陳世明 管俊杰 高彥麗 裴惠琴 邱昀

近年來,群系統(tǒng)的分布式協(xié)同控制因其極強的實際應(yīng)用背景已成為控制工程、生物學(xué)、物理學(xué)等學(xué)科廣泛關(guān)注的一個重要問題.例如多航體集結(jié)[1?2]、編隊控制[3?4]、蜂擁[5?6]、姿態(tài)校整[7?8]等. 這些協(xié)同控制任務(wù)都可以統(tǒng)一到多智能體系統(tǒng)的信息一致性這一理論框架內(nèi).一致性理論的基本思想是每一個智能體基于自己和其鄰居的信息狀態(tài)更新自身信息,從而使得所有個體的最終信息收斂到一個共同的值,即達到一致.

一致性問題的研究可追溯到1995年Vicsek等[9]基于數(shù)學(xué)方程的描述方式,用網(wǎng)絡(luò)建立個體之間的信息交互,提出了一個簡單的離散多智能體系統(tǒng)模型(Vicsek模型).2003年Jadbabaie等[10]針對Vicsek模型進行了更深入的研究,利用圖論和矩陣論給出Vicsek模型的理論解釋,從本質(zhì)上揭示了多智能體系統(tǒng)的群集現(xiàn)象.Olfati-Saber等[11]在此基礎(chǔ)上建立多智能體系統(tǒng)的理論框架并提出了經(jīng)典的一致性協(xié)議.之后,Ren等[12]研究了一階連續(xù)和離散多智能體系統(tǒng)的一致性問題,提出在通信拓撲具有生成樹的情況下,所有節(jié)點的狀態(tài)能達成一致.

為改善一致性收斂速度,文獻[13]闡述了預(yù)測控制在多智能體系統(tǒng)中的應(yīng)用,提出分布式模型預(yù)測控制策略,有效解決了存在有界控制輸入的多智能體系統(tǒng)一致性問題.文獻[14]研究了多智能體系統(tǒng)一致性的收斂速度問題,提出一種具有狀態(tài)預(yù)測器的一致性控制協(xié)議,在該控制協(xié)議下多智能體系統(tǒng)能以更快的速度達到一致.文獻[15]研究了二階多智能體系統(tǒng)一致性的收斂速度問題,提出一種快速分布式平均一致性算法,在每次控制輸入都加入基于鄰居狀態(tài)信息的線性預(yù)測量,加快了多智能體系統(tǒng)狀態(tài)值收斂到平均值的速度.

在實際應(yīng)用中,智能體自身的能量和通信信道的帶寬都是有限的,一般而言,控制任務(wù)中的測量、通信和控制協(xié)議更新都是周期性執(zhí)行的,即周期采樣控制方法[16?17].為了保證所有執(zhí)行點的性能,采樣時間常數(shù)通常取一個保守值,這通常會造成通信和計算資源的浪費.隨著研究的深入及解決實際應(yīng)用中控制器周期性執(zhí)行任務(wù)導(dǎo)致的計算資源和通信資源浪費問題,基于事件觸發(fā)的多智能體控制策略研究得以開展和應(yīng)用.在事件觸發(fā)控制策略下,控制任務(wù)只按需執(zhí)行,從而達到節(jié)約系統(tǒng)的資源包括智能體的計算能力、通信能力、能源儲備等目的.目前,基于事件觸發(fā)控制的多智能體系統(tǒng)一致性已取得不少有意義的研究成果.在固定拓撲下,文獻[18]提出了一階系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制協(xié)議,并針對其設(shè)計了一種與智能體系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)的事件觸發(fā)條件,證明不存在Zeno行為,結(jié)果表明事件觸發(fā)控制在具有期待性能的同時減少了采樣次數(shù).文獻[19]提出了一個與時間有關(guān)的觸發(fā)函數(shù).文獻[20]研究了二階多智能體系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制.

在時變拓撲下,文獻[21]研究了切換拓撲下的事件觸發(fā)控制一致性問題,假設(shè)每個切換區(qū)間里的多智能體通信拓撲是強連通的,設(shè)計了一個事件觸發(fā)控制策略并解決了切換拓撲下的一致性問題.文獻[22]研究了領(lǐng)導(dǎo)跟隨系統(tǒng)在切換拓撲結(jié)構(gòu)下的事件觸發(fā)一致性問題,基于鄰居個體的狀態(tài)估計值設(shè)計了一個反饋控制器,在該反饋控制器和事件條件共同作用下,系統(tǒng)能在有效節(jié)約通信資源的同時很好地實現(xiàn)切換拓撲下的領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性.文獻[23]研究了切換拓撲下線性異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的協(xié)同輸出調(diào)節(jié)問題,設(shè)計了一個基于事件觸發(fā)的觀測器,并在此基礎(chǔ)上提出基于輸出反饋的輸出調(diào)節(jié)控制策略,使得異質(zhì)多智能體系統(tǒng)能在抑制干擾的同時實現(xiàn)對外部系統(tǒng)信號的漸近跟蹤一致.

以上時變拓撲研究需要保證時變拓撲是連通的或是強連通的.但實際中,由于系統(tǒng)通信帶寬有限,環(huán)境干擾等因素,時變拓撲并不能保證一直連通.文獻[24]研究了組合連通拓撲結(jié)構(gòu)下的一致性問題,設(shè)計了一個靜態(tài)事件觸發(fā)函數(shù)使得分歧向量漸近趨于狀態(tài)平均值附近的有界區(qū)域.文獻[25]提出一個與觸發(fā)時刻狀態(tài)相關(guān)的觸發(fā)函數(shù)使得組合連通拓撲下的多智能體系統(tǒng)達成一致性.

考慮當(dāng)前組合連通拓撲下多智能體系統(tǒng)基于事件觸發(fā)一致性控制研究成果,大都集中于控制協(xié)議設(shè)計或觸發(fā)條件的選取,沒有兼顧系統(tǒng)的收斂速度,而系統(tǒng)的收斂速度是一致性問題研究的一項重要性能指標(biāo).本文圍繞組合連通拓撲下多智能體系統(tǒng)基于事件觸發(fā)的一致性問題展開研究,提出一種新的具有狀態(tài)預(yù)測器的事件觸發(fā)一致性控制協(xié)議,并為智能個體給出了基于系統(tǒng)狀態(tài)信息的事件觸發(fā)條件.在每個事件觸發(fā)時刻,每個智能體都對其鄰居智能體的未來狀態(tài)作出預(yù)測,再通過通信將預(yù)測的狀態(tài)和觸發(fā)時刻的狀態(tài)傳遞給它的鄰居個體,經(jīng)所提一致性協(xié)議計算使系統(tǒng)快速達成一致性.基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和代數(shù)圖論證明了所提事件觸發(fā)控制策略能有效實現(xiàn)組合連通拓撲下的平均一致性,并且不存在Zeno行為.最后通過仿真實驗驗證了所提控制策略在節(jié)約通信資源和收斂速度方面的優(yōu)越性.

1 問題描述

1.1 代數(shù)圖論

代數(shù)圖論是多智能體系統(tǒng)建模和分析過程中非常重要的數(shù)學(xué)工具,智能體之間的通信關(guān)系可用圖G=(V,E) 來表示. 其中V={V1,V2,···,VN}表示系統(tǒng)中智能個體節(jié)點的集合,E={eij=(Vi,Vj):Vi,Vj∈V}表示智能個體之間相互通信的邊集.用一個非空序列J=ViEikVk···Vj表示圖G中Vi到Vj的一條路徑,如果在圖G中任意頂點對Vi和Vj之間存在一條途徑[Vi,Vj],則稱Vi和Vj是連通的.如果圖G中任意頂點對之間存在一條路徑,則稱圖G為連通圖.用鄰接矩陣A=[aij]∈RN×N表示網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點之間的連接關(guān)系,若節(jié)點i能夠收到節(jié)點j的信息,則aij=1,否則aij=0.如果aij=aji則稱圖G為無向圖.在多智能體網(wǎng)絡(luò)中用Ni={Vj∈V:(Vi,Vj)∈E}表示節(jié)點i的鄰居節(jié)點集合.在無向圖中圖G的度矩陣D=diag{di}表示節(jié)點i的度所構(gòu)成的對角矩陣,有向圖中D=diag{di}表示節(jié)點i的入度所構(gòu)成的對角矩陣.圖G的Laplacian矩陣L表示為L=D?A.對無向圖而言Laplacian矩陣L是一個半正定的對稱矩陣,有一個零特征值,其對應(yīng)的特征向量為1n=(1,1,···,1)T,其他所有非零特征值都是正實數(shù).Laplacian矩陣L的特征值表示為λ1,λ2,···,λn,并且 0=λ1≤λ2≤···≤λn,第 2 個特征值λ2稱為圖G的代數(shù)連通度.

1.2 組合連通拓撲

實際應(yīng)用中,往往由于系統(tǒng)通信帶寬有限、外界環(huán)境存在干擾等因素導(dǎo)致通信拓撲時變且不連通,對組合連通定義如下.

定義1.設(shè)圖G1,G2,···,Gm具有相同的頂點集V,記它們的并集為G1?m,它的節(jié)點集也為V,邊集是所有圖G1,G2,···,Gm的邊的并集.如果并圖G1?m是連通的則稱圖G1,G2,···,Gm是組合連通的.

當(dāng)多智能體系統(tǒng)通信拓撲隨時間變化時,用函數(shù)σ(t):[0,∞)→{1,2,···,m}表示切換信號來決定通信拓撲.Gσ(t)表示t時刻智能體的通信拓撲圖,Lσ(t)為對應(yīng)的Laplacian矩陣,Niσ(t)為智能體i的鄰居節(jié)點集.

考慮一組非零、不重疊、無限嚴格遞增的連續(xù)時間區(qū)間[tk,tk+1),k=0,1,2,···且tk+1?tk=T常數(shù)T>0.在時間區(qū)間[tk,tk+1)中存在有限個非重疊時間子區(qū)間,其中且滿足.

引理1[26].對于一個Laplacian矩陣為L的無向圖G且有非零向量x滿足1Tx=0則有.

1.3 系統(tǒng)模型

考慮有N個智能體的一階多智能體系統(tǒng),智能體的動力學(xué)方程表示為

其中,xi(t)∈Rn是智能體i的狀態(tài)變量,ui(t)∈Rn表示控制輸入.

常用一致性控制協(xié)議如下:

系統(tǒng)的閉環(huán)動力學(xué)方程可表示為

其中,x(t)=[x1(t),x2(t),···,xN(t)]T為智能體的狀態(tài)向量,L為通信拓撲圖的拉普拉斯矩陣,相應(yīng)的u(t)=[u1(t),u2(t),···,uN(t)]T為智能體控制輸入向量.

引理2[11].對于類似于式(1)的多智能體系統(tǒng),收斂速度與Laplacian矩陣的最小非零特征值λ2相關(guān),一般λ2越大,多智能體收斂到平衡狀態(tài)的速度越快.

2 組合連通拓撲下基于事件觸發(fā)的多智能體快速一致性算法

假設(shè)1.由智能體組成的通信拓撲圖的集合在時間區(qū)間[tk,tk+1),k=0,1,2,···是組合連通的.

通常事件條件可用一個數(shù)學(xué)不等式來表示.因此,當(dāng)不滿足不等式時事件觸發(fā)即執(zhí)行通信任務(wù).用表示第i個智能體的第k次觸發(fā)瞬間,表示第k次觸發(fā)間隔.用rk表示多智能體系統(tǒng)的事件觸發(fā)時刻,易知時間序列{rk}包括智能體i的所有事件觸發(fā)時刻.

為了解決切換拓撲下基于事件觸發(fā)控制協(xié)議的收斂速度問題,本文提出在每個事件觸發(fā)時刻,每個智能體都能對其鄰居智能體的未來狀態(tài)作出預(yù)測,并用這個預(yù)測的狀態(tài)構(gòu)造控制協(xié)議,從而使得多智能體系統(tǒng)可以更快地收斂到平衡狀態(tài).

將誤差向量e(t)=[e1(t),e2(t),···,eN(t)]T和狀態(tài)向量x(t)=[x1(t),x2(t),···,xN(t)]T寫成矩陣形式:

注1.式(5)中x(rk)不是x(t)在t=rk時的值,而是向量. 其中為智能體i最近的觸發(fā)時刻.

由于在拓撲圖中孤立的點沒有控制輸入,本文只關(guān)注有鄰居節(jié)點的頂點.根據(jù)拓撲圖中連通部分對頂點進行分類,對任意一個圖Gp,定義為圖中包含至少兩個節(jié)點的部分,S0=為圖中只有一個節(jié)點的部分,即孤立頂點,其中1≤q≤Q≤N.令為的頂點集,.經(jīng)過重新排列所有智能體的順序,圖Gp的Laplacian矩陣Lp可以寫成Lp,其中是連通部分的Laplacian矩陣.易知當(dāng)l=1,···,p時,有簡單零特征值;l=q+1,···,Q時,=0.

注2.每個在的節(jié)點都沒有控制輸入,因此只要完善屬于Sc中的節(jié)點的事件觸發(fā)控制策略即可.為便于分析,定義屬于的節(jié)點的狀態(tài)向量,對應(yīng).令,可得的分歧向量另外一個分歧向量,易知是一個不變量,并且.定義el(t),有.

注3.類似于x(rk)的定義,,,其中為智能體i最近的觸發(fā)時刻,具有相同性質(zhì).

對每個智能體設(shè)計事件觸發(fā)條件,給出組合連通拓撲結(jié)構(gòu)下的事件觸發(fā)條件如下:

定理1.考慮多智能體系統(tǒng)(1)在假設(shè)1下,r0=0對每個分支,事件觸發(fā)條件為

證明.考慮閉環(huán)系統(tǒng)(6),選擇Lyapunov函數(shù)V(t)=(1/2)δT(t)δ(t). 易知V(t) 為連續(xù)函數(shù),除在切換拓撲瞬間和事件觸發(fā)瞬間rk外連續(xù)可微,定義V(t)在和rk瞬間的導(dǎo)數(shù)為正.

若多智能體系統(tǒng)在t時刻的通信拓撲為Gp,重新排列所有智能體的順序,可得新的Laplacian矩陣,這里是連通部分的Laplacian矩陣.因此系統(tǒng)(6)的Lyapunov函數(shù)V(t)關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù)為

對任意y,z∈Rn考慮不等式.

易知

由引理1,有

回顧之前定義的ti,有無窮序列V(ti),i=0,1,···.根據(jù)柯西收斂準則可知,對于任意的ε>0,總存在正整數(shù)Kε,使得當(dāng)k≥Kε時,有.即當(dāng)k≥Kε時,.

因為切換拓撲后的q不同,用qj表示在時間區(qū)間內(nèi)q的值.

可推得

下面分析系統(tǒng)是否存在觸發(fā)間隔的下界,即是否不存在Zeno行為.事件觸發(fā)控制策略中,在每個觸發(fā)時刻,系統(tǒng)將會依據(jù)各狀態(tài)的實際值更新控制輸入,并且在下一觸發(fā)時刻前保持該控制輸入不變.一旦到達下一觸發(fā)時刻,系統(tǒng)用于控制輸入的狀態(tài)值將被更新,這時.根據(jù)以上穩(wěn)定性方面作出的分析,只要滿足式(7),系統(tǒng)都將是穩(wěn)定的,可以不用更新控制輸入.從而在不更新控制輸入的情況下,|eli(t)|將不斷增大,直到不滿足該不等式.如此,消除了Zeno行為.(t)始終負定,系統(tǒng)的穩(wěn)定性將得到保證,如果系統(tǒng)在該控制協(xié)議下存在Zeno行為,那么系統(tǒng)將不可能滿足式(7)且達到漸近穩(wěn)定.在接下來的定理中將證明所提控制策略中不存在Zeno行為,也就是說時間rk和rk+1之間的間隔應(yīng)嚴格大于零.

定理2.對于多智能體系統(tǒng)(1),在假設(shè)1的前提下,通過控制協(xié)議(4)和事件觸發(fā)條件(7)可以使系統(tǒng)達成一致并且不存在Zeno行為.

證明.使用反證法,如注1所述,只考慮屬于集合Sc的頂點.假設(shè)存在Zeno行為,即在有限的時間內(nèi)會觸發(fā)無數(shù)次的事件.分兩種情況.

情況1.智能體li在第k次觸發(fā)間隔內(nèi)通信,其中c為與狀態(tài)預(yù)測量相關(guān)的常數(shù),則拓撲圖固定的,并且它的鄰居個體也沒有觸發(fā)事件.則以及觸發(fā)條件式(7)的右側(cè)都是常數(shù).定義eli(t)在時刻的導(dǎo)數(shù)是右導(dǎo)數(shù).由于,且.由式(7)可知,第k+1次觸發(fā)時有

情況2.與情況1相反,在時刻發(fā)生切換拓撲或智能體i的鄰居個體有事件觸發(fā),從而使得.由于按情況1有,所以, 其中.

兩種情況下事件觸發(fā)間隔都存在正下界,然而觸發(fā)無數(shù)次具有觸發(fā)間隔下界的事件只會發(fā)生在無限長時間間隔內(nèi),這與假設(shè)相悖.所以不存在Zeno行為.□

3 仿真實例

考慮多智能體系統(tǒng)由6個智能體節(jié)點組成,假設(shè)可能的通信拓撲圖{G1,G2,G3,G4}如圖1所示.由圖1可知,每個拓撲圖都是不連通的,但拓撲圖的并圖G1∪G2∪G3∪G4是連通的.此外還假設(shè)拓撲圖的切換順序為G1→G2→G3→G4→G1···.

將第2節(jié)所提具有狀態(tài)預(yù)測器的多智能體事件觸發(fā)一致性控制策略與文獻[24?25]中的事件觸發(fā)策略進行比較,以驗證本文所提控制策略的性能.文獻[24?25]中的控制協(xié)議相同,都為

文獻[24]中的靜態(tài)事件條件為

文獻[25]中關(guān)于觸發(fā)時刻狀態(tài)的事件條件為

圖1 拓撲圖Fig.1 Topological graph

假設(shè)初始狀態(tài)為x(0)=[?2?1 0 2 3 1]設(shè)置拓撲切換時間間隔τ=0.5s,由通信拓撲易知圖中所有的連通部分,并且將它們歸類到集合Sc和S0中,對于控制策略(7),取ρ=0.95,γ=0.3.對控制策略(9)和(10),仍按原文中取ρ=0.95,a=1,c0=0.03.

圖2是τ=0.5s時,狀態(tài)xi,i=1,2,3,4,5,6在控制策略(9)(圖2(a))、控制策略(10)(圖2(b))和控制策略(7)(圖2(c))下的運動軌跡.由圖可知,三種事件觸發(fā)控制策略都能達成一致性,且在控制策略(7)下系統(tǒng)更快地收斂到了平衡狀態(tài).

圖2τ=0.5s時,三種控制策略下的狀態(tài)軌跡Fig.2 The state trajectory under three kinds of control scheme whenτ=0.5s

圖3τ=0.5s時三種控制策略下的分歧向量范數(shù)Fig.3 The Euclidean norm of disagreement vectorunder three kinds of control scheme whenτ=0.5s

圖4對比了加狀態(tài)預(yù)測器的控制策略(圖4(a))在τ=0.5s時,狀態(tài)xi(i=1,2,3,4,5,6)的軌跡.未加狀態(tài)預(yù)測時系統(tǒng)收斂到平衡狀態(tài)需要21.16s,文中所提策略下僅需10.89s,表明設(shè)計的狀態(tài)預(yù)測器能有效地提升系統(tǒng)收斂速度.

圖4 有無狀態(tài)預(yù)測控制策略下狀態(tài)軌跡對比圖Fig.4 The comparison diagram between predictive control scheme and common control scheme

圖5是每個智能體在相應(yīng)控制策略下的觸發(fā)間隔圖.系統(tǒng)在控制策略(7),(9)和(10)下的平均觸發(fā)時間間隔分別為1.1474s,0.9461s和0.7209s.顯然多智能體系統(tǒng)在控制策略(7)下比在控制策略(9)和(10)下有更長的平均觸發(fā)時間間隔,因此本文所提的事件觸發(fā)條件在節(jié)約通信和計算資源方面具有更好的性能.

進一步研究拓撲切換時間間隔τ對平均觸發(fā)時間間隔的影響.保持參數(shù)ρ,a,c0,γ的取值不變,分別設(shè)置拓撲切換間隔τ為0.4s,0.5s和0.6s.表1給出了系統(tǒng)在各事件條件,不同切換拓撲時間τ下的平均觸發(fā)間隔時間.由表1可知,平均觸發(fā)時間間隔隨著拓撲切換周期變長而增加,并且在控制策略(7)下系統(tǒng)始終具有較長的平均觸發(fā)時間間隔.這進一步表明本文所提的事件觸發(fā)控制策略在節(jié)約通信和計算資源方面的性能.

4 結(jié)論

本文研究了在組合連通拓撲下基于事件觸發(fā)的多智能體系統(tǒng)平均一致性問題.提出一種新的具有狀態(tài)預(yù)測器的事件觸發(fā)一致性控制協(xié)議,通過分析拓撲圖中的連通部分,為每個智能體給出了基于系統(tǒng)狀態(tài)信息的觸發(fā)條件.在每個事件觸發(fā)時刻,每個智能體都對其鄰居智能體的未來狀態(tài)作出預(yù)測,再通過通信將預(yù)測的狀態(tài)和觸發(fā)時刻的狀態(tài)傳遞給它的鄰居個體,經(jīng)所提一致性控制協(xié)議使系統(tǒng)達成一致性.在該控制策略下多智能體系統(tǒng)可在節(jié)約通信和計算資源的同時具有更快的收斂速度.基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和代數(shù)圖論,證明所提事件觸發(fā)控制策略能夠有效實現(xiàn)組合連通拓撲結(jié)構(gòu)下的平均一致性,并且不存在Zeno行為.最后通過與已有文獻中基于事件觸發(fā)的一致性控制策略比較,仿真驗證了所提控制策略在節(jié)約通信資源和收斂速度方面的優(yōu)越性.

圖5τ=0.5s每個智能體在控制策略(7)下觸發(fā)間隔Fig.5 The triggered interval of each agent under control scheme(7)

表1 事件條件(7),(9)和(10)下平均觸發(fā)間隔Table 1 The average triggered interval under event conditions(7),(9)and(10)