鄭婷婷 楊旭升 張文安 俞立

目標跟蹤在軍事國防、環(huán)境監(jiān)測、城市交通、家庭服務(wù)等領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用.隨著微電子技術(shù)、通信技術(shù)的發(fā)展,無線傳感器網(wǎng)絡(luò)(Wireless sensor networks,WSNs)在移動目標跟蹤或定位中的應(yīng)用得到了學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的廣泛關(guān)注[1?5].WSNs利用大量分散節(jié)點對移動目標進行協(xié)同感知,并提供豐富的環(huán)境信息以及準確的定位服務(wù).

在移動目標的跟蹤過程中,通常采用無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman filter,UKF)方法[6?7]來處理系統(tǒng)中存在的非線性濾波問題.然而,由于UKF方法能擬合的階數(shù)十分有限,在濾波過程中會引入較大的線性化誤差,從而影響濾波器的性能.文獻[8]提出了迭代無跡卡爾曼濾波(Iterated UKF,IUKF)方法,其通過多次量測迭代可一定程度地減小線性化誤差以提高系統(tǒng)的濾波精度.此外,文獻[9]證明了迭代卡爾曼濾波(Iterated Kalmanfilter,IKF)方法中的量測迭代過程可看作是一種高斯–牛頓迭代過程,因此只有當(dāng)初始的狀態(tài)估計值足夠接近真實值時,才能保證濾波器全局收斂.為減少線性化誤差與數(shù)值計算誤差的影響,文獻[10]提出了一種漸進高斯濾波(Progressive Gaussianfilter,PGF)方法,該方法根據(jù)貝葉斯法則構(gòu)造系統(tǒng)狀態(tài)的同倫函數(shù),在量測更新過程中,漸進地引入當(dāng)前觀測信息,進而得到系統(tǒng)的后驗狀態(tài).進一步,文獻[11]將文獻[10]提出的方法推廣至多維情況,采用混合Dirac模型對連續(xù)的概率密度函數(shù)(Probability density function,PDF)進行離散化.該方法無需假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)與量測間的聯(lián)合概率密度函數(shù)服從高斯分布,可取得比線性回歸卡爾曼濾波(Linear regression Kalman filter,LRKF)[12?13]方法精度更高的估計結(jié)果.然而,它的濾波性能取決于粒子數(shù)目,其時間復(fù)雜度與空間復(fù)雜度都將隨粒子數(shù)目增加而增加.針對高斯濾波問題,通?？梢圆捎么_定性采樣的方式對其進行近似,從而有效地減少系統(tǒng)的計算復(fù)雜度.這類濾波方法稱為高斯近似濾波(Gaussian approximate filter,GAF)方法,典型的有無跡卡爾曼濾波方法、容積卡爾曼濾波[14?15]方法等.在高斯?jié)u進濾波框架下,文獻[16]提出了一種漸進高斯近似濾波算法,其估計精度高于現(xiàn)有的IKF方法和GAF方法.盡管通過多次“量測迭代”可一定程度地減小線性化誤差與數(shù)值計算誤差的影響,但現(xiàn)有的方法并沒有充分考慮到線性化誤差或數(shù)值計算誤差的補償問題,易導(dǎo)致量測迭代的次數(shù)過多,進而產(chǎn)生過自信的估計結(jié)果.

另一方面,傳感器的故障、失效等情況將引起量測信息缺失.特別地,WSNs環(huán)境下的目標跟蹤系統(tǒng)不可避免地存在時延、丟包等通信不確定性問題,這將加劇量測信息的不確定性.針對非線性的目標跟蹤問題,某一采樣時刻的量測信息缺失將使得系統(tǒng)的線性化誤差與數(shù)值計算誤差增大,導(dǎo)致濾波器性能下降甚至濾波發(fā)散.文獻[17]對擴展卡爾曼濾波算法的局部收斂性進行分析并給出濾波器漸進收斂的充分條件,同時指出合理的量測噪聲協(xié)方差設(shè)計可擴大其吸引域進而有助于濾波器的收斂.進一步,針對一般的離散時間系統(tǒng),文獻[18]由李雅普諾夫的遞減條件導(dǎo)出一個線性矩陣不等式(Linear matrix inequality,LMI),通過選取滿足LMI的過程噪聲協(xié)方差以確保濾波器的穩(wěn)定性.對一類僅狀態(tài)模型非線性的系統(tǒng),文獻[19]提出了一種改進的UKF方法并證明其狀態(tài)估計誤差在均方意義下有界,同時指出偏大的過程噪聲協(xié)方差有利于濾波器的穩(wěn)定.然而,在迭代卡爾曼濾波方法中,其量測迭代次數(shù)往往很難控制.特別地,過多的量測迭代次數(shù)反而破壞濾波器的穩(wěn)定性.因此,量測迭代過程中濾波器的穩(wěn)定性或收斂性問題有待進一步地研究.

本文考慮一類WSNs環(huán)境中存在量測信息缺失的目標跟蹤問題,提出了一種高斯?jié)u進框架下的目標跟蹤方法.本文的主要工作在于:1)為避免錯誤的量測信息對系統(tǒng)的不利影響,通過假設(shè)檢驗[20?21]對量測信息進行有效地篩選;2)分析了高斯?jié)u進濾波框架中的漸進過程,采用MPUKF方法以處理由量測信息缺失引起的線性化誤差、數(shù)值計算誤差增大的問題;3)通過對MPUKF方法的穩(wěn)定性分析,證明其漸進過程中的狀態(tài)估計誤差在均方意義下有界.仿真結(jié)果表明,相比于IUKF方法與PUKF方法,MPUKF方法具有更好的跟蹤性能.

1 問題描述

考慮一類WSNs環(huán)境下的多傳感器協(xié)同目標跟蹤問題.如圖1所示,將WSNs應(yīng)用于目標跟蹤系統(tǒng),一方面可使得多個傳感器協(xié)同工作,彌補了單個傳感器感知范圍有限的缺點,另一方面也帶來了多個傳感器覆蓋范圍切換的問題.如圖2所示,在目標跟蹤過程中,可能會存在傳感器間的相互干擾以及故障等問題.同時,由于WSNs的引入還帶來了時延、丟包等通信不確定性問題.如圖3所示,無論是網(wǎng)絡(luò)還是傳感器節(jié)點自身所引起的量測不確定性問題,都可能使系統(tǒng)的狀態(tài)估計誤差增大,從而加劇線性化誤差.特別地,當(dāng)線性化誤差超過濾波器承受范圍時,將導(dǎo)致濾波器性能下降甚至濾波發(fā)散.

圖1 多傳感器目標跟蹤系統(tǒng)示意圖Fig.1 Diagram of multi-sensor target tracking systems

圖2 多傳感器融合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure of multiple sensor fusion systems

圖3 量測信息缺失對線性化誤差的影響Fig.3 Linearization error caused by measurement loss

假設(shè)移動目標的運動學(xué)模型可以描述如下:

假設(shè)WSNs中有N個無線傳感器節(jié)點,其觀測模型可描述為

其中,表示k時刻傳感器節(jié)點i的量測值,即其與移動目標間的距離值.xi為傳感器節(jié)點i的位置坐標,分別為其在x軸與y軸上的坐標值.量測噪聲的均值為零,協(xié)方差為,并且與過程噪聲wk無關(guān).為干擾信號,用于表示移動目標超出傳感器節(jié)點感知范圍以及傳感器故障等情況.α表示發(fā)生故障的概率,β表示發(fā)生量測信息丟失的概率,其服從0?1伯努利分布,和.

注1.在實際應(yīng)用中,傳感器的感知范圍往往有限,如超聲波傳感器、激光傳感器等.若移動目標超出傳感器節(jié)點的感知范圍,傳感器節(jié)點將可能返回?zé)o效的量測數(shù)據(jù).另一方面,WSNs帶來的時延、丟包等通信不確定性問題易導(dǎo)致量測信息的缺失.為此,在觀測模型中引入隨機變量β、α來描述可能存在的量測信息錯誤、失效以及缺失等情況.

2 MPUKF濾波算法

2.1 高斯?jié)u進濾波方法

在目標跟蹤過程中,考慮存在傳感器故障或相互干擾等情況,采用假設(shè)檢驗剔除錯誤的量測信息以提高濾波器的穩(wěn)定性.記量測新息序列為

其相應(yīng)的協(xié)方差為

并定義馬氏距離的平方γk為

根據(jù)新息序列ek的高斯性,馬氏距離的平方γk服從相應(yīng)維度的卡方分布,即

其中,Pr(·)表示隨機事件發(fā)生的概率,α為顯著性水平,為1?α的置信界.當(dāng)零假設(shè)被拒絕或新息序列落在1?α置信界外時,則認為發(fā)生傳感器故障等情況.

若當(dāng)前時刻的量測信息缺失或錯誤信息被拒絕,濾波器僅能根據(jù)先驗信息對移動目標的狀態(tài)進行估計.在下一個估計周期,二次預(yù)測將可能導(dǎo)致系統(tǒng)的狀態(tài)估計誤差增大,即.進一步,對量測值進行泰勒展開,即

不難發(fā)現(xiàn),多次迭代預(yù)測易引起線性化誤差的增大.同樣地,如圖4所示,這將導(dǎo)致系統(tǒng)的先驗概率密度函數(shù)更加偏離似然函數(shù),使其重合部分變小.特別地,若量測噪聲協(xié)方差較小,會進一步地減少其重合部分.這樣,僅有少量的采樣粒子對積分過程有作用[10?11],使系統(tǒng)的數(shù)值計算誤差增大.為此,引入高斯?jié)u進濾波結(jié)構(gòu)來有效地增加“重合部分”,從而減小數(shù)值積分過程中的計算誤差.

根據(jù)貝葉斯法則,系統(tǒng)狀態(tài)的后驗分布可表示為:

圖4 似然函數(shù)與先驗概率密度函數(shù)示意圖Fig.4 Diagram of likelihood function and prior probability density function

引入漸進參數(shù)λ,由上式構(gòu)造如下的同倫函數(shù):

當(dāng)λ從0到1連續(xù)變化時,同倫函數(shù)定義了從先驗分布(λ=0)到后驗分布(λ=1)變化過程中的概率分布.其漸進過程又可表示成

其中,?=1/N,經(jīng)過N次迭代之后,最終得到系統(tǒng)的后驗概率分布.如圖5所示,系統(tǒng)通過同倫函數(shù)遞推的方式,可漸進地引入量測信息對先驗概率密度函數(shù)進行修正,有效地利用中間后驗概率密度函數(shù),從而抑制數(shù)值計算誤差的增大.

圖5 同倫函數(shù)遞推過程示意圖Fig.5 The homotopy function recursive process diagram

2.2 MPUKF方法設(shè)計

MPUKF方法主要由假設(shè)檢驗與系統(tǒng)狀態(tài)迭代更新兩個部分組成.在狀態(tài)迭代更新過程中,系統(tǒng)漸進地引入量測信息對當(dāng)前狀態(tài)進行修正,即通過多次量測迭代得到對應(yīng)時刻的后驗狀態(tài).為減少迭代過程中的計算量,假設(shè)系統(tǒng)的先驗概率密度函數(shù)與似然函數(shù)服從高斯分布,進而根據(jù)貝葉斯法則推導(dǎo)出其后驗概率密度函數(shù)服從高斯分布.類似地,在系統(tǒng)量測漸進過程中,同樣假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)與量測間的聯(lián)合概率密度函數(shù)服從高斯分布,得到λ+?時刻的聯(lián)合高斯分布為

其中,

選取迭代步長?=1/N,用i+1與i分別表示λ+?與λ,并通過狀態(tài)迭代更新得到對應(yīng)時刻的后驗狀態(tài).

然而,系統(tǒng)中增大的線性化誤差與數(shù)值計算誤差將引起量測信息的“可信度”降低.特別地,當(dāng)量測噪聲協(xié)方差較小時,線性化誤差與數(shù)值計算誤差更易破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性,從而產(chǎn)生不相容[22?23]的估計結(jié)果.因此,為防止出現(xiàn)過估計的情況,引入判定條件

算法1.MPUKF算法

注2.為了便于非線性卡爾曼濾波器的實現(xiàn),通常假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)預(yù)測誤差正交于量測噪聲,即E.類似地,在MPUKF方法的漸進過程中,同樣認為系統(tǒng)狀態(tài)估計誤差正交于量測噪聲,即.

注3.在非線性濾波過程中,線性化誤差通常是不可避免的.過程噪聲大小、采樣間隔以及非線性強度都將影響線性化誤差的大小.特別地,當(dāng)某一時刻的量測信息缺失時(可看作采樣間隔增大),將可能造成線性化誤差的增大.MPUKF方法可有效地減小線性化誤差,同時提高系統(tǒng)對不同線性化誤差的自適應(yīng)能力,進而改善濾波器性能.此外,該方法同樣適用于其他因素引起的線性化誤差過大而導(dǎo)致濾波器性能下降的情況.

2.3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

本節(jié)將通過李雅普諾夫方法對漸進量測更新過程中的穩(wěn)定性問題進行分析.在這之前，首先介紹一些重要的變量和等式.將進行泰勒展開,根據(jù)UT變換并結(jié)合文獻[6]中的式(69)～(78)可得

記第i次量測迭代后的狀態(tài)估計誤差為

并由式(3)可得

下面將通過定理1證明量測漸進過程中的估計誤差有界.

定理1.若存在實數(shù),使未知的對角矩陣滿足

同時滿足條件(20),則系統(tǒng)的狀態(tài)估計誤差在均方意義下有界.

證明.選取李雅普諾夫函數(shù)為

同時,由條件(20)可有

整理上式可得

進而有

由文獻[24]中的定理2可知

并結(jié)合式(30)有

進一步,整理上式有

以此類推,最終可得

由式(27)可知

因此,在線性化誤差有界的情況下,條件(20)可保證李雅普諾夫函數(shù)單調(diào)遞減,使得狀態(tài)估計誤差在均方意義下有界,從而證明了漸進量測更新過程的穩(wěn)定.

3 仿真結(jié)果與分析

為驗證MPUKF方法的合理性與有效性,本文通過一個目標跟蹤的仿真實例,在由3個測距傳感器組成的WSNs環(huán)境中,對比IUKF,PUKF以及MPUKF方法的濾波效果.考慮在目標跟蹤過程中可能存在傳感器故障、失效以及相互干擾等情況,采用如式(2)的觀測模型并假設(shè)移動目標的運動學(xué)模型如下

其中,系統(tǒng)的周期采樣時間?t=1s,過程噪聲wk與量測噪聲vk對應(yīng)的協(xié)方差分別為Qk=0.0012I4×4,Rk=2×10?3I3×3. 設(shè)初始真實狀態(tài)向量及其初始誤差協(xié)方差.同時,狀態(tài)估計的初始值根據(jù)隨機選取并取發(fā)生故障的概率Pr{α=1}=0.1和發(fā)生量測信息丟失的概率Pr{β=0}=0.2.

為便于仿真結(jié)果分析與比較,定義位置與速度的誤差指標(Logarithmic mean square erros,LMSEs)為:

其中,M為仿真次數(shù),xk和yk分別為移動目標在x軸和y軸上的真實值,k|k和k|k為對應(yīng)的估計值.

圖6、圖7分別給出IUKF,PUKF與MPUKF方法的MC仿真LMSEpos與LMSEvel的誤差分布曲線.顯而易見,MPUKF方法的跟蹤精度高于IUKF,PUKF方法.在目標移動的過程中,增大的估計誤差會引入較大的線性化誤差,從而導(dǎo)致濾波器的性能下降.相比于IUKF方法與PUKF方法,MPUKF方法能夠很好地處理線性化誤差、數(shù)值計算誤差增大的問題.因此,隨仿真步數(shù)的增加,MPUKF方法的性能明顯優(yōu)于IUKF方法與PUKF方法.

進一步,表1給出了各個濾波器對應(yīng)的LMSEs均值,其中MPUKF方法的LMSEs均值最小.此外,將上述算例中的IUKF、PUKF以及MPUKF方法的執(zhí)行時間進行對比.由表2可知,在相同的迭代次數(shù)下,MPUKF方法的耗時明顯小于IUKF方法與PUKF方法,具有更高的計算效率.

表1 各濾波器LMSEpos與LMSEvel的均值Table1 Mean of LMSEposand LMSEvel

圖6 各濾波器MC仿真LMSEpos的誤差分布曲線Fig.6 LMSEposdistribution from Monte Carlo runs

圖7 各濾波器MC仿真LMSEvel的誤差分布曲線Fig.7 LMSEveldistribution from Monte Carlo runs

表2 各濾波器平均執(zhí)行時間Table 2 Average running time

4 結(jié)論

本文提出了一種高斯?jié)u進濾波框架下的目標跟蹤方法.該方法通過假設(shè)檢驗對量測信息進行篩選,避免錯誤的量測信息對系統(tǒng)產(chǎn)生不利影響.采用MPUKF方法可有效地減小線性化誤差與數(shù)值計算誤差,同時提高系統(tǒng)對不同線性化誤差的自適應(yīng)能力.另外,通過對濾波器穩(wěn)定性的分析,證明了在線性化誤差有界的情況下,MPUKF方法可保證漸進過程中的狀態(tài)估計誤差有界.