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        基于RISE反饋的串聯(lián)彈性驅(qū)動器最優(yōu)控制方法

        2018-04-23 04:00:58孫雷孫偉超王萌劉景泰
        自動化學報 2018年12期
        關鍵詞:最優(yōu)控制級聯(lián)擾動

        孫雷 孫偉超 王萌 劉景泰

        近年來,采用串聯(lián)彈性驅(qū)動器(Series elastic actuator,SEA)的柔性關節(jié)機器人由于具有良好的柔順性和安全交互能力而得到關注.SEA是一種將彈性組件串聯(lián)于電機和負載之間的柔性驅(qū)動器,彈性組件的引入,使得機器人的輸出呈現(xiàn)被動柔性,進而確保機器人與環(huán)境和人能夠進行安全的物理接觸.另外,彈性組件的形變量與輸出力矩呈對應關系,通過對彈性組件的測量與控制可以使系統(tǒng)具有高精度的力/力矩輸出.基于以上優(yōu)點,串聯(lián)彈性驅(qū)動器可以被當做理想力源應用于機器人交互系統(tǒng)[1?5].

        針對SEA的力/力矩控制問題,國內(nèi)外研究學者已經(jīng)提出了很多控制策略.首先,Pratt等在提出SEA概念的時候提出了一種前饋補償與PID反饋相結合的控制策略[6].隨后,Pratt等又提出了級聯(lián)PID控制方法[7],其中位置控制和力矩控制分別作為控制的內(nèi)外環(huán).之后,很多改進的級聯(lián)PID控制策略相繼被提出[8?10].由于結構簡單,便于應用,級聯(lián)PID控制方法目前被廣泛應用于SEA的力/力矩控制[1,11].為了提升系統(tǒng)的魯棒性,Kong等[12?13]提出了基于線性擾動觀測器(Linear disturbance observer,LDOB)的控制方法;Yoo等[14]提出了基于內(nèi)部補償器(Robust internal-loop compensator,RIC)的控制方法,其原理類似于LDOB.除此之外,一系列先進控制策略,例如自適應控制[15]、滑??刂芠16]、H2最優(yōu)控制[17]、神經(jīng)網(wǎng)絡[18]等,也都被應用于SEA的控制問題上,并取得了不錯的效果.

        值得指出的是,包括上述列舉的方法在內(nèi),已有的絕大多數(shù)SEA力/力矩控制方法都是針對線性SEA模型,即SEA的輸出力矩與電機和負載端的相對轉(zhuǎn)角呈線性關系.然而,一些非線性SEA具有更高的能量密度和仿生特性,其力/力矩輸出與電機和負載的相對轉(zhuǎn)角呈現(xiàn)非線性關系,在一些文獻中,該類驅(qū)動器也被稱作Variable stiffness/impedance actuator(VSA/VIA)[19?21].顯然,非線性SEA 的力/力矩控制問題更具挑戰(zhàn)性,目前該方面的研究相對較少.文獻[22?25]應用級聯(lián)PID控制方法來控制非線性SEA,對于復雜模型來說,PID控制是一種簡單有效的控制方法,但該方法缺少理論分析;文獻[24?25]提出一種模型線性化的方法,將表示SEA力矩輸出特性的非線性函數(shù)進行局部線性化,之后再利用線性系統(tǒng)理論分別設計LDOB和控制器使系統(tǒng)穩(wěn)定,但是該控制方法最大的不足在于只能確保系統(tǒng)在局部穩(wěn)定;文獻[26?27]分別針對投擲和敲擊任務,提出了基于最優(yōu)控制理論的控制方法,該方法在分析過程中假定負載端的動力學模型已知,所以無法應對在碰撞等交互應用中負載端動力學模型劇烈變化的情況;文獻[28?29]提出了一種基于延時估計的控制方法,但該類方法只能保證控制誤差全局最終一致有界(Globally,uniformly,ultimately bounded,GUUB);文獻[30]提出了一種基于非線性擾動觀測器(Nonlinear disturbance observer,NDOB)的滑??刂品椒?但該方法對SEA動力學建模中潛在的內(nèi)外擾動缺乏有效分析.

        考慮到上述問題,本文提出一種基于RISE(Robust integral of the sign of the error)反饋的最優(yōu)控制方法,保證在存在模型參數(shù)不確定和有界擾動的情況下,SEA的輸出力矩在交互過程中能夠快速達到期望值.具體來說,首先對SEA的模型進行分析和變換;然后假設模型參數(shù)和擾動均已知,并在此基礎上基于HJB最優(yōu)控制理論設計最優(yōu)控制律;之后基于RISE反饋重新設計控制器抵消模型參數(shù)不確定性和有界擾動,基于Lyapunov理論分析控制器的收斂性和信號的有界性;最后與級聯(lián)PID的控制性能進行實驗對比.

        本文的其他部分組織如下:第1節(jié)通過對SEA的動力學模型進行分析和變換,對其控制問題進行詳盡描述;第2節(jié)假設系統(tǒng)模型完全已知,并在此基礎上設計最優(yōu)控制律;第3節(jié)基于RISE反饋來修正控制輸入,使得模型的不確定項能被抵消掉;第4節(jié)穩(wěn)定性和信號有界性分析;第5節(jié)給出與級聯(lián)PID的實驗對比結果,驗證算法的有效性;第6節(jié)是對本文主要工作的總結和展望.

        1 問題描述

        本文的研究對象為旋轉(zhuǎn)型非線性SEA,即SEA的輸出力矩與轉(zhuǎn)角差之間呈非線性關系.模型如下:

        其中,θM和θL分別表示電機端和負載端的轉(zhuǎn)角,?表示電機端和負載端的轉(zhuǎn)角差,JM和JL分別表示電機端和負載端的轉(zhuǎn)動慣量,cM和cL分別表示電機端和負載端的科氏力等因素,τSEA表示SEA的輸出力矩,與?呈非線性關系,q1(t)和q2(t)分別表示電機端和負載端的未建模項、參數(shù)攝動項和擾動項,有界且其各階導數(shù)也有界,τ表示控制輸入,如圖1所示.

        圖1 SEA示意圖Fig.1 Structure of SEA

        控制任務為:存在模型參數(shù)不確定和有界擾動時,設計合適的控制器,使得τSEA→τSEA,d.為此,做如下合理假設:

        假設1.τSEA與?之間為一一對應的映射關系,對應關系f有界,且f的導數(shù)也有界;

        假設2.期望力矩及其1,2,3,4階導數(shù)均有界.

        由于輸出力矩與轉(zhuǎn)角差一一對應,因此有?d=f?1(τSEA,d),進而有

        基于以上分析,可將力矩控制和跟蹤問題轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)角差的控制和跟蹤問題.因此相應地將模型變化為如下形式:

        在實際交互場景中,負載端模型中的JL和cL等參數(shù)會發(fā)生不確定性變化,上述變換后的模型不包括負載端信息,可以從理論上消除負載端模型的不確定性對于系統(tǒng)的影響.不論負載端如何變化,控制任務始終是?→?d(τSEA→ τSEA,d).上述模型中的集總擾動項d(t)包括負載的速度和加速度、模型誤差等信息,彈性元件的引入使系統(tǒng)呈現(xiàn)出低阻抗和能量緩沖特性,這使得在實際物理交互過程中,擾動項的變化并非瞬間完成,尤其是在人機交互過程中,交互產(chǎn)生的擾動的頻率及幅值都相對較小,因此對于擾動項有以下說明:

        假設3.集總擾動項d(t)及其1階和2階變化率均有界.

        綜上,控制問題描述為:針對系統(tǒng)(3),設計合適的控制律,使得系統(tǒng)能在克服擾動項d(t)的同時實現(xiàn)?→?d.

        2 最優(yōu)控制律設計

        前面的分析已將力矩跟蹤轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)角差跟蹤,因此定義跟蹤誤差e1及輔助變量e2為

        其中,α1為待計算的正常數(shù).

        其中,α2為正常數(shù).

        將控制誤差變換為狀態(tài)空間表達式.由式(3)~(5)可得

        其中,

        暫時假設動態(tài)模型(3)中各項均已知,設計控制律如下:

        則有

        結合式(5)和式(10)有

        在此基礎上,引入二次型控制指標

        其中,Q>0,R>0.控制問題轉(zhuǎn)化為設計u使得J(u)最小,記最優(yōu)控制律為u?(t).上述指標不包含重力及擾動項,因為在實際中很難獲得這些項.

        上述最優(yōu)控制問題有解,即u?(t)存在的充要條件是存在V=V(z,t)滿足HJB方程[31]

        其中,

        可以證明

        滿足上述HJB方程,其中,K為待計算的參數(shù).證明如下:

        由于u無約束,因此取最小值時,有

        將式(11),(14)和(15)代入上式,得

        解得

        對哈密頓函數(shù)求二次偏導,可知

        即哈密頓函數(shù)關于u的一階偏導單調(diào)遞增,進而可知u?是其最小值點.另外值得注意的是,被控對象為多關節(jié)SEA,仍然有此結論,推導過程類似.

        從上述推導過程可以看出,V(z,t)的存在性依賴于式(13)有解,即矩陣P需存在,下面證明P應滿足的條件和其存在性.

        由式(13)可得

        聯(lián)立L(z,u)的表達式和式(11),(15),(21),可得

        由上式知,若矩陣P為代數(shù)里卡蒂方程的解,則其滿足式(23).將A,B,P,Q的表達式代入上式,得

        上述矩陣方程意味著,矩陣Q半正定的前提下,應有

        顯然存在這樣的參數(shù).因此,當式(25)得到滿足時,式(19)所示的控制律能使式(12)中的J(u)最小.

        3 基于RISE反饋的控制輸入修正

        上一節(jié)中的控制律(19)能使式(12)達到最小,但是式(9)中,τ的表達式中d是未知的,因此控制律(9)無法直接應用.因此做如下修正:

        由式(6)和式(7),可得

        設計控制輸入

        代入式(26),得

        其中,

        對式(28)求導,得

        其中,

        其中,

        控制輸入修正部分為

        其中,sgn(·)表示符號函數(shù),β滿足

        ks為正常數(shù)控制增益.將上式代入式(29),可得閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)方程為

        4 穩(wěn)定性分析

        可以證明,式(19),(27)和(31)構成的控制輸入可以使

        同時,控制輸入有界.證明如下:

        首先引入輔助變量L(t)為

        則有

        定義

        定義向量

        選取Lyapunov候選函數(shù)為

        則有

        對Lyapunov候選函數(shù)求導,可得

        其中,λ3=min{2α1?1,α2?1,1+R?1}.

        為保證λ3為正數(shù),要求

        為保證U(Φ)半正定,即常數(shù)c>0,則應有kyk.為此,定義區(qū)域

        于是,當Φ∈D時,VL(Φ,t)∈L∞,進而推得e1(t)∈L∞,e2(t)∈L∞,r(t)∈L∞.由式(5)和式(6)可知1(t)∈L∞,2(t)∈L∞;由式(4),(5)和(6)可知?∈L∞,,∈L∞;由式(3)可知τ∈L∞;由式(19)可知u∈L∞,進而∈L∞且η∈L∞;由式(31)可得∈L∞;由式(9)可知h∈L∞;由式(8)可計算得∈L∞;由式(33)可知.所以U(Φ)在D上一致連續(xù).

        定義區(qū)域

        由類不變定理可知

        則?y(0)∈S,有

        則由e2(t)和r(t)的定義式可知

        由式(19)可知

        進而由式(26)可知

        可以調(diào)整ks的值,使得y(0)∈S.

        綜上所述,即使存在模型參數(shù)不確定和未知有界擾動,由式(19),(27)和(31)構成的控制輸入,當其參數(shù)滿足式(25),(32)和(40)的約束時,能夠?qū)崿F(xiàn)最優(yōu)控制且跟蹤誤差以及跟蹤誤差的1階和2階導數(shù)都漸近收斂至0.

        5 實驗驗證

        本文整合了最優(yōu)控制原理與RISE控制策略,其中RISE方法具有辨識系統(tǒng)未知模型并且消除系統(tǒng)擾動的作用,在上面分析中使用李雅普諾夫方法證明了RISE反饋能夠漸近辨識系統(tǒng)未知項和擾動項,從理論上證明了系統(tǒng)控制律最終精確收斂到最優(yōu)控制律.下面用一組仿真實驗來驗證系統(tǒng)存在擾動時控制策略的最優(yōu)性.在SEA系統(tǒng)中加入擾動d(t)=0.1+0.5sin(2πt)之后進行階躍信號響應測試,圖2是階躍信號跟隨情況,圖3是RISE反饋項與實際的h(t)+d(t)的對比結果.仿真結果中RISE反饋項能夠有效修正h(t)+d(t),誤差收斂于零.驗證了最終控制律會收斂于最優(yōu)控制律,系統(tǒng)在考慮了不確定干擾之后仍具有最優(yōu)性.

        圖2 階躍信號仿真結果Fig.2 Simulink result of step signal

        為了進一步驗證本文方法的有效性,本節(jié)在自主搭建的單關節(jié)SEA平臺上進行實驗驗證.

        如圖4所示,本文的SEA系統(tǒng)由Maxon直流伺服電機驅(qū)動(減速比N=100:1),電機端安裝增量式編碼器(4000PPR),負載端安裝有絕對值編碼器(4096PPR).彈性裝置安裝在電機與負載之間,彈性主要有三個壓簧提供.當電機與負載發(fā)生相對轉(zhuǎn)動時,滾輪會沿著圓弧軌道運動,壓縮三個彈簧,彈簧的壓縮會對負載產(chǎn)生力矩,詳見圖5.

        根據(jù)圖5,該SEA系統(tǒng)的輸出力矩和相對轉(zhuǎn)角的關系如下:

        圖3 RISE反饋項與實際未知項對比結果Fig.3 Comparison result of RISE feedback term with disturbance term

        圖4 SEA實驗平臺Fig.4 SEA testbed

        圖5 SEA彈性結構Fig.5 Elastic structure of SEA

        由此可得SEA輸出力矩與轉(zhuǎn)角差的關系為

        式中,θ表示滾輪在圓弧軌道滾動的角度;R,r分別表示圓弧軌道和滾輪的半徑;?y表示彈簧的壓縮量;F表示三個彈簧壓縮產(chǎn)生的合力.該模型的正確性已經(jīng)在文獻[32]中得到實驗驗證,為SEA力矩控制打下了基礎.

        為了體現(xiàn)本文方法的有效性,在實驗時與文獻[20]中的級聯(lián)PID控制方法進行了比較(級聯(lián)PID控制方法作為一種簡單有效的輸出反饋控制策略,被廣泛用于SEA的力矩控制中).本文應用的SEA相關機械參數(shù)如表1所示,實驗采用NI CompactRIO控制器,控制周期1ms,經(jīng)過調(diào)節(jié),本文設計的控制器參數(shù)為α1=30,α2=5,β=20,ks=5;級聯(lián)PID力矩控制參數(shù)為kop=10,koi=3,kod=0.5,速度環(huán)控制參數(shù)為kip=3,kii=1,kid=0.

        表1 SEA機械參數(shù)Table 1 Mechanical parameter of SEA

        實驗1.環(huán)境交互模擬

        在本組試驗中,模擬串聯(lián)彈性驅(qū)動器負載端與環(huán)境交互的情形,與傳統(tǒng)的級聯(lián)PID控制策略進行了實驗對比.具體操作如下:負載在初始時刻被擋板擋住,之后輸入階躍信號,待負載穩(wěn)定后撤去擋板,負載在SEA驅(qū)動下短暫運動一段時間后與另一擋板發(fā)生碰撞.通過分析可以發(fā)現(xiàn),在擋板沒被撤掉之前的過程可以看作系統(tǒng)對階躍信號的調(diào)節(jié)控制,系統(tǒng)集總擾動項d(t)未知,可用來驗證存在模型不確定情況下的系統(tǒng)的響應能力.在之后的釋放和碰撞過程中,負載端動力學模型中的JL,cL等參數(shù)會發(fā)生兩次突變,系統(tǒng)模型發(fā)生不確定性變化,可用來描述SEA與環(huán)境發(fā)生物理交互時的情形.

        在t=0s時輸入幅值為0.2rad的階躍信號,從實驗結果圖6可以看出,在階躍響應階段,本文提出的控制策略調(diào)節(jié)時間為0.2s,超調(diào)量約為4%,級聯(lián)PID控制策略調(diào)節(jié)時間約為0.4s,超調(diào)量約為20%,本文控制方法較級聯(lián)PID控制策略收斂速度更快,且超調(diào)較小.在釋放與碰撞階段,面對相同擾動時,本文方法輸出波動較小,能夠更快地恢復到期望值;而級聯(lián)PID控制策略控制器性能明顯下降,SEA輸出力矩波動明顯且需要較長的時間才能恢復到期望值.本組實驗充分說明了本文方法能夠更好地應對存在模型不確定性與環(huán)境交互時負載端模型劇烈變化的情況,擁有更強的魯棒性,更適用于交互式機器人系統(tǒng).

        圖6 環(huán)境交互實驗結果Fig.6 Experiment result of robotenvironment-interaction

        實驗2.人機交互模擬

        在人機交互情景中,零阻抗控制常用來評價控制器的性能指標,在本組試驗中采用零阻抗控制來模擬人機交互.在實驗過程中,驅(qū)動器輸出力矩設定為零,人手持負載做無規(guī)則往復運動,控制策略的性能表現(xiàn)為電機對負載的跟隨效果.

        從實驗結果可以看出,負載跟隨人做無規(guī)則往復運動時,電機能夠有效地跟隨負載,跟隨誤差約為0.01rad,轉(zhuǎn)角差?被控制在很小的范圍內(nèi),對應SEA輸出力矩很小,并且輸入較為平滑合理,表現(xiàn)出控制系統(tǒng)對于誤差和輸入的優(yōu)化.圖7和圖8是負載與人交互時的運動情況與電機的跟隨效果.實驗結果表明,本文提出的控制方法具有良好的順應性與低阻抗特性,在實際SEA交互系統(tǒng)中具有良好的應用價值.

        6 結論

        針對SEA的力矩控制問題,本文提出一種基于RISE反饋的最優(yōu)控制策略.首先假設系統(tǒng)模型參數(shù)和擾動均已知,在此基礎上基于最優(yōu)控制理論設計最優(yōu)控制律,之后基于RISE反饋對控制律進行修正,文中對跟蹤誤差的收斂性及信號的有界性進行了嚴格的數(shù)學分析.通過仿真實驗驗證了RISE反饋項能夠漸近辨識模型未知參數(shù)和有界擾動,系統(tǒng)控制律最終收斂到最優(yōu)控制律,算法在存在未知擾動情況下仍具有最優(yōu)性.最后通過環(huán)境交互實驗與人機交互實驗,驗證了算法在實際平臺上的有效性.在接下來的工作中,我們將對多關節(jié)SEA機器人的力矩控制問題及其應用展開研究.

        圖7 電機與負載運動情況Fig.7 Motion result of motor and load

        圖8 人機交互實驗結果Fig.8 Experiment result of human-robot-interaction

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