(gè)父親猜“鱷魚不會(huì)將兒子還給他”，就會(huì)成為所謂的“悖論”：如果鱷魚不還兒子，那么父親就猜對(duì)了，鱷魚就必須把孩子還給父親，否則鱷魚違背了諾言;而如果鱷魚將兒子還給他，那么父親就猜錯(cuò)了，鱷魚又違背了諾言。邏輯自相矛盾，這就是障論。

換一個(gè)角度，如果父親猜“鱷魚會(huì)把兒子還給他”，這就構(gòu)不成悖論。因?yàn)槿绻{魚還兒子，父親就猜對(duì)了，兒子也會(huì)回到父親身邊。而如果鱷魚不還兒子，父親還是猜兒子會(huì)還給他，父親就猜錯(cuò)了，鱷魚正好不會(huì)把兒子還回來。這個(gè)假設(shè)下，沒有邏輯結(jié)構(gòu)的不對(duì)稱，結(jié)局順利成章，這不是悖論。

歷史上，許多數(shù)學(xué)家都唯恐陷入障論而退避三舍。

集合論中曾出現(xiàn)過—些自相矛盾的現(xiàn)象，尤其是羅素的理發(fā)師障論，以極為簡(jiǎn)明的形式震撼了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，這就是“第三次數(shù)學(xué)危機(jī)”。

1903年，一則震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出：集合論有漏洞！這就是英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素提出的著名理論——“羅素悖論”?！傲_素障論”使集合論產(chǎn)生危機(jī)，由于“羅素障論”的假設(shè)與理發(fā)師相關(guān)，因此又稱其為“理發(fā)師悖論”：在某個(gè)城市中有一位理發(fā)師，他的廣告詞：“本人的理發(fā)技藝十分高超，譽(yù)滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對(duì)各位表示熱忱歡迎！”此話一出，來找他刮臉的人便絡(luò)繹不絕，而來的這些自然都是不給自己刮臉的人?？墒?，有一天，這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長(zhǎng)了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉;而如果他給自己刮臉呢？他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。

古希臘數(shù)學(xué)家芝諾，也曾經(jīng)提出過一些著名的f孛論，對(duì)以后的數(shù)學(xué)、物理概念產(chǎn)生了重要影響，阿基里斯悖論是其中的一個(gè)。

阿基里斯是希臘神話中善跑的英雄。芝諾說：阿基里斯在賽跑中不可能追上起步稍微領(lǐng)先于他的烏龜，因?yàn)楫?dāng)他要到達(dá)烏龜出發(fā)的那一點(diǎn)，烏龜又向前爬動(dòng)了。阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x可以無限地縮小，但永遠(yuǎn)追不上烏龜。

一位科學(xué)家曾經(jīng)用物理語言描述過這個(gè)問題：在阿基里斯悖論中使用了兩種不同的時(shí)間度量。一般度量方法是：假設(shè)阿基里斯與烏龜在開始時(shí)的距離為s，速度分別為v1和v2。當(dāng)時(shí)間T=S/（V1-V2）時(shí)，阿基里斯就趕上了烏龜。

但芝諾的測(cè)量方法不同：阿基里斯將逐次到達(dá)烏龜在前一次的出發(fā)點(diǎn)，這個(gè)時(shí)間為T1。對(duì)于任何T1，可能無限縮短，但阿基里斯永遠(yuǎn)在烏龜?shù)暮竺?。關(guān)鍵是這個(gè)T1無法度量T=S/（V1-V2）以后的時(shí)間。

同樣在生活中，老師們總喜歡說，這次考試都得考好了，不問大家過程怎么學(xué)，只求拿到一個(gè)好分?jǐn)?shù)的結(jié)果。其實(shí)這就是個(gè)典型悖論：如果過程學(xué)好了，成績(jī)自然不會(huì)太差。而考試成績(jī)好，必然要求你日積歸累地勤奮學(xué)習(xí)。說什么不求過程，只求結(jié)果的話，大概是“超神”一般的操作吧。畢竟正常人，并不能違反自然理論而存在啊！