劉彥永

(東北師范大學(xué)附屬中學(xué) 130000)

例1 設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax-2.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若a=1，k為整數(shù)，且當(dāng)x>0時，(x-k)f′(x)+x+1>0，求k的最大值.

本題是2012年全國新課標(biāo)Ⅱ文科第21題，題目限制條件比較新穎，采用設(shè)而不求的解法非常有效，這類題型的練習(xí)對學(xué)生的思維有一定的啟發(fā)性.

解析(1)函數(shù)f(x)的定義域為R，且f′(x)=ex-a.

當(dāng)a≤0時，f′(x)>0，f(x)在R上是增函數(shù)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是R；

當(dāng)a>0時，令f′(x)=ex-a=0，得x=lna.

令f′(x)=ex-a>0，得x>lna，所以f(x)在(lna,+∞)上是增函數(shù).

令f′(x)=ex-a<0，得x

(-∞,lna)上是減函數(shù).

故f(x)的單調(diào)遞增單調(diào)區(qū)間是(lna,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,lna).

(2)解法1 (分離參數(shù)、設(shè)而不求，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題)

若a=1，則f(x)=ex-x-2，f′(x)=ex-1.

所以(x-k)f′(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1=x(ex-1)+x+1-k(ex-1).

當(dāng)x>0時，(x-k)f′(x)+x+1>0等價于x(ex-1)+x+1-k(ex-1)>0，

由(1)知，函數(shù)h(x)=ex-x-2在(0,+∞)單調(diào)遞增，

而h(1)=e-3<0，h(2)=e2-4>0，所以h(x)在(0,+∞)存在唯一的零點.

故g′(x)在(0,+∞)存在唯一的零點，設(shè)此零點為α，則α∈(0,2).

當(dāng)x∈(0,α)時，g′(x)<0；當(dāng)x∈(α,+∞)時，g′(x)>0.

所以g(x)在(0,+∞)的最小值為g(α).

由于①式等價于k

解法2 (分類討論，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題)

當(dāng)x>0時，(x-k)f′(x)+x+1>0等價于

(x-k)(ex-1)+x+1>0.

②

令g(x)=(x-k)(ex-1)+x+1 (x>0),g′(x)=(x-k+1)ex.

(1)當(dāng)k≤1時，g′(x)>0恒成立，g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，g(x)>1>0，符合題意.

(2)當(dāng)k>1時，若x∈(0,k-1)，則g′(x)<0；若x∈(k-1,+∞)，則g′(x)>0.

故g(x)在(0,k-1)上單調(diào)遞減，在(k-1,+∞)上單調(diào)遞增.

由于②式等價于g(x)min=g(k-1)=k+1-ek-1>0.

令h(k)=k+1-ek-1(k>1)，h′(k)=1-ek-1<0，故h(k)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

且h(2)=3-e>0，h(3)=4-e2<0，故整數(shù)k的最大值為2.

解法3 (巧妙換元、數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為切線問題)

當(dāng)x>0時，(x-k)f′(x)+x+1>0等價于x(ex-1)+x+1-k(ex-1)>0.

令t=ex∈(1,+∞)，則問題等價于tlnt+1-k(t-1)>0，即tlnt+1>k(t-1).

問題等價于函數(shù)g(t)=tlnt+1的圖象恒在過定點(1,0)的直線y=k(t-1)的上方.

作出草圖即知臨界值為過(1,0)作g(t)=tlnt+1的切線.

且h(3)=ln3-1>0，h(4)=2ln2-2<0，即α∈(3,4).

k切線=lnα+1=α-1∈(2,3)，故整數(shù)k的最大值為2.

例2 已知函數(shù)f(x)=axex-1,g(x)=lnx+kx.

(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)k=1時，f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范圍是多少.

提示問題(1)對k進(jìn)行討論即可.

問題(2)利用分離參數(shù)的方法，參照解法1.利用分類討論的方法，參照解法2. 利用數(shù)形結(jié)合的方法，參照解法3.

(2)解法1 (分離參數(shù)、設(shè)而不求，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題)

當(dāng)k=1時，f(x)≥g(x)恒成立，即axex-1≥lnx+x恒成立.

故lnt+t=0，即t=e-t.

解法2 (分類討論，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題)

當(dāng)k=1時，f(x)≥g(x)恒成立，即axex-lnx-x-1≥0恒成立.

(1)當(dāng)a≤0時，h′(x)<0恒成立，h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，h(1)=ae-2<0，不符合題意.

(2)當(dāng)a>0時，令p(x)=axex-1(x>0)，p(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

當(dāng)x趨近于0時p(x)趨近于-∞；

當(dāng)x趨近于+∞時p(x)趨近于+∞，故存在t∈(0,+∞)使得p(t)=0,即atet=1.取對數(shù)有l(wèi)na+lnt+t=0，即lna=-lnt-t.

x∈(0,t)時，h′(x)<0；x∈(t,+∞)，則h′(x)>0.h(x)min=h(t)=atet-lnt-1=-lnt-t=lna≥0，故a≥1.

解法3 (數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為公切線問題)當(dāng)k=1時，f(x)≥g(x)恒成立，即axex-1≥lnx+x恒成立. 分別研究f(x)=axex-1和g(x)=lnx+x在(0,+∞)上的圖象.當(dāng)a≤0時，axex-1≥lnx+x顯然不恒成立.

圖1 圖2

因此，只需找到臨界狀態(tài)對應(yīng)的a即可.設(shè)臨界時兩曲線的公共點的橫坐標(biāo)為t，

隱零點問題是高考的一類重點和難點問題，解決此類問題主要有分離參數(shù)、分類討論和數(shù)形結(jié)合三種方法，三種方法各有千秋，具體問題具體分析.一般首選分離參數(shù)的方法.因為這樣能將問題轉(zhuǎn)化為不含有參數(shù)的函數(shù)的最值問題，直接降低了解答的難度.對于不易或不能分離參數(shù)的問題就采用分類討論的方法.對于選擇題或者填空題，我們可以利用技巧等價轉(zhuǎn)化并數(shù)形結(jié)合快速得到答案.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉彥永.對2017年新課標(biāo)文科第21題的解法探究[J].數(shù)理化解題研究,2018(4):29-30.

[2]麥康玲.數(shù)學(xué)分析思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].教科文匯(下旬刊),2015(5):110-111.