孫 建，張 奇

(中海油能源發(fā)展股份有限公司采油服務(wù)分公司，天津 300451)

1 單個(gè)水槽系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型

考慮如圖1所示的單個(gè)水槽模型，其水槽底的液體流出的速度是槽內(nèi)的液壓決定的。各部分的含義為:A—蓄水槽的表面區(qū)域;V—水槽的容積;Ae—水槽出口處的聯(lián)通部分;P1—槽底的液壓.液體的輸出壓強(qiáng)為Pa,輸出液體的速率作為系統(tǒng)的輸入.系統(tǒng)的狀態(tài)變量包括槽內(nèi)液體的高度,其系統(tǒng)輸出為液體流出的速率We.根據(jù)系統(tǒng)的物質(zhì)平衡,可得到:

圖1 單水槽系統(tǒng)示意圖

假設(shè)蓄水槽的四周壁是垂直的,槽內(nèi)液體的質(zhì)量是液體的密度誠(chéng)意液體的體積,有

輸出液體的質(zhì)量可以寫(xiě)成輸出速率的函數(shù)

假設(shè)整個(gè)系統(tǒng)不存在能量或物質(zhì)的滯留,并且忽略內(nèi)部能量的變化,則根據(jù)能量守恒原理可以得到(5)：

綜合上面的方程得出

顯然該系統(tǒng)的狀態(tài)方程是一階非線性的,槽內(nèi)液體質(zhì)量的瞬時(shí)變化等于輸入的液體速率漸趨輸出的速率,槽內(nèi)的液體質(zhì)量和輸出液體的速率都視作t時(shí)刻液體高度的函數(shù).

以上得出的方程顯然與顯示生活中的系統(tǒng)差別較大,可以逐步進(jìn)行改進(jìn)以得到更精確的模型.定義液體的阻力作用,它的作用與電路中電阻的作用類似:

與此類似,還可以定義該系統(tǒng)的電容效應(yīng),它反映了水槽存儲(chǔ)液體容量的變化.

將(7)和(8)代入式(6),得到

該非線性系統(tǒng)也可以線性化并寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程形式.定義系統(tǒng)的參考位置：

系統(tǒng)方程(1-6)可以寫(xiě)成

式(15)即為系統(tǒng)的線性化模型[1]。為了比較非線性系統(tǒng)線性化前后的系統(tǒng)響應(yīng).定義系統(tǒng)參數(shù):

系統(tǒng)參考位置的系統(tǒng)參數(shù)為：

依據(jù)上述參數(shù)可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，圖2顯示的分別是Wi分別改變10%和50%時(shí)非線性系統(tǒng)和線性化模型的階躍響應(yīng)曲線。圖3、圖4給出了該系統(tǒng)線性化模型的頻域仿真結(jié)果[2]。

圖2 單水槽時(shí)域特性

2 雙槽水槽系統(tǒng)的模型建立

在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常存在互相聯(lián)通的多個(gè)蓄水槽系統(tǒng),這使得系統(tǒng)呈現(xiàn)出更高階動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的特性.下面以雙聯(lián)通的蓄水槽系統(tǒng)為對(duì)象,研究二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為。

圖3 系統(tǒng)線性化模型的BODE圖

圖4 其它頻域特性（Nyquist曲線和Nichols圖）

圖5 雙水槽系統(tǒng)示意圖

按照第1節(jié)對(duì)單個(gè)水槽的分析,可以確定1號(hào)和2號(hào)蓄水槽的液體輸出流量分別為[3]

從而得到兩個(gè)蓄水槽的平衡方程為：

將上面的結(jié)果寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程形式,并且將液體輸出流速作為系統(tǒng)輸出,則：

上述方程中的h1,h2 和 wi實(shí)際上是相對(duì)于參考位置的偏移量(即h1=δh1等)。為了創(chuàng)建系統(tǒng)的simulink方框圖,只要針對(duì)狀態(tài)方程中每個(gè)SISO子系統(tǒng)繪制它的框圖,如下所示,然后將它們連接起來(lái)即可。

圖6 各個(gè)子系統(tǒng)的框圖

仿真框圖如下所示：

圖7 整個(gè)系統(tǒng)的框圖結(jié)構(gòu)

整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以通過(guò)矩陣運(yùn)算或相關(guān)模塊框圖計(jì)算得到：

上式代入式(19),得到：

整理后得到整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

圖8和圖9為該系統(tǒng)的脈沖和階躍響應(yīng)的部分仿真結(jié)果,程序?qū)﹄p水槽系統(tǒng)的 兩種不通情況進(jìn)行了仿真.一種是針對(duì)系統(tǒng)參考位置的動(dòng)態(tài)行為進(jìn)行了仿真.一種是將1號(hào)水槽的容積增加了1倍,這將導(dǎo)致系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)的增加。

圖8 雙水槽系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)

3 結(jié)束語(yǔ)

在以上兩個(gè)系統(tǒng)的建模與仿真中，分別建立了非線性和線性模型，仿真時(shí)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)做了修改，以求得到反映系統(tǒng)特性的信息，在仿真結(jié)果中比較明顯反映出了這些差別，可見(jiàn)對(duì)于此類基礎(chǔ)的模型建立與仿真對(duì)于加深對(duì)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)具有很大意義。

圖9 雙水槽系統(tǒng)的Bode圖

參考文獻(xiàn)：

[1] 鄭阿奇.MATLAB實(shí)用教程[M].北京：電子工業(yè)出版社,2011

[2] 趙文峰.MATLAB控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與仿真[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社,2002

[3] 金以慧.過(guò)程控制[M].北京：清華大學(xué)出版社,2005.